浙江省宁波市金兰教育合作组织2025年数学高一第一学期期末质量跟踪监视试题含解析.doc

浙江省宁波市金兰教育合作组织2025年数学高一第一学期期末质量跟踪监视试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若函数是幂函数，且其图象过点，则函数的单调增区间为
A. B.
C. D.
2．已知某扇形的面积为，圆心角为，则该扇形的半径为（ ）
A.3 B.
C.9 D.
3．函数（且）的图像必经过点（）
A. B.
C. D.
4．与角的终边相同的最小正角是（ ）
A. B.
C. D.
5．下列直线中，倾斜角为45°的是（）
A. B.
C. D.
6．一个三棱锥的三视图如右图所示，则这个三棱锥的表面积为（ ）

A. B.
C. D.
7．下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）
A. B.y=tan x
C.y=lnx D.y=x|x|
8．四个变量y1，y2，y3，y4，随变量x变化的数据如下表：
x
1
2
4
6
8
10
12
y1
16
29
55
81
107
133
159
y2
1
9
82
735
6567
59055
531447
y3
1
8
64
216
512
1000
1728
y4
2.000
3.710
5.419
6.419
7.129
7.679
8.129
其中关于x近似呈指数增长的变量是（ ）
A. B.
C. D.
9．一正方体的六个面上用记号笔分别标记了一个字，已知其表面展开图如图所示，则在原正方体中，互为对面的是（ ）

A.西与楼，梦与游，红与记
B.西与红，楼与游，梦与记
C.西与楼，梦与记，红与游
D.西与红，楼与记，梦与游
10．已知函数是上的增函数，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数的图像恒过定点A，若点A在一次函数的图像上，其中，则的最小值是__
12．不等式的解集为_________________.
13．如图，在正六边形ABCDEF中，记向量，，则向量______．（用，表示）

14．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若，则＝________．(用 表示)
15．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为、、，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为______
16．已知，，则________.（用m，n表示）
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数（其中）的图象上相邻两个最高点的距离为
（Ⅰ）求函数的图象的对称轴；
（Ⅱ）若函数在内有两个零点，求的取值范围及的值
18．如图，直四棱柱中，上下底面为等腰梯形，．，，为线段的中点

（1）证明：平面平面；
19．已知函数.
（1）求在闭区间的最大值和最小值；
（2）设函数对任意，有，且当时，.求在区间上的解析式.
20．如图，在四边形中，，，，为等边三角形，是的中点.设，.

