辽宁省沈阳市二十中学019-2025-2026学年数学高一第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析.doc

辽宁省沈阳市二十中学019-2025-2026学年数学高一第一学期期末教学质量检测模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式解集为
A. B.
C. D.
2．若且，则下列不等式中一定成立的是
A. B
C. D.
3．已知函数，若实数满足，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
4． “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程(为时间)，则下图与故事情节相吻合的是（）
A. B.
C. D.
5．不论a取何正实数，函数恒过点（　　）
A. B.
C. D.
6．令，，，则三个数、、的大小顺序是（ ）
A. B.
C. D.
7．已知集合，那么
A.（-1,2） B.（0，1）
C.（-1,0） D.（1,2）
8．已知函数，将图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若对任意，都有成立，则的值为
A. B.1
C. D.2
9．函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
10．设函数，若是奇函数，则的值是（）
A.2 B.
C.4 D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在中，已知，则______.
12．若在内无零点，则的取值范围为___________.
13．直线与函数的图象相交，若自左至右的三个相邻交点依次为、、，且满足，则实数________
14．函数是偶函数，且它的值域为，则__________
15．如果函数满足在集合上的值域仍是集合，则把函数称为H函数．例如：就是H函数．下列函数：①；②；③；④中，______是H函数（只需填写编号）（注：“”表示不超过x的最大整数）
16．要在半径cm的圆形金属板上截取一块扇形板，使弧AB的长为m，那么圆心角_________．（用弧度表示）
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．闽东传承着中国博大精深的茶文化，讲究茶叶茶水的口感，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．如果刚泡好的茶水温度是，空气的温度是，那么分钟后茶水的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个物体与空气的接触状况而定的正常数．现有某种刚泡好的红茶水温度是，放在的空气中自然冷却，10分钟以后茶水的温度是
（1）求k的值；
（2）经验表明，温度为 的该红茶水放在的空气中自然冷却至时饮用，可以产生最佳口感，那么，大约需要多长时间才能达到最佳饮用口感?
（结果精确到，附：参考值）
18．已知集合，集合.
（1）求集合；
（2）求
19．已知函数.
（1）求的值；你能发现与有什么关系？写出你的发现并加以证明：
（2）试判断在区间上的单调性，并用单调性的定义证明.
20．已知圆过三个点.
（1）求圆的方程；
（2）过原点的动直线与圆相交于不同的两点，求线段的中点的轨迹.
21．已知函数的部分图象如图所示.

