2026届河北省石家庄市河正定中学数学高一上期末联考试题含解析.doc

2026届河北省石家庄市河正定中学数学高一上期末联考试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，则的周期为（ ）
A. B.
C.1 D.2
2．已知实数a、b，满足，，则关于a、b下列判断正确的是（）
A.a＜b＜2 B.b＜a＜2
C.2＜a＜b D.2＜b＜a
3．函数y =|x2-1|与y =a的图象有4个交点，则实数a的取值范围是
A.(0， ) B.(-1，1)
C.(0，1) D.(1，)
4．已知函数，则
A.最大值为2，且图象关于点对称
B.周期为，且图象关于点对称
C.最大值为2，且图象关于对称
D.周期为，且图象关于点对称
5．若是的一个内角，且，则的值为
A. B.
C. D.
6．已知函数，且，则
A. B.
C. D.
7．若，，则角的终边在（）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
8．已知直线，平面满足，则直线与直线的位置关系是
A.平行 B.相交或异面
C.异面 D.平行或异面
9．如图，在等腰梯形中，，分别是底边的中点，把四边形沿直线折起使得平面平面.若动点平面，设与平面所成的角分别为（均不为0）.若，则动点的轨迹围成的图形的面积为

A. B.
C. D.
10．函数，则
A. B.4
C. D.8
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设集合，，则______
12．①函数y=sin2x的单调增区间是[]，（k∈Z）；②函数y=tanx在它的定义域内是增函数；③函数y=|cos2x|的周期是π；④函数y=sin（）是偶函数；其中正确的是____________
13．已知扇形的半径为4，圆心角为，则扇形的面积为___________.
14．的值为______．
15．已知一个扇形的面积为，半径为，则其圆心角为___________.
16．设函数的图象为，则下列结论中正确的是__________（写出所有正确结论的编号）.
①图象关于直线对称；
②图象关于点对称；
③函数在区间内是增函数；
④把函数的图象上点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）可以得到图象.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知向量 ，，设函数=+
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）当时，求函数的值域
18．已知函数，
（1）求最小正周期；
（2）求的单调递增区间；
（3）当时，求的最大值和最小值
19．已知集合，.
（1）当时，求，；
（2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
20．已知函数.
（1）求的周期和单调区间；
（2）若，，求的值.
21．已知函数定义在上且满足下列两个条件:
①对任意都有;
②当时,有，
（1）求，并证明函数在上是奇函数；
（2）验证函数是否满足这些条件；
（3）若，试求函数的零点.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】利用两角和的正弦公式化简函数，代入周期计算公式即可求得周期.
【详解】，周期为：
故选：A
【点睛】本题考查两角和的正弦公式，三角函数的最小正周期，属于基础题.
2、D
【解析】先根据判断a接近2，进一步对a进行放缩，，进而通过对数运算性质和基本不等式可以判断a>2；
根据b的结构，构造函数，得出函数的单调性和零点，进而得到a,b的大小关系，最后再判断b和2的大小关系，最终得到答案.
【详解】.
构造函数：，易知函数是R上的减函数，且，由，可知又，∴，则a>b.
又∵，∴a>b>2
故选：D.
【点睛】对数函数式比较大小通常借助中间量，除了0和1之外，其它的中间量需要根据题目进行分析，中间会用到指对数的运算性质和放缩法；另外，构造函数利用函数的单调性比较大小是比较常用的一种方法，需要我们对式子的结构进行仔细分析，平常注意归纳总结.
3、C
【解析】作函数图象，根据函数图像确定实数a的取值范围.
【详解】作函数图象，根据函数图像得实数a的取值范围为（0，1），选C.