（1）用，表示，，
（2）求与夹角的余弦值.
21．设函数
（1）若不等式的解集是，求不等式的解集；
（2）当时，在上恒成立，求实数的取值范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】分别求出m，a的值，求出函数的单调区间即可
【详解】解：由题意得：，解得：，
故，将代入函数的解析式得：
，解得：，
故，
令，解得：，
故在递增，
故选B
【点睛】本题考查了幂函数的定义以及对数函数的性质，是一道基础题
2、A
【解析】根据扇形面积公式求出半径.
【详解】扇形的面积，解得：
故选：A
3、D
【解析】根据指数函数的性质，求出其过的定点
【详解】解：∵（且），且
令得，则函数图象必过点，
故选：D
4、D
【解析】写出与角终边相同的角的集合，即可得出结论.
【详解】与角终边相同角的集合为，
当时，取得最小正角为.
故选：D.
5、C
【解析】由直线倾斜角得出直线斜率，再由直线方程求出直线斜率，即可求解.
【详解】由直线的倾斜角为45°，可知直线的斜率为，
对于A，直线斜率为，
对于B，直线无斜率，
对于C，直线斜率，
对于D，直线斜率，
故选：C
6、B
【解析】
由三视图可画出该三棱锥的直观图，如图 ，图中正四棱柱的底面边长为 ，高为 ，棱锥的四个面有三个为直角三角形，一个为腰长为 ，底长 的等腰三角形，其面积分别为： ，所以三棱锥的表面积为，故选B.
7、D
【解析】由奇偶性排除AC，由增减性排除B，D选项符合要求.
【详解】，不是奇函数，排除AC；定义域为，而在上为增函数，故在定义域上为增函数的说法是不对的，C错误；满足，且在R上为增函数，故D正确.
故选：D
8、B
【解析】根据表格中的数据，四个变量都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量的增长速度最快，
【详解】根据表格中的数据，四个变量都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量的增长速度最快，符合指数函数的增长特点.
故选：B
9、B
【解析】将该正方体折叠,即可判断对立面的字.
【详解】以红为底,折叠正方体后,即可判断出:
西与红,楼与游,梦与记互为对面.
故选B
【点睛】本题考查了空间正方体的结构特征,展开图与正方体关系,属于基础题.
10、A
【解析】根据分段函数是上的增函数，则每一段都为增函数，且右侧的函数值不小于左侧的函数值求解.
【详解】函数是上增函数，
所以，解得，
所以实数的取值范围是
故选：A.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、8
【解析】可得定点，代入一次函数得，利用展开由基本不等式求解.
【详解】由可得当时，，故，
点A在一次函数的图像上，，即，
，
，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值是8.
故答案为：8.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，解题的关键是得出定点A，代入一次函数得出，利用“1”的妙用求解.
12、或.
【解析】利用一元二次不等式的求解方法进行求解.
【详解】因为，所以，所以或，
所以不等式的解集为或.
故答案为：或.
13、##
【解析】由正六边形的性质：三条不相邻的三边经过平移可成等边三角形，即可得，进而得到结果.
【详解】由正六边形的性质知：，
∴.
故答案为：.
14、
【解析】根据＝，利用向量的线性运算转化即可.
【详解】在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点，
所以＝,
故答案为：.
【点睛】本题考查平面向量的线性运算，较为容易.
15、
【解析】计算得出，利用海伦—秦九韶公式可得出，利用基本不等式可求得的最大值.
【详解】，所以，.
当且仅当时，等号成立，且此时三边可以构成三角形.
因此，该三角形面积的最大值为.
故答案为：.
16、
【解析】根据指数式与对数式的互化，以及对数的运算性质，准确运算，即可求解.
【详解】因为，，所以，，
所以，可得.
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）；（Ⅱ），.
【解析】（Ⅰ）由题意，图象上相邻两个最高点的距离为，即周期，可得，即可求解对称轴；
（Ⅱ）函数在，内有两个零点，，转化为函数与函数有两个交点，即可求解的范围；在，内有两个零点，是关于对称轴是对称的，即可求解的值
【详解】（Ⅰ）∵已知函数（其中）的图象上相邻两个最高点的距离为，
∴，
故函数．
令，
得+，
故函数的图象的对称轴方程为+，；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数．
∵x∈，
∴∈[，]
∴-≤≤，
要使函数在内有两个零点
∴-＜m＜，且m
即m的取值范围是（-， ）∪（，）
函数在内有两个零点，
可得是关于对称轴是对称的，
对称轴为=2x-，
得x=，
在内的对称轴x=或
当m∈（-，1）时，可得=，
=
当m∈（-1，-）时，可得x1+x2=，
∴= =
18、（1）证明见解析；
（2）点为中点.
【解析】(1)根据给定条件可得，利用勾股定理证明即可证得平面平面.
(2)取的中点，证明和，利用面面平行的判定定理即可推理作答.
【小问1详解】
因为为直四棱柱，则平面，而平面，于是得，
在中，，，由余弦定理得，，
因此，，即，又，平面，则平面，又平面，
所以平面平面.
【小问2详解】
当点为中点时，平面平面，
连接，如图，

在等腰梯形中，，
即，而，则四边形为平行四边形，即有，
因平面，平面，则有平面，
因为，，则四边形为平行四边形，有，而平面，平面，
因此，平面，又，
所以平面平面.
19、（1）最大值为，最小值为；（2）.
【解析】
（1）利用两角和的正弦公式，二倍角公式以及辅助角公式将化简，再由三角函数的性质求得最值；（2）利用时，，对分类求出函数的解析式即可.
【详解】（1）

，
因为，所以，
则，
，
所以的最大值为；的最小值为；
（2）当时，
，
当时，，
，
当时，；
，
综上：在区间上的解析式为：
.
【点睛】关键点睛：本题考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法.熟练掌握两角和的正弦公式，二倍角公式以及辅助角公式是解决本题的关键.
20、（1），；（2）.
【解析】（1）利用向量的线性运算即平面向量基本定理确定，与，的关系；
（2）解法一：利用向量数量积运算公式求得向量夹角余弦值解法二：建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示确定向量夹角余弦值.
【详解】解法一：
（1）由图可知.
因为E是CD的中点，所以.
（2）因为，为等边三角形，所以，，
所以，
所以，
.
设与的夹角为，则，
所以在与夹角的余弦值为.
解法二：（1）同解法一.
（2）以A为原点，AD所在直线为x轴，过A且与AD垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，
则，，，.
因为E是CD的中点，所以，
所以，，
所以，
.
设与的夹角为，则，
所以与夹角的余弦值为.
【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用
21、（1）或
（2）
【解析】（1）由题意，是方程的解，利用韦达定理求解，代入，结合一元二次函数、方程、不等式的关系求解即可；
（2），代入转化不等式为，换元法求解的最大值即可
【小问1详解】
因为不等式的解集是，
所以是方程的解
由韦达定理
解得
故不等式为，
即
解得或
故不等式得其解集为或
【小问2详解】
当时，
在上恒成立，
所以
令，则
令，则，
由于均为的减函数
故在上为减函数
所以当时，取最大值，且最大值为3
所以
所以
所以实数的取值范围为.