河南省通许县丽星高级中学2025年数学高一上期末质量检测试题含解析.doc

河南省通许县丽星高级中学2025年数学高一上期末质量检测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知向量满足，且，若向量满足，则的取值范围是
A. B.
C D.
2．在正方体中，异面直线与所成的角为（）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
3．角的终边过点，则（）
A. B.
C. D.
4．函数（且）的图象一定经过的点是（ ）
A. B.
C. D.
5．已知函数，若正实数、、、互不相等，且，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
6．已知幂函数的图象过点(2,)，则的值为（　　）
A. B.
C. D.
7．对于实数，“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8．函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是
A. B.
C. D.
9．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（）
A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0
10．函数的零点所在区间是（）
A.（0，1） B.（1，2）
C.（2，3） D.（3，+∞）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的值域为_____________
12．若，则____
13．若且，则取值范围是___________
14．已知A，B，C为的内角.
（1）若，求的取值范围；
（2）求证：；
（3）设，且，，，求证：
15．已知过点的直线与轴，轴在第二象限围成的三角形的面积为3，则直线的方程为__________
16．在直角坐标系中，直线的倾斜角____
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某地政府为增加农民收入，根据当地地域特点，积极发展农产品加工业，经过市场调查，加工某农品需投入固定成本2万元，每加工万千克该农产品，需另投入成本万元，且.已知加工后的该农产品每千克售价为6元，且加工后的该农产品能全部销售完.
（1）求加工该农产品的利润（万元）与加工量（万千克）的函数关系；
（2）当加工量小于6万千克时，求加工后的农产品利润的最大值.
18．已知函数且.
(1)求函数的定义域；
(2)判断的奇偶性并予以证明;
(3)若0＜a＜1,解关于x的不等式.
19．已知正方体，

（1）证明：平面；
（2）求异面直线与所成的角
20．某商品上市天内每件的销售价格(元)与时间(天)函数的关系是，该商品的日销售量(件)与时间(天)的函数关系是.
（1）求该商品上市第天的日销售金额；
（2）求这个商品的日销售金额的最大值.
21．已知函数.
（1）若的图象恒在直线上方，求实数的取值范围；
（2）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】由题意利用两个向量加减法的几何意义，数形结合求得的取值范围.
【详解】设，根据作出如下图形，
则
当时，则点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，且
结合图形可得，当点与重合时，取得最大值；
当点与重合时，取得最小值
所以的取值范围是
故当时，的取值范围是
故选：B

2、C
【解析】首先由可得是异面直线和所成角，再由为正三角形即可求解.
【详解】连接

因为为正方体，所以，
则是异面直线和所成角．又,
可得为等边三角形，则，所以异面直线与所成角为，
故选：C
【点睛】本题考查异面直线所成的角，利用平行构造三角形或平行四边形是关键，考查了空间想象能力和推理能力，属于中档题.
3、B
【解析】由余弦函数的定义计算
【详解】由题意到原点的距离为，
所以
故选：B
4、D
【解析】由函数解析式知当时无论参数取何值时，图象必过定点即知正确选项.
【详解】由函数解析式，知：当时，，即函数必过，
故选：D.
【点睛】本题考查了指数型函数过定点，根据解析式分析自变量取何值时函数值不随参数变化而变化，此时所得即为函数的定点.
5、A
【解析】利用分段函数的定义作出函数的图象，不妨设，根据图象可得出，，，的范围同时，还满足，即可得答案
【详解】解析：如图所示：正实数、、、互不相等，不妨设

∵
则，∴，∴
且，，∴
故选：A
6、A
【解析】令幂函数且过 (2,)，即有，进而可求的值
【详解】令，由图象过(2,)
∴，可得
故
∴
故选：A
【点睛】本题考查了幂函数，由幂函数的形式及其所过的定点求解析式，进而求出对应函数值，属于简单题
7、B
【解析】由于不等式的基本性质，“a＞b”⇒“ac＞bc”必须有c＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B
考点：不等式的性质
点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件
8、D
【解析】是奇函数，故 ；又是增函数，，即 则有 ，解得 ，故选D.
【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为
，再利用单调性继续转化为，从而求得正解.
9、A
【解析】设出直线方程，利用待定系数法得到结果.
【详解】设与直线平行的直线方程为，
将点代入直线方程可得，解得
则所求直线方程为．故A正确
【点睛】本题主要考查两直线的平行问题，属容易题．两直线平行倾斜角相等，所以斜率相等或均不存在．所以与直线平行的直线方程可设为
10、B
【解析】计算出,并判断符号,由零点存在性定理可得答案.
【详解】因为,,
所以根据零点存在性定理可知函数的零点所在区间是,
故选:B
【点睛】本题考查了利用零点存在性定理判断函数的零点所在区间,解题方法是计算区间端点的函数值并判断符号,如果异号,说明区间内由零点,属于基础题.