【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合的思想求解.
4、A
【解析】

，∵，∴，则的最大值为；∵，∴周期；当时，图象关于某一点对称，∴当，求出，即图象关于对称，故选A
考点：三角函数的性质．
5、D
【解析】是的一个内角,，又，所以有，故本题的正确选项为D.
考点：三角函数诱导公式的运用.
6、A
【解析】，，
，
，.
故选：A.
7、B
【解析】应用诱导公式可得，，进而判断角的终边所在象限.
【详解】由题设，，，
所以角的终边在第二象限.
故选：B
8、D
【解析】∵a∥α，∴a与α没有公共点，b⊂α，∴a、b没有公共点，
∴a、b平行或异面．
故选D
9、D
【解析】由题意，PE=BEcotθ1，PF=CFcotθ2，
∵BE=CF，θ1=θ2，
∴PE=PF
以EF所在直线为x轴，EF的垂直平分线为y轴建立坐标系，
设E（﹣，0），F（，0），P（x，y），则
（x+）2+y2=[（x﹣）2+y2]，
∴3x2+3y2+5ax+a2=0，即（x+a）2+y2=a2，轨迹为圆，面积为
故答案选：D
点睛：这个题考查的是立体几何中点的轨迹问题，在求动点轨迹问题中常用的方法有：建立坐标系，将立体问题平面化，用方程的形式体现轨迹；或者根据几何意义得到轨迹，但是注意得到轨迹后，一些特殊点是否需要去掉
10、D
解析】因为函数，所以，，故选D.
【思路点睛】本题主要考查分段函数的解析式、指数与对数的运算，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.本题解答分两个层次：首先求出 的值，进而得到的值.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】联立方程组，求出交点坐标，即可得到答案
【详解】解方程组，得或.
故答案为：
12、①④
【解析】①由，解得．可得函数单调增区间；
②函数在定义域内不具有单调性；
③由，即可得出函数的最小正周期；
④利用诱导公式可得函数，即可得出奇偶性
【详解】解：①由，解得．可知：函数的单调增区间是，，，故①正确；
②函数在定义域内不具有单调性，故②不正确；
③，因此函数的最小正周期是，故③不正确；
④函数是偶函数，故④正确
其中正确的是①④
故答案为：①④
【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题
13、
【解析】先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积
【详解】根据扇形的弧长公式可得，
根据扇形的面积公式可得
故答案为：
14、
【解析】利用对数恒等式直接求解．
【详解】解：由对数恒等式知：=2
故答案为2.
【点睛】本题考查指数式、对数式化简求值，对数恒等式公式的合理运用，属于基础题．
15、
【解析】结合扇形的面积公式即可求出圆心角的大小.
【详解】解：设圆心角为，半径为，则，由题意知，，解得，
故答案为:
16、①③
【解析】 图象关于直线对称；所以①对；
图象关于点对称；所以②错；
，所以函数在区间内是增函数；所以③对；
因为把函数的图象上点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）可以得到 ，所以④错；填①③.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；；（2）
【解析】（1）根据向量数量积的坐标运算及辅助角公式，可得，然后由周期公式去求周期，再结合正弦函数的单调性去求函数的单调递增区间；
（2）由（1）知，由求出，再结合正弦函数的单调性去求函数的值域
【详解】（1）依题意得
=
=
=
的最小正周期是：
由解得，
从而可得函数的单调递增区间是：
（2）由，可得，
所以，
从而可得函数的值域是：
18、（1）
（2），
（3）最大值为，最小值为
【解析】（1）由周期公式直接可得；
（2）利用正弦函数的单调区间解不等式可得；
（3）先根据x的范围求出的范围，然后由正弦函数的性质可得.
【小问1详解】
的最小正周期
【小问2详解】
由，，得，．所以函数的单调递增区间为，
【小问3详解
∵，∴
当，即时，
当，即时，.
19、（1），或；
（2）
【解析】（1）当时，求出集合，，由此能求出，；
（2）推导出，的真子集，求出，，列出不等式组，能求出实数的取值范围
【小问1详解】
或，
当时，，
，
或；
【小问2详解】
若，且“”是“”的充分不必要条件，
，的真子集，
，，
，解得
实数的取值范围是
20、（1）周期为，增区间为，减区间为；（2）.
【解析】（1）利用三角恒等变换思想可得出，利用周期公式可求出函数的周期，分别解不等式和，可得出该函数的增区间和减区间；
（2）由可得出，利用同角三角函数的平方关系求出的值，然后利用两角差的余弦公式可求出的值.
详解】（1），
所以，函数的周期为，
令，解得；
令，解得.
因此，函数的增区间为，减区间为；
（2），，
，，，
.
【点睛】本题考查正弦型函数周期和单调区间的求解，同时也考查了利用两角差的余弦公式求值，考查运算求解能力，属于中等题.
21、 (1)见解析;(2)见解析;(3).
【解析】令代入即可求得，令，则可得，即可证明结论
根据函数的解析式求出定义域满足条件，再根据对数的运算性质，计算与并进行比较，根据对数函数的性质判断当时，的符号，即可得证
用定义法先证明函数的单调性，然后转化函数的零点为，利用条件进行求解
【详解】（1）对条件中的令得.
再令可得
所以在（－1，1）是奇函数.
(2)由可得，其定义域为（-1，1），

当时， ∴ ∴
故函数是满足这些条件.
（3）设，则
，，
由条件②知，从而有，即
故上单调递减，
由奇函数性质可知,在（0，1）上仍是单调减函数.

原方程即为，在(-1,1)上单调

又
故原方程的解为.
【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性与函数的单调性，考查了对数函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握抽象函数的处理方式，将抽象问题具体化，有一定的难度和计算量