2025年福建省百校数学高一第一学期期末经典模拟试题含解析.doc

2025年福建省百校数学高一第一学期期末经典模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数，则（）
A.3 B.2
C.1 D.0
2．已知角α的终边经过点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
3．下列函数中，在上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
4．直线l1的倾斜角,直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为
A.- B.
C.- D.
5．函数f(x)＝若f(x)＝2，则x的值是( )
A. B.±
C.0或1 D.
6．函数的零点所在的区间为
A B.
C. D.
7．已知是定义在上的奇函数，且，当且时.已知，若对恒成立，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
8．函数的零点所在的区间是（）
A.（-2，-1) B.(-1，0)
C.(0，1） D.（1，2）
9．如图正方体，棱长为1，为中点，为线段上的动点，过的平面截该正方体所得的截面记为，则下列命题正确的是　　

当时，为四边形；
当时，为等腰梯形；
当时，与交点R满足；
当时，为六边形；
当时，的面积为
A. B.
C. D.
10．总体由编号为01，02，…，49，50的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第7行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（）
附：第6行至第8行的随机数表
2748 6198 71644148 7086 2888 8519 1620 7477
01111630 24042979 7991 9624 5125 32114919
7306 4916 76778733 9974 6732 2635 7900 3370
A.11 B.24
C.25 D.20
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数，又有定义在R上函数满足：（1），
，均恒成立；
（2）当时，，则_____，
函数在区间中的所有零点之和为_______.
12．已知函数，若，则_____
13．已知幂函数（是常数）的图象经过点，那么________
14．向量与，则向量在方向上的投影为______

15．已知等差数列的前项和为，，则__________
16．已知函数．则函数的最大值和最小值之积为______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数（且）.
（1）判断的奇偶性，并予以证明；
（2）求使得成立的的取值范围.
18．提高过江大桥的车辆通行的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下大桥上的车流速度(单位:千米/小时)是车流密度(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,就会造成堵塞,此时车流速度为0:当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时.研究表明:当时,车流速度是车流密度的一次函数
(1)当时,求函数的表达式:
(2)如果车流量(单位时间内通过桥上某或利点的车辆数) (单位:辆/小时)那么当车流密度为多大时,车流量可以达到最大,并求出最大值,(精确到1辆/小时)
19．设有一条光线从射出，并且经轴上一点反射.
(1)求入射光线和反射光线所在的直线方程(分别记为)；
(2)设动直线，当点到的距离最大时，求所围成的三角形的内切圆(即：圆心在三角形内，并且与三角形的三边相切的圆)的方程.
20．（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（2）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
21．已知函数．
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）求在区间的最大值和最小值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】先求值，再计算即可.
【详解】，
，
故选：B
点睛】本题主要考查了分段函数求函数值，属于基础题.
2、D
【解析】由任意角三角函数的定义可得结果.
【详解】依题意得.
故选：D.
3、B
【解析】利用基本初等函数的单调性可得出合适的选项.
【详解】函数、、在上均为减函数，
函数在上为增函数.
故选：B.
4、C
【解析】由题意可得L2的倾斜角等于30°+90°＝120°，从而得到L2的斜率为 tan120°，运算求得结果
【详解】如图：直线L1的倾斜角α1＝30°，直线L1⊥L2，则L2的倾斜角等于30°+90°＝120°，
∴L2的斜率为 tan120°＝﹣tan60°，

故选C
【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，体现了数形结合的数学思想，属于基础题
5、A
【解析】根据函数值为2，分类讨论即可.
【详解】若f(x)＝2，
①x≤－1时，x＋2＝2，解得x＝0(不符合，舍去)；
②－1＜x＜2时，，解得x＝(符合)或x＝(不符舍去)；
③x≥2时，2x＝2，解得x＝1(不符，舍去).
综上，x＝.
故选：A.
6、B
【解析】根据零点的存在性定理，依次判断四个选项的区间中是否存在零点
【详解】，，，由零点的存在性定理，函数在区间内有零点，选择B
【点睛】用零点的存在性定理只能判断函数有零点，若要判断有几个零点需结合函数的单调性判断
7、A
【解析】由奇偶性分析条件可得在上单调递增，所以，进而得，结合角的范围解不等式即可得解.
【详解】因为是定义在上的奇函数，
所以当且时，
根据的任意性，即的任意性可判断在上单调递增，
所以，
若对恒成立，则，
整理得，所以，
由，可得，
故选：A
【点睛】关键点点睛，本题解题关键是利用，结合变量的任意性，可判断函数的单调性，属于中档题.
8、C
【解析】利用零点存在性定理判断即可.
【详解】易知函数的图像连续
，，
由零点存在性定理，排除A；
又，，排除B；
，，结合零点存在性定理，C正确
故选：C.
【点睛】判断零点所在区间，只需利用零点存在性定理，求出区间端点的函数值，两者异号即可，注意要看定义域判断图像是否连续.
9、D
【解析】由已知根据的不同取值，分别作出不同情况下的截面图形，利用数形结合思想能求出结果
【详解】
当时，如图，是四边形，故正确

