北京市丰台区重点中学2025年高一上数学期末经典试题含解析.doc

北京市丰台区重点中学2025年高一上数学期末经典试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．△ABC的内角、、的对边分别为、、,若,,,则（）
A. B.
C. D.
2．下列命题中正确的是（）
A.第一象限角小于第二象限角 B.锐角一定是第一象限角
C.第二象限角是钝角 D.平角大于第二象限角
3．已知，都是正数，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
4．已知向量=（1，2），=（2，x），若⊥，则|2+|=（　　）
A. B.4
C.5 D.
5．设函数,若关于的方程有四个不同的解,且,则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6．函数是指数函数，则的值是
A.4 B.1或3
C.3 D.1
7．已知角的终边过点，则等于（ ）
A.2 B.
C. D.
8．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：驾驶人血液中的酒精含量大于（或等于）毫克/毫升，小于毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于饮酒驾车；含量大于（或等于）毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于醉酒驾车．假设某驾驶员一天晚上点钟喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到毫克/毫升．如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小时的速度减少，则他次日上午最早（）点（结果取整数）开车才不构成酒驾．（参考数据：，）
A. B.
C. D.
9．已知函数，若对任意，总存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
10．已知函数是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数　　
A. B.2
C.3 D.2或
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知平面向量，，若，则______
12．计算=_______________
13．函数的单调递增区间为________________.
14．已知函数且
（1）若函数在区间上恒有意义，求实数的取值范围；
（2）是否存在实数，使得函数在区间上为增函数，且最大值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由
15．已知幂函数的图象过点，则______.
16．若函数满足以下三个条件：①定义域为R且函数图象连续不断；②是偶函数；③恰有3个零点.请写出一个符合要求的函数___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．判断并证明在的单调性.
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为单位圆与x轴正半轴的交点，点P为单位圆上的一点，且，点P沿单位圆按逆时针方向旋转角后到达点.

（1）求阴影部分的面积；
（2）当时，求的值.
19．已知函数的部分图象如图所示.

（1）求的解析式；
（2）把图象上所有点的横坐标缩小到原来的，再向左平移个单位长度，向下平移1个单位长度，得到的图象，求的单调区间.
20．如图，四面体中，平面，，，，.
（Ⅰ）求四面体的四个面的面积中，最大的面积是多少？
（Ⅱ）证明：在线段上存在点，使得并求的值

21．已知函数，（其中，，）的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最高点为.
（1）求函数的解析式；
（2）先把函数的图象向左平移个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若总存在，使得不等式成立，求实数的最小值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】由已知利用余弦定理可求的值,利用等腰三角形的性质可求的值.
【详解】解：∵,,,
∴由余弦定理可得,
求得：c＝1.
∴
∴.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中应用,属于基础题.
2、B
【解析】根据象限角的定义及锐角、钝角及平角的大小逐一分析判断即可得解.
【详解】解：为第一象限角，为第二象限角，故A错误；
因为锐角，所以锐角一定是第一象限角，故B正确；
因为钝角，平角，
为第二象限角，故CD错误.
故选：B.
3、B
【解析】利用特殊值法、基本不等式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】充分性：由于，，且，取，则，充分性不成立；
必要性：由于，，且，解得，必要性成立.
所以，当，时，“”“” 必要不充分条件.
故选：B.
4、C
【解析】根据求出x的值，再利用向量的运算求出的坐标，最后利用模长公式即可求出答案
【详解】因为，所以 解得，
所以，因此，故选C
【点睛】本题主要考查向量的坐标预算以及模长求解，还有就是关于向量垂直的判定与性质
5、D
【解析】由题意，根据图象得到，，，，，
推出.令，，而函数.即可求解.
【详解】
【点睛】方法点睛：
已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
6、C
【解析】由题意，解得．故选C
考点：指数函数的概念
7、B
【解析】由正切函数的定义计算
【详解】由题意
故选：B
8、D
【解析】根据题意可得不等式，解不等式可求得，由此可得结论.
【详解】假设经过小时后，驾驶员开车才不构成酒驾，
则，即，，
则，，
次日上午最早点，该驾驶员开车才不构成酒驾.
故选：D.
9、C
【解析】先将不等式转化为对应函数最值问题：,再根据函数单调性求最值，最后解不等式得结果.
【详解】因为对任意，总存在，使得，所以,
因为当且仅当时取等号,所以，
因为,所以.
故选：C.
【点睛】对于不等式任意或存在性问题，一般转化为对应函数最值大小关系，即；，

