2025-2026学年安徽省合肥市第六中学数学高一上期末经典模拟试题含解析.doc

2025-2026学年安徽省合肥市第六中学数学高一上期末经典模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设为偶函数，且在区间上单调递减，，则的解集为（ ）
A.（－1，1） B.
C. D.（2，4）
2．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（）

A. B.-
C.2 D.
3．已知，且，则的值为（）
A. B.
C. D.
4．已知，则的最小值为（ ）
A.2 B.3
C.4 D.5
5．若将函数图象向左平移个单位，则平移后的图象对称轴为（）
A. B.
C. D.
6．已知是锐角，那么是
A.第一象限角 B.第一象限角或第二象限角
C.第二象限角 D.小于的正角
7．与直线垂直，且在轴上的截距为-2的直线方程为（）
A. B.
C. D.
8．设实数t满足，则有（ ）
A. B.
C. D.
9．在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（）

A. B.
C. D.
10．已知，，则a，b，c的大小关系为　　
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．圆柱的侧面展开图是边长分别为的矩形，则圆柱的体积为_____________
12．已知，，，则的最大值为___________.
13．已知向量，，，则=_____.
14．设、为平面向量，若存在不全为零的实数λ，μ使得λμ0，则称、线性相关，下面的命题中，、、均为已知平面M上的向量
①若2，则、线性相关；
②若、为非零向量，且⊥，则、线性相关；
③若、线性相关，、线性相关，则、线性相关；
④向量、线性相关的充要条件是、共线
上述命题中正确的是（写出所有正确命题的编号）
15．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为，其中L表示鲑鱼的耗氧量的单位数，当一条鲑鱼以的速度游动时，它的耗氧量的单位数为___________.
16．已知向量，，若，则与的夹角为______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．化简求值：
（1）
（2）.
18．问题：是否存在二次函数同时满足下列条件：，的最大值为4，______?若存在，求出的解析式；若不存在，请说明理由.在①对任意都成立，②函数的图像关于轴对称，③函数的单调递减区间是这三个条件中任选一个，补充在上面问题中作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19．已知圆C：内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点.
（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；
（2）当直线l的倾斜角为45º时，求弦AB的长.
20．已知直线l的方程为.
（1）求过点A（3，2），且与直线l垂直的直线l1方程；
（2）求与直线l平行，且到点P（3，0）的距离为的直线l2的方程.
21．在中，，记，且为正实数），
（1）求证：；
（2）将与的数量积表示为关于的函数；
（3）求函数的最小值及此时角的大小
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】由奇偶性可知的区间单调性及，画出函数草图，由函数不等式及函数图象求解集即可.
【详解】根据题意，偶函数在上单调递减且，则在上单调递增，且
函数的草图如图，或，
由图可得－2＜x＜0或x＞2，即不等式的解集为
故选：C

2、A
【解析】如图所示，分别取，，，的中点，，则，，，或其补角 为异面直线与所成角
【详解】解：如图所示，

分别取，，，的中点，，，，则，，，
或其补角为异面直线与所成角
设，则，，
，
异面直线与所成角的余弦值为，
故选：A
【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角
3、B

【解析】先通过诱导公式把转化成，再结合平方关系求解.
【详解】，又，.
故选：B.
4、A
【解析】由可得，将整理为，再利用基本不等式即可求解.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故选：A
5、A
【解析】由图象平移写出平移后的解析式，再由正弦函数的性质求对称轴方程.
【详解】，
令，，则且.
故选：A.
6、D
【解析】根据是锐角求出的取值范围，进而得出答案
【详解】因为是锐角，所以 ，故
故选D.
【点睛】本题考查象限角，属于简单题
7、A
【解析】先求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解.
【详解】由题得所求直线的斜率为，
∴所求直线方程为，
整理为
故选：A
【点睛】方法点睛：求直线的方程，常用的方法：待定系数法，先定式（从直线的五种形式中选择一种作为直线的方程），后定量（求出直线方程中的待定系数）.
8、B
【解析】由，得到求解.
【详解】解：因为，
所以，
所以，，
则，
故选：B
9、C
【解析】根据异面直线所成角的定义，找到与直线平行并且和相交的直线，即可找到异面直线所成的角，解三角形可求得结果.
【详解】连接如下图所示，

分别是棱和棱的中点，
，
正方体中可知，
是异面直线所成的角，
为等边三角形，
.
故选：C.
【点睛】此题是个基础题，考查异面直线所成的角，以及解决异面直线所成的角的方法（平移法）的应用，体现了转化的思想和数形结合的思想.
10、D
【解析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出
【详解】解：，，
又，

