安徽省来安中学2026届数学高二第一学期期末检测模拟试题含解析.doc

安徽省来安中学2026届数学高二第一学期期末检测模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数，，，则（）
A. B.
C. D.
2．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
A.y=±2x B.y=
C. D.
3．己知命题；命题，则下列命题中为假命题的是（）
A. B.
C. D.
4． “”是“方程表示椭圆”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5．过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（）
A B.
C. D.
6．若函数在上有两个极值点，则下列选项中不正确的为（）
A. B.
C. D.
7．函数在处的切线方程为()
A. B.
C. D.
8．等差数列中，，则前项的和（）
A. B.
C. D.
9．已知椭圆的左右焦点分别为，，过C上的P作y轴的垂线，垂足为Q，若四边形是菱形，则C的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
10．设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点.若，则的最小值为（）
A. B.
C.4 D.5
11．抛物线的焦点为F，准线为l，点P是准线l上的动点，若点A在抛物线C上，且，则（O为坐标原点）的最小值为（）
A. B.
C. D.
12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出S的结果是（ ）

A.128 B.64
C.16 D.32
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．关于曲线，则以下结论正确的个数有______个
①曲线C关于原点对称；
②曲线C中，；
③曲线C是不封闭图形，且它与圆无公共点；
④曲线C与曲线有4个交点，这4点构成正方形
14．已知椭圆 ()中，成等比数列，则椭圆的离心率为 _______.
15．某人有楼房一栋，室内面积共计，拟分割成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为，可住游客4名，每名游客每天的住宿费100元；小房间每间面积为，可住游客2名，每名游客每天的住宿费150元；装修大房间每间需要3万元，装修小房间每间需要2万元.如果他只能筹款25万元用于装修，且假定游客能住满客房，则该人一天能获得的住宿费的最大值为___________元.
16．已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点坐标是，则该抛物线的标准方程为___________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设椭圆的左，右焦点分别为，其离心率为，且点在C上.
（1）求C的方程；
（2）O为坐标原点，P为C上任意一点.若M为的中点，过M且平行于的直线l交椭圆C于A，B两点，是否存在实数，使得？若存在，求值；若不存在，说明理由.
18．（12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知，A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点A作斜率为的直线交椭圆于另一点E，连接EP并延长交椭圆于另一点F，记直线BF的斜率为．若，求直线EF的方程
19．（12分）如图，在几何体中，底面是边长为2的正三角形，平面，，且，是的中点

（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成的角的余弦值
20．（12分）已知函数在处取得极值
（1）求实数a的值；
（2）若函数在内有零点，求实数b的取值范围
21．（12分）已知圆C：，圆C与x轴交于A，B两点
（1）求直线y＝x被圆C所截得的弦长；
（2）圆M过点A，B，且圆心在直线y＝x+1上，求圆M的方程
22．（10分）如图，底面是矩形的直棱柱中，；

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的大小；
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】根据导数得出在的单调性，进而由单调性得出大小关系.

【详解】因为，所以在上单调递增.
因为，所以，而，所以.
因为，且，所以.
即.
故选：A
2、B
【解析】双曲线的离心率为，渐进性方程为，计算得，故渐进性方程为.
【考点定位】本小题考查了离心率和渐近线等双曲线的性质.
3、A
【解析】根据或且非命题的真假进行判断即可.
【详解】当,故命题是真命题，
，故命题是真命题.
因此可知是假命题，是真命题，，均为真命题.
故选:A
4、B
【解析】根据方程表示椭圆，且2，再判断必要不充分条件即可.
【详解】解：方程表示椭圆满足 ，解得，且2
所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.
故选：B
5、D
【解析】设双曲线的方程为，再代点解方程即得解.
【详解】解：由得，
所以椭圆的焦点为.
设双曲线的方程为，
因为双曲线过点，
所以.
所以双曲线的方程为.
故选：D
6、C
【解析】求导，根据题意可得，从而可得出答案.
【详解】解：，
因为函数在上有两个极值点，
所以，即.
所以ABD正确，C错误.
故选：C.
7、C
【解析】利用导数的几何意义即可求切线方程﹒
【详解】，
，，
，
在处的切线为：，即﹒
故选：C﹒
8、D
【解析】利用等差数列下标和性质可求得，根据等差数列求和公式可求得结果.
【详解】数列为等差数列，，解得：；
.
故选：D.
9、C
【解析】根据题意求出P点坐标，代入椭圆方程中，可整理得到关于a,c的等式，进一步整理为关于e的方程，解得答案.
【详解】如图示：

由题意可知 ，
因为四边形是菱形，所以，则，
所以P点坐标为，
将P点坐标为代入得：
，整理得，
故，由于 ，解得，
所以，
故选：C.
10、C
【解析】作出图形，过点作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义得，从而得出，再由、、三点共线时，取最小值得解.
【详解】
，所以在抛物线的内部，
过点作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义得，
，
当且仅当、、三点共线时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：C.
11、D