10、A
【解析】根据幂函数的定义，求出m的值，代入判断即可
【详解】函数是幂函数，
，解得：或，
时，，其图象与两坐标轴有交点不合题意，
时，，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，
故，
故选A
【点睛】本题考查了幂函数的定义，考查常见函数的性质，是一道常规题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】求出，根据，即，进行数量积的坐标运算，列出方程，即可求解
【详解】由题意知，平面向量，，则；
因为，所以，解得
故答案为
【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的数量积的应用，其中解答中根据平面向量垂直的条件，得到关于的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
12、
【解析】原式
考点：三角函数化简与求值
13、
【解析】函数由，复合而成，求出函数的定义域，根据复合函数的单调性即可得结果.
【详解】函数由，复合而成，单调递减
令，解得或，即函数的定义域为，
由二次函数的性质知在是减函数，在上是增函数，
由复合函数的单调性判断知函数的单调递增区间，
故答案为.
【点睛】本题考查用复合函数的单调性求单调区间，此题外层是一对数函数，故要先解出函数的定义域，在定义域上研究函数的单调区间，这是本题易失分点，切记！
14、（1）
（2）存在；（或）
【解析】（1）由题意，得在上恒成立，参变分离得恒成立，再令新函数，判断函数的单调性，求解最大值，从而求出的取值范围；（2）在（1）的条件下，讨论与两种情况，利用复合函数同增异减的性质求解对应的取值范围，再利用最大值求解参数，并判断是否能取到.
【小问1详解】
由题意，在上恒成立，即在恒成立，令，则在上恒成立，令所以函数在在上单调递减，故
则，即的取值范围为.
【小问2详解】
要使函数在区间上为增函数，首先在区间上恒有意义，于是由（1）可得，①当时，要使函数在区间上为增函数，
则函数在上恒正且为增函数，
故且，即，此时的最大值为即，满足题意
②当时，要使函数在区间上为增函数，
则函数在上恒正且为减函数，
故且，即，
此时的最大值为即，满足题意
综上，存在（或）
【点睛】一般关于不等式在给定区间上恒成立的问题都可转化为最值问题，参变分离后得恒成立，等价于；恒成立，等价于成立.
15、
【解析】结合幂函数定义，采用待定系数法可求得解析式，代入可得结果.
【详解】为幂函数，可设，，解得：，
，.
故答案为：.
【点睛】本题考查幂函数解析式和函数值的求解问题，关键是能够明确幂函数的定义，采用待定系数法求解函数解析式，属于基础题.
16、（答案不止一个）
【解析】根据偶函数和零点的定义进行求解即可.
详解】函数符合题目要求，理由如下：
该函数显然满足①；
当时，，所以有，
当时，，所以有，因此该函数是偶函数，所以满足②
当时，，或，
当时，，或舍去，所以该函数有3个零点，满足③，
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、函数在单调递增
【解析】根据函数单调性的定义进行证明即可
【详解】根据函数单调性定义：
任取，所以
因为，所以，所以
所以原函数单调递增。
18、（1）（2）
【解析】
（1）由三角函数定义求出点坐标，用扇形面积减三角形面积可得弓形面积；
（2）由三角函数定义写出点坐标，计算后用二倍角公式和诱导公式计算
【详解】（1）由三角函数定义可知，点P的坐标为.
所以面积为，
扇形OPA的面积为.
所以阴影部分的面积为.
（2）由三角函数的定义，可得.
当时，，
即，
所以.
【点睛】本题考查三角函数的定义，正弦的二倍角公式和诱导公式，属于基础题．
19、（1）
（2）单调递减区间为，单调递增区间为
【解析】（1）根据最值求的值；根据周期求的值；把点代入求的值.
（2）首先根据图象的变换求出的解析式，然后利用整体代入的方法即可求出的单调区间.
【小问1详解】
由图可知，所以，.
又，所以，因为，所以.
因为，所以，
即，又|，得，
所以.
【小问2详解】
由题意得，
由，得，
故的单调递减区间为，
由，得，
故的单调递增区间为.
20、 (Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析.
【解析】（1）易得，,,均为直角三角形，且的面积最大，进而求解即可；
（2）在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N．在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM，可证得AC⊥平面MBN，从而使得AC⊥BM，利用相似和平行求解即可.
试题解析：
（1）由题设AB＝1，AC＝2，BC＝，
可得,所以,
由PA⊥平面ABC，BC、AB⊂平面ABC,所以，,
所以,
又由于PA∩AB＝A，故BC⊥平面PAB,
PB⊂平面PAB,所以,
所以，,,均为直角三角形，且的面积最大，
.

（2）证明：在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N．在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM.
由PA⊥平面ABC知PA⊥AC，所以MN⊥AC
由于BN∩MN＝N，故AC⊥平面MBN.
又BM⊂平面MBN，所以AC⊥BM.
因为与相似，，
从而NC＝AC－AN＝.
由MN∥PA，得＝＝.
21、（1）；（2）.
【解析】（1）根据相邻两个交点之间的距离为可求出，由图像上一个最高点为可求出，，从而得到函数的解析式；
（2）根据三角变换法则可得，再求出在上的最小值，利用对数函数的单调性即可求出实数的最小值
【详解】（1）∵，∴，解得.
又函数图象上一个最高点为，
∴，（），∴（），又，
∴，∴
（2）把函数的图象向左平移个单位长度，得到；然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，即，
∵，∴，，依题意知，，
∴，即实数的最小值为.