当时，如图，为等腰梯形，正确；

当时，如图,
由三角形与三角形相似可得，
由三角形与三角形相似可得,，正确

当时，如图是五边形，不正确；

当时，如图是菱形，面积为，正确，
正确的命题为，故选D
【点睛】本题主要考查正方体的截面，意在考查空间想象能力，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用，是中档题
10、C
【解析】根据题意，直接从所给随机数表中读取，即可得出结果.
【详解】由题意，编号为的才是需要的个体；
由随机数表依次可得：，
故第四个个体编号为25.
故选：C
【点睛】本题考查了随机数表的读法，注意重复数据只取一次，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、 ①.1 ②.42
【解析】求出的周期和对称轴，再结合图象即可.
【详解】由条件可知函数的图象关于对称轴对称，
由可知，，则周期，
即，
函数在区间中的所有零点之和即为函数与函数
图象的交点的横坐标之和，
当时，为单调递增函数，，
，且区间关于对称，
又∵由已知得也是的对称轴，∴只需用研究直线左侧部分即可，
由图象可知左侧有7个交点，则右侧也有7个交点，将这14个交点的横坐标从小到大排列，第个数记为，由对称性可知，则，
同理，…，，
∴.
故答案为：，.

12、-2020
【解析】根据题意，设g（x）＝f（x）+1＝asinx+btanx，分析g（x）为奇函数，结合函数的奇偶性可得g（2）+g（﹣2）＝f（2）+1+f（﹣2）+1＝0，计算可得答案
【详解】根据题意，函数f（x）＝asinx+btanx﹣1，设g（x）＝f（x）+1＝asinx+btanx，
有g（﹣x）＝asin（﹣x）+btan（﹣x）＝﹣（asinx+btanx）＝﹣g（x），
则函数g（x）为奇函数，
则g（2）+g（﹣2）＝f（2）+1+f（﹣2）+1＝0，
又由f（﹣2）＝2018，则f（2）＝﹣2020；
故答案为-2020
【点睛】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，构造函数g（x）＝f（x）+1是解题的关键，属于中档题
13、
解析】首先代入函数解析式求出，即可得到函数解析式，再代入求出函数值即可；
【详解】解：因为幂函数（是常数）的图象经过点，所以，所以，所以，所以；
故答案：
14、
【解析】在方向上的投影为
考点：向量的投影
15、161
【解析】由等差数列的性质可得，即可求出，又，带入数据，即可求解
【详解】由等差数列的性质可得=，所以，又由等差数列前n项和公式得
【点睛】本题考查等差数列的性质及前n项和公式，属基础题
16、80
【解析】根据二次函数的性质直接计算可得.
【详解】因为，所以当时，，当时，，所以最大值和最小值之积为.
故答案为：80

三、解答题：本大题共5小题共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析；（2）见解析
【解析】【试题分析】（I）先求得函数的定义域，然后利用奇偶性的定义判断出函数为奇函数.（2）化简原不等式，并按两种情况来解不等式，由此求得的取值范围.
【试题解析】(Ⅰ)由得定义域为
是奇函数
(Ⅱ)由得
①当时，，解得
②当时，，解得
当时的取值范围是；当时的取值范围是
【点睛】本题主要考查函数的性质，考查函数的定义域和奇偶性，考查不等式的求解方法，考查分类讨论的数学思想.要判断一个函数的奇偶性，首先要求函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数.含有参数不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论.
18、（1）；（2）当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333/小时..
【解析】详解】试题分析：
本题考查函数模型在实际中的应用以及分段函数最值的求法．（1）根据题意用分段函数并结合待定系数法求出函数的关系式．（2）首先由题意得到的解析式，再根据分段函数最值的求得求得最值即可
试题解析：
(1)由题意:当时,;
当时,设
由已知得 解得
∴
综上可得
(2)依题意并由（1）可得
①当时，为增函数，
∴当时，取得最大值，且最大值为1200
②当时，，
∴当时，取得最大值，且最大值为.
所以的最大值为
故当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，且最大值为3333辆/小时.
19、 (1) (2)
【解析】（1）由入射光线与反射光线的关系可知关于轴对称故斜率互为相反数（2）∵恒过点，∴作于，则，∴当时最大.即，时点到的距离最大.设所围三角形的内切圆的方程为，则，解得
试题解析：
(1)∵，∴.
∴入射光线所在的直线的方程为.
∵关于轴对称，
∴反射光线所在的直线的方程为.
(2)∵恒过点，∴作于，
则，∴当时最大.
即，时点到的距离最大.
∵，∴，∴的方程为.
设所围三角形的内切圆的方程为，
则，解得(或舍去)，
∴所求的内切圆方程为.
20、（1）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最短篱笆的长度为；（2）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最大面积是.
【解析】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为.
（1）由题意得出，利用基本不等式可求出矩形周长的最小值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论；
（2）由题意得出，利用基本不等式可求出矩形面积的最大值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论.
【详解】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为.
（1）由已知得，由，可得，所以，
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为；
（2）由已知得，则，矩形菜园的面积为.
由，可得，
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，在运用基本不等式求最值时，充分利用“积定和最小，和定积最大”的思想求解，同时也要注意等号成立的条件，考查计算能力，属于基础题.
21、（1）最小正周期为，单调递增区间；（2）在上的最大值为，最小值为.
【解析】
（1）由正弦型函数的性质，应用整体代入法有时单调递增求增区间，由求最小正周期即可.
（2）由已知区间确定的区间，进而求的最大值和最小值
【详解】（1）由三角函解析式知：最小正周期为，
令，得，
∴单调递增区间为，
（2）在上，有，
∴当时取最小值，当时取最大值为.