故选D
【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、或
【解析】有两种形式的圆柱的展开图,分别求出底面半径和高,分别求出体积.
【详解】圆柱的侧面展开图是边长为2a与a的矩形,
当母线为a时,圆柱的底面半径是,此时圆柱体积是；
当母线为2a时,圆柱的底面半径是,此时圆柱的体积是,
综上所求圆柱的体积是:或，
故答案为或;
本题考查圆柱的侧面展开图,圆柱的体积,容易疏忽一种情况,导致错误.
12、
【解析】由题知，进而令，，再结合基本不等式求解即可.
【详解】解：，当时取等，
所以，
故令，则，
所以，
当时，等号成立.
所以的最大值为
故答案为：
13、
【解析】先根据向量的减法运算求得,再根据向量垂直的坐标表示,可得关于的方程,解方程即可求得的值.
【详解】因为向量，，
所以

则
即
解得
故答案为:
【点睛】本题考查了向量垂直的坐标关系,属于基础题.
14、①④
【解析】利用和线性相关等价于和是共线向量，故①正确，②不正确，④正确．通过举反例可得③不正确
【详解】解：若、线性相关，假设λ≠0，则，故和是共线向量
反之，若和是共线向量，则，即λμ0，故和线性相关
故和线性相关等价于和是共线向量
①若2 ，则2 0，故和线性相关，故①正确
②若和为非零向量，⊥，则和不是共线向量，不能推出和线性相关，故②不正确
③若和线性相关，则和线性相关，不能推出若和线性相关，例如当时，
和可以是任意的两个向量．故③不正确
④向量和线性相关的充要条件是和是共线向量，故④正确
故答案为①④
【点睛】本题考查两个向量线性相关的定义，两个向量共线的定义，明确和线性相关等价于和是共线向量，是解题的关键
15、8100
【解析】将代入，化简即可得答案.
【详解】因为鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为：
，
所以，当一条鲑鱼以的速度游动时，
，
∴，
∴
故答案为：8100.
16、##
【解析】先求向量的模，根据向量积，即可求夹角.
【详解】解：，，
所以与的夹角为.
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）根据对数运算公式计算即可；
（2）根据指数运算公式和根式的性质运算化简.
【小问1详解】
原式

【小问2详解】
原式

.
18若选择①，；若选择②，；若选择③，

【解析】由可得，由所选的条件可得的对称轴，再由的最大值为4，可得关于的方程，求解即可.
【详解】解：由，可得：，
；
若选择①，
对任意都成立，
故的对称轴为，
即，
又的最大值为4，
且，
解得：，
故；
若选择②，
函数图像关于轴对称，
故的对称轴为，
即，
又的最大值为4，
且，
解得：，
故；
若选择③，
函数的单调递减区间是，
故的对称轴为，
即，
又的最大值为4，
且，
解得：，
故.
19、（1）2x-y-2=0；（2）
【解析】（1）由圆的方程可求出圆心，再根据直线过点P、C，由斜率公式求出直线的斜率，由点斜式即可写出直线l的方程；
（2）根据点斜式写出直线l的方程，再根据弦长公式即可求出
【详解】（1）已知圆C：的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线l的斜率为，直线l的方程为y=2(x-1)，即 2x-y-2=0
（2）当直线l的倾斜角为45º时，斜率为1，直线l的方程为y-2=x-2 ,即x-y=0.
所以圆心C到直线l的距离为
因为圆的半径为3，所以，弦AB的长
【点睛】本题主要考查直线方程的求法以及圆的弦长公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题
20、（1）
（2）或
【解析】（1）可设所求直线的方程为，将A（3，2）代入求得参数，即可得解；
（2）可设所求直线方程为，根据点P（3，0）到直线的距离求得参数，即可得解.
【小问1详解】
解：可设所求直线的方程为，
则有，解得，
所以所求直线方程为；
【小问2详解】
解：可设所求直线方程为，
则有，解得或，
所以所求直线方程为或.
21、（1）证明见解析；（2）；（3）2，.
【解析】（1）由，得到，根据，即可求解；
（2）由，整理得，即可求得表达式；
（3）由（2）知，结合基本不等式，求得的最小值，再利用向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）在中，，可得，
所以，所以.
（2）由，可得，
即，整理得，
所以
（3）由（2）知，
因为为正实数，则，当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为2，即，
此时，因为，可得，
又因为，此时为等边三角形，所以
【点睛】求平面向量的模的2种方法：
1、利用及，把向量模的运算转化为数量积的运算；
2、利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.