二填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】利用二倍角余弦公式可得令，结合二次函数的图象与性质得到结果.
【详解】由题意得：
令，则
∵在上单调递减，
∴的值域为：
故答案为：
【点睛】本题给出含有三角函数式的“类二次”函数，求函数的值域．着重考查了三角函数的最值和二次函数在闭区间上的值域等知识，属于中档题
12、##0.25
【解析】运用同角三角函数商数关系式，把弦化切代入即可求解.
【详解】，

故答案为：.
13、或
【解析】分类讨论解对数不等式即可.
【详解】因为，所以，
当时，可得，
当时，可得.
所以或
故答案为：或
14、（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】（1）根据两角和的正切公式及均值不等式求解；
（2）先证明，
再由不等式证明即可；
（3）找出不等式的等价条件，换元后再根据函数的单调性构造不等式，利用不等式性质即可得证.
【小问1详解】
,
为锐角，

，
，

解得，当且仅当时，等号成立，
即.
【小问2详解】
在中，，

, ,
.
【小问3详解】
由（2）知

，
令，
原不等式等价为，
在上为增函数，
，
，
同理可得，
，，
，
故不等式成立，
问题得证.
【点睛】本题第3问的证明需要用到，换元后转换为，再构造不等式是证明的关键，本题的难点就在利用函数单调性构造出不等式.
15、
【解析】设直线l的方程是y=k（x-3）+4，
它在x轴、y轴上的截距分别是﹣+3，-3k+4，
且﹣+3<0, -3k+4>0
由已知，得（-3k+4）（﹣3）=6，
解得k1=或k2=
所以直线l的方程为：
故答案为
16、##30°
【解析】由直线方程得斜率，由斜率得倾斜角
【详解】试题分析：直线化成，可知，而，故
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）万元.
【解析】（1）按照利润=销售额-利润计算即可；
（2）当加工量小于6万千克，求二次函数的最值即可.
【小问1详解】
当时，，当时，，故加工该农产品的利润（万元）与加工量（万千克）的函数关系为；
【小问2详解】
当加工量小于6万千克时，，当时，农产品利润取得最大值万元.
18、 (1) (2) 奇函数.（3）
【解析】（1）根据对数的真数应大于0，列出不等式组可得函数的定义域；（2）函数为奇函数，利用可得结论；（3）不等式等价于，利用对数函数的单调性得，解不等式即可.
试题解析：（1）由题得,所以函数的定义域为;
（2）函数为奇函数.
证明:由（1）知函数的定义域关于原点对称，且，所以函数为奇函数;
(3)由可得,即，又0＜a＜1，所以,故,即,解得，所以原不等式的解集为.
点睛：本题主要考查了对数函数的定义域，函数奇偶性的证明，以及指数函数、对数函数的不等式解法，注重对基础的考查；要使对数函数有意义，需满足真数部分大于0，函数奇偶性的证明即判断和的关系，而对于指、对数类型的不等式主要是依据函数的单调性求解.
19、（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明，再根据线面平行的判定定理即可证明结论；
（2）即为异面直线与所成的角，求出即可
【详解】（1）证：在正方体中，
，且，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又∵平面，平面；
∴平面；
（2）解：∵，
∴即为异面直线与所成的角，
设正方体的边长为，
则易得，
∴为等边三角形，
∴，
故异面直线与所成的角为
【点睛】本题主要考查线面平行的判定与异面直线所成的角，属于基础题
20、（1）750元；（2）元.
【解析】（1）根据题目提供的函数关系式分别算出该商品上市第20天的销售价格和日销售量即可；
（2）设日销售金额为元，则，分别讨论当时以及当时的情况即可
【详解】解：（1）该商品上市第天的销售价格是元，日销售量为件.
所以该商品上市第天的日销售金额是元.
（2）设日销售金额为(元)，则.
当，
时，取得最大值为（元），
当，
时，取得最大值为(元).
所以第天时，这个商品的日销售金额最大，最大值为(元).
21、（1）；
（2）.
【解析】(1)根据给定条件可得恒成立，再借助判别式列出不等式求解即得.
(2)根据给定条件列出不等式，再分离参数，借助函数的单调性求出函数值范围即可推理作答.
【小问1详解】
因函数的图象恒在直线上方，即，，
于是得，解得，
所以实数的取值范围是：.
【小问2详解】
依题意，，，
令，，
令函数，，，
，而，即，，
则有，即，于是得在上单调递增，
因此，，，即，从而有，则，
所以实数的取值范围是.