重庆市江津区永兴初级中学校2025-2026学年数学高一上期末教学质量检测模拟试题含解析.doc

重庆市江津区永兴初级中学校2025-2026学年数学高一上期末教学质量检测模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数，其部分图象如图所示，则（）

A. B.
C. D.
2．已知实数x，y满足，那么的最大值为（）
A. B.
C.1 D.2
3．已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列命题：
①若，，则；
②若，，且，则；
③若，，则；
④若，，且，则
其中正确命题的序号是（　　）
A.②③ B.①④
C.②④ D.①③
4．已知，，且，，则的值是
A. B.
C. D.
5．函数是（）
A.偶函数，在是增函数
B.奇函数，在是增函数
C.偶函数，在是减函数
D.奇函数，在是减函数
6．下列叙述正确的是(　　)
A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B.钝角是第二象限角
C.第二象限角比第一象限角大 D.不相等的角终边一定不同
7．设，则“”是“”的（）
A.充分而不必要条件 B必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8．已知函数在上具有单调性，则k的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
9．点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为（）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
10．已知四面体中，，分别是，的中点，若，，，则与所成角的度数为

A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．计算：=_______________.
12．已知函数的图象与函数及函数的图象分别交于两点，则的值为__________
13．等比数列中，，则___________
14．请写出一个最小正周期为，且在上单调递增的函数__________
15．若命题“”为真命题，则的取值范围是______
16．____________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知定义域为D的函数，若存在实数a，使得，都存在满足，则称函数具有性质.
（1）判断下列函数是否具有性质，说明理由；①；②，.
（2）若函数的定义域为D，且具有性质，则“存在零点”是“”的___________条件，说明理由；（横线上填“充分而不必要”、“必要而不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”）
（3）若存在唯一的实数a，使得函数，具有性质，求实数t的值.
18．已知全集，，.
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若，求实数的取值范围.
19．年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、拉姆达”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，口罩是必不可少的防护用品．已知某口罩的固定成本为万元，每生产万箱，需另投入成本万元，为年产量单位：万箱；已知通过市场分析，如若每万箱售价万元时，该厂年内生产的商品能全部售完．利润销售收入总成本
（1）求年利润与万元关于年产量万箱的函数关系式；
（2）求年产量为多少万箱时，该口罩生产厂家所获得年利润最大
20．对于定义在上的函数，如果存在实数，使得，那么称是函数的一个不动点．已知
（1）当时，求的不动点；
（2）若函数有两个不动点，，且
①求实数的取值范围；
②设，求证在上至少有两个不动点
21．已知.
（1）化简，并求的值；
（2）若，求的值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】利用图象求出函数的解析式，即可求得的值.
【详解】由图可知，，函数的最小正周期为，则，
所以，，由图可得，
因为函数在附近单调递增，
故，则，
，故，所以，，
因此，.
故选：C.
2、C
【解析】根据重要不等式即可求最值，注意等号成立条件.
【详解】由，可得，当且仅当或时等号成立.
故选：C.
3、A
【解析】对于①当，时，不一定成立；对于②可以看成是平面的法向量，是平面的法向量即可；对于③可由面面垂直的判断定理作出判断；对于④，也可能相交
【详解】①当，时，不一定成立，m可能在平面所以错误；
②利用当两个平面的法向量互相垂直时，这两个平面垂直，故成立；
③因为，则一定存在直线在，使得，又可得出，由面面垂直的判定定理知，，故成立；
④，，且，，也可能相交，如图所示，所以错误，

故选A
【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查了空间直线与平面的位置关系，熟练掌握空间线面关系的判定及几何特征是解答的关键
4、B
【解析】由，得，所以，
，得，
，
所以，从而有，

.
故选：B
5、B
【解析】利用奇偶性定义判断的奇偶性，根据解析式结合指数函数的单调性判断的单调性即可.
【详解】由且定义域为R，故为奇函数，
又是增函数，为减函数，
∴为增函数
故选：B.
6、B
【解析】利用象限角、钝角、终边相同角的概念逐一判断即可.
【详解】∵直角不属于任何一个象限，故A不正确；
钝角属于是第二象限角,故B正确；
由于120°是第二象限角，390°是第一象限角，故C不正确；
由于20°与360°+20°不相等，但终边相同，故D不正确.
故选B
【点睛】本题考查象限角、象限界角、终边相同的角的概念，综合应用举反例、排除等手段，选出正确的答案
7、A
【解析】解绝对值不等式求解集，根据充分、必要性的定义判断题设条件间的充分、必要关系.
【详解】由，可得，
∴“”是“”的充分而不必要条件.
故选：A.
8、C
【解析】由函数，求得对称轴的方程为，结合题意，得到或，即可求解.
【详解】由题意，函数，可得对称轴的方程为，
要使得函数在上具有单调性，
所以或，解得或
故选：C.
9、C
【解析】