【解析】依题意得点坐标，作点关于的对称点，则，求即为最小值
【详解】如图所示：作点关于的对称点，连接，设点，不妨设，

由题意知，直线l方程为，则，得
所以，得，所以
由，当三点共线时取等号，
又
所以最小值为
故选：D
12、C
【解析】根据程序框图的循环逻辑写出执行步骤，即可确定输出结果.
【详解】根据流程图的执行逻辑，其执行步骤如下：
1、成立，则；
2、成立，则；
3、成立，则；
4、成立，则；
5、不成立，输出；
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2
【解析】根据曲线的方程，以及曲线的对称性、范围，结合每个选项进行逐一分析，即可判断.
【详解】①将方程中的分别换为，方程不变，故该曲线关于原点对称，故正确；
②因为，解得或，故，
同理可得：，故错误；
③根据②可知，该曲线不是封闭图形；
联立与，可得：，将其视作关于的一元二次方程，
故，所以方程无根，故曲线与没有交点；
综上所述，③正确；
④假设曲线C与曲线有4个交点且交点构成正方形，
根据对称性，第一象限的交点必在上，
联立与可得：，故交点为，
而此点坐标不满足，所以这样的正方形不存在，故错误；
综上所述，正确的是①③.
故答案为：.
【点睛】本题考察曲线与方程中利用曲线方程研究曲线性质，处理问题的关键是把握由曲线方程如何研究对称性以及范围问题，属困难题.
14、
【解析】根据成等比数列，可得，再根据的关系可得，
然后结合的自身范围解方程即可求出
【详解】∵成等比数列，∴，
∴，∴，
∴，又，∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的计算以及等比数列定义的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题
15、3600
【解析】先设分割大房间为间，小房间为间，收益为元，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设，再利用的几何意义求最值，只需求出直线过可行域内的整数点时，从而得到值即可
【详解】解：设装修大房间间，小房间间，收益为万元，则，目标函数，由，解得
画出可行域，得到目标函数过点时，
有最大值，
故应隔出大房间3间和小房间8间，
每天能获得最大的房租收益最大，且为3600元

故答案为：3600
16、
【解析】根据焦点坐标即可得到抛物线的标准方程
【详解】因为抛物线的顶点为坐标原点，焦点坐标是，所以，解得，抛物线的标准方程为
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）.
【解析】(1)列出关于a、b、c的方程组求解即可；
(2)直线l斜率不存在时，易得λ的值；斜率存在时，设l方程为，联立直线l与椭圆C的方程，求出；求出OP方程，联立OP方程与椭圆C的方程，求出；代入即可求得λ.
【小问1详解】
由已知可得，
解得，∴椭圆C的标准方程为.
【小问2详解】
若直线的斜率不存在时，，
∴；
当斜率存在时，设直线l的方程为.
联立直线l与椭圆方程，消去y，得，
∴.
∵，设直线的方程为，
联立直线与椭圆方程，消去y，得，
解得.
∴，
∴，
同理，∴，
∵，
∴，故，存在满足条件，
综上可得，存在满足条件.

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于弦长公式的运用，AB斜率为k，，M(1，0)，则，，，将弦长之积转化为韦达定理求解.
18、（1）
（2）
【解析】（1）由离心率得关系，短轴求出，结合关系式解出，可得椭圆的标准方程；
（2）设，，过EF的方程为，联立直线与椭圆方程得韦达定理，结合斜率定义和化简得，由在椭圆上代换得，联立韦达定理可求，进而得解；
【小问1详解】
由题意可得，，，
又，解得所以椭圆的标准方程为；
【小问2详解】
由（1）得，，显然直线EF的斜率存在且不为0，设，，则，都不为和0
设直线EF的方程为，由消去y得，显然，则，
因为，所以，
等式两边平方得①
又因为，在椭圆上，所以，②
将②代入①可得，即，
所以，即，解得或（舍去，此时）
所以直线EF的方程为
19、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）设为中点，连接，，证明四边形为平行四边形即可；
（2）确定异面直线与所成的角为，计算三角形各边长，根据余弦定理计算得到答案.
【小问1详解】
设为中点，连接，，
∵为中点，是的中点，，，

故，且，
故，且，
∴四边形为平行四边形，
∴，平面，平面，
故平面.
【小问2详解】
∵，
故异面直线与所成的角为，
在中：，，.
根据余弦定理：，
所以异面直线与所成的角的余弦值为.
20、（1）；（2）
【解析】（1）由题意可得，从而可求出a的值；
（2）先对函数求导，求得函数的单调区间，从而可由函数的变化情况可知，要函数在内有零点，只要函数在内的最大值大于等于零，最小值小于等于零，然后解不等式组可得答案
【详解】解：（1）在处取得极值，
∴，∴．经验证时，在处取得极值
（2）由（1）知，
∴极值点为2，.
将x，，在内的取值列表如下：
x
0

2

4

/
-
0
+
/

b

极小值

由此可得，在内有零点，只需∴
21、（1）；
（2）.
【解析】（1）根据已知条件，结合垂径定理，以及点到直线的距离公式，即可求解
（2）根据已知圆的方程，令y＝0，结合韦达定理，求出圆心的横坐标，即可求出圆心，再结合勾股定理，即可求出半径
【小问1详解】
∵圆C：，
∴，即圆心为(－1,1)，半径r＝3，
∵直线y＝x，即x－y＝0，
∴圆心(－1,1)到直线x－y＝0的距离d＝，
∴直线y＝x被圆C所截得的弦长为＝
【小问2详解】
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵圆C：，圆C与x轴交于A，B两点，
∴x2－2x－7＝0，
则，|x1－x2|＝＝，
∴圆心的横坐标为x＝，
∵圆心在直线y＝x+1上，
∴圆心为(1,2)，
∴半径r＝，
故圆M的方程为
22、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）通过证明和可得答案；
（2）连接，则为直线与平面所成角的平面角，在直角三角形中计算即可.
【小问1详解】
棱柱为直棱柱，
面，又面
，
又直棱柱的底面是矩形，
，又，平面，平面，
平面；
【小问2详解】
连接，
面，
则为直线与平面所成角的平面角

在直角三角形中，
则，，
所以直线与平面所成角的大小为.