分别取AC.PC中点O.E.连OE,DE;则OE//PA,
所以（或其补角）就是PA与BD所成的角；
因PD⊥平面ABCD，所以PD⊥DC,PD⊥AD.
设正方形ABCD边长为2，则PA=PC=BD=
所以OD=OE=DE=,是正三角形，
，
故选C
10、D
【解析】取的中点，连接，，则（或补角）是与所成的角，利用勾股定理可求该角为直角.
【详解】
如图，取的中点，连接，，则，，
（或补角）是与所成的角，
，，
，，而，所以，.
故选：D.
【点睛】本题考查异面直线所成的角，此类问题一般需要通过平移构建平面角，再利用解三角形的方法求解.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
考点：两角和正切公式
点评：本题主要考查两角和的正切公式变形的运用，抓住和角是特殊角，是解题的关键.
12、
【解析】利用函数及函数的图象关于直线对称可得点在函数的图象上，进而可得的值
【详解】由题意得函数及函数的图象关于直线对称，
又函数的图象与函数及函数的图象分别交于两点，
所以，
从而点的坐标为
由题意得点在函数的图象上，
所以，
所以
故答案为4
【点睛】解答本题的关键有两个：一是弄清函数及函数的图象关于直线对称，从而得到点也关于直线对称，进而得到，故得到点的坐标为；二是根据点 在函数 的图象上得到所求值．考查理解和运用能力，具有灵活性和综合性
13、
【解析】等比数列中，由可得．等比数列，构成以为首项，为公比的等比数列，所以
【点睛】若数列为等比数列，则构成等比数列
14、或（不唯一）.
【解析】根据函数最小正周期为，可构造正弦型、余弦型或者正切型函数，再结合在上单调递增，构造即可.
【详解】解：根据函数最小正周期为，可构造正弦型、余弦型或者正切型函数，再结合在上单调递增，构造即可，
如或满足题意
故答案为：或（不唯一）.
15、
【解析】依题意可得恒成立，则，得到一元二次不等式，解得即可；

【详解】解：依题意可得，命题等价于恒成立，
故只需要解得，即
故答案为：
16、
【解析】,故答案为.
考点：对数的运算.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）①不具有性质；②具有性质
（2）必要而不充分条件，理由见解析
（3）
【解析】（1）根据举例说明当时不存在；取可知具有性质.（2）分别从存在零点，证明.和若，具有性质时，.两个角度证明“存在零点”是“”的必要而不充分条件.（3）令函数的值域为，的值域.若函数有性质，则有对，使得成立，所以，分情况讨论的范围，从而求出的取值.
【小问1详解】
函数不具有性质.理由如下：
对于，因为，所以不存在满足.
所以函数不具有性质.
函数具有性质.理由如下：
对于，取，则.
因为，
所以函数具有性质.
【小问2详解】
必要而不充分理由如下：
①若存在零点，令，则.
因为，取，则，且.
所以具有性质，但.
②若，因为具有性质，
取，则存在使得.
所以，即存在零点.
综上可知，“存在零点”是“”的必要而不充分条件.
【小问3详解】
记函数的值域为，函数的值域.
因为存在唯一的实数，使得函数有性质，即存在唯一的实数，对，使得成立，所以.
①当时，，其值域.
由得.
②当，且时，是增函数，所以其值域
由得，舍去.
③当时，的最大值为，
最小值为4，
所以的值域.
由得，舍去.
当时，的最大值为，最小值为，
所以的值域.
由得（舍去）.
18、 (1) ;(2);(3) .
【解析】（1）因为全集，，所以
（2）因为，且.
所以实数的取值范围是
（3）因为，且，所以，所以可得
19、（1）
（2）万箱
【解析】（1）分，两种情况，结合利润销售收入总成本公式，即可求解
（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式，分类讨论求得最大值后比较可得
【小问1详解】
当时，
，
当时，
，
故关于的函数解析式为
小问2详解】
当时，
，
故当时，取得最大值，
当时，
，
当且仅当，即时，取得最大值，
综上所述，当时，取得最大值，
故年产量为万箱时，该口罩生产厂家所获得年利润最大
20、（1）的不动点为和；（2）①，②证明见解析.
【解析】（1）当时，函数，令，即可求解；
（2）①由题意，得到的两个实数根为，，设，根据二次函数的图象与性质，列出不等式即可求解；②把可化为，设的两个实数根为，，根据是方程的实数根，得出，结合函数单调性，即可求解.
【详解】（1）当时，函数，
方程可化为，解得或，
所以的不动点为和
（2）①因为函数有两个不动点，，
所以方程，即的两个实数根为，，
记，则的零点为和，
因为，所以，即，解得
所以实数的取值范围为
②因为
方程可化为，即
因为，，所以有两个不相等的实数根
设的两个实数根为，，不妨设
因为函数图象的对称轴为直线，
且，，，所以
记，
因为，且，所以是方程的实数根，
所以1是的一个不动点，
，
因为，所以，，
且的图象在上的图象是不间断曲线，所以，使得，
又因为在上单调递增，所以，所以是的一个不动点，
综上，在上至少有两个不动点
【点睛】利用函数的图象求解方程的根的个数或研究不等式问题的策略：
1、利用函数的图象研究方程的根的个数：当方程与基本性质有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程的根就是函数与轴的交点的横坐标，方程的根据就是函数和图象的交点的横坐标；
2、利用函数研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.
21、（1），
（2）
【解析】（1）利用三角函数诱导公式将化简，将代入求值即可；
（2）利用将变形为，继而变形为，代入求值即可.
小问1详解】

则

【小问2详解】
由（1）知，
则