（1）求的解析式；
（2）若，求的最值以及取得最值时相应的的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】，又函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，所以，解得.
考点：偶函数的性质.
【思路点睛】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键.根据函数奇偶性可得，再根据函数的单调性，可得；然后再解不等式即可求出结果
2、D
【解析】利用不等式的性质逐个检验即可得到答案.
【详解】A,a＞b且c∈R，当c小于等于0时不等式不成立，故错误；
Bab，c∈R，且a＞b，可得a﹣b＞0，当c=0时不等式不成立，故错误；,
C,举反例，a=2,b=-1满足a>b,但不满足，故错误；
D,将不等式化简即可得到a>b,成立，
故选D.
【点睛】本题主要考查不等式的性质以及排除法的应用，属于简单题.用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法.若结果为定值，则可采用此法.特殊法是“小题小做”的重要策略.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等
3、D
【解析】由题可得函数关于对称，且在上单调递增，在上单调递减，进而可得，即得.
【详解】∵函数，定义域为，
又，
所以函数关于对称，
当时，单调递增，故函数单调递增，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
由可得，，
解得，且.
故选：D.
4、B
【解析】分别分析乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化情况,即直线的斜率变化即可.
【详解】解：对于乌龟，其运动过程分为两段：从起点到终点乌龟没有停歇，一直以匀速前进，其路程不断增加；到终点后，等待兔子那段时间路程不变；
对于兔子，其运动过程分三段：开始跑的快,即速度大，所以路程增加的快；中间由于睡觉，速度为零，其路程不变；醒来时追赶乌龟，速度变大，所以路程增加的快；
但是最终是乌龟到达终点用的时间短.
故选：B
点睛】本题考查利用函数图象对实际问题进行刻画，是基础题.
5、A
【解析】令指数为0，即可求得函数恒过点
【详解】令x+1=0，可得x=-1，则
∴不论取何正实数，函数恒过点（-1，-1）
故选A
【点睛】本题考查指数函数的性质，考查函数恒过定点，属于基础题
6、D
【解析】由已知得，，，判断可得选项.
【详解】解：由指数函数和对数函数的图象可知：，，，所以，
故选：D
【点睛】本题考查了对数式、指数式的大小比较，比较大小的常用方法为同底的对数式和指数式利用其单调性进行比较，也可以借助于中间值0和1进行比较，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.
7、A
解析】利用数轴，取所有元素，得
【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理
8、D
【解析】利用辅助角公式化简的解析式，再利用正弦型函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得的值
【详解】
，（其中，），
将图象向右平移个单位长度得到函数的图象，得到
，
∴，，解得，故选D.
9、A
【解析】由奇偶性定义判断对称性，再根据解析式判断、上的符号，即可确定大致图象.
【详解】由题设，且定义域为R，即为奇函数，排除C，D；
当时恒成立；
，故当时，当时；
所以，时，时，排除B；
故选：A.
10、D
【解析】根据为奇函数，可求得，代入可得答案.
【详解】若是奇函数，则，
所以，，
.
故选：D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、11
【解析】由
.
12、
【解析】求出函数的零点，根据函数在内无零点，列出满足条件的不等式，从而求的取值范围.
【详解】因为函数在内无零点，
所以，所以；
由，得，
所以或，
由，得；由，得；由，得，
因为函数在内无零点，
所以或或，
又因为，所以取值范围为.
故答案为：.
13、或
【解析】设点、、的横坐标依次为、、，由题意可知，根据题意可得出关于、的方程组，分、两种情况讨论，求出的值，即可求得的值.
【详解】设点、、的横坐标依次为、、，则，
当时，因为，所以，，即，
因为，得，
因为，则，
即，可得，
所以，，可得，
所以，；
当时，因为，所以，，即，
因为，得，
因为，则，
即，可得，
所以，，可得，
所以，.
综上所述，或.
故答案为：或.
14、
【解析】展开，由是偶函数得到或，分别讨论和时的值域，确定，的值，求出结果.
【详解】解：为偶函数，
所以，即或，
当时，值域不符合，所以不成立；
当时，，若值域为，则，所以
.
故答案为：.
15、③④
【解析】根据新定义进行判断.
【详解】根据定义可以判断①②在集合上的值域不是集合，显然不是H函数.③④是H函数.
③是H函数，证明如下：
显然，
不妨设，可得，即
，恒有成立
，满足
，总存在满足
是H函数.
④是H函数，证明如下：
显然，
不妨设，可得，即
，恒有成立
，满足
，总存在满足
H函数.
故答案为：③④
16、
【解析】由弧长公式变形可得：，代入计算即可.
【详解】解：由题意可知：（弧度）.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）由解方程可得解；
（2）令，解方程可得解.
【小问1详解】
由题意可知，
，其中，
所以，
解得
小问2详解】
设刚泡好的茶水大约需要放置分钟才能达到最佳饮用口感，
由题意可知，，
令，所以，
，，
所以，
所以刚泡好的茶水大约需要放置分钟才能达到最佳饮用口感.
18、（1）；（2）
【解析】⑴解不等式求得集合
⑵根据已知的集合，集合，运用交集的运算即可求得
解析：（1）由已知得.
（2）.
19、（1），，与的关系：，证明见解析
（2）在上单调递减，证明见解析
【解析】（1）通过函数解析式计算出，通过计算证明.
（2）通过来证得在区间上单调递减.
【小问1详解】
，

.
证明：.
.
【小问2详解】
在区间上递减
证明如下：且

.
在上单调递减.
20、（1）
（2）
【解析】（1）设圆的方程为，列出方程组，求得的值，即可求得圆的方程；
（2）根据题意得到，得出在以为直径的圆上，得到以为直径的圆的方程，再联立两圆的方程组，求得交点坐标，即可得到点的轨迹方程.
【小问1详解】
解：设圆的方程为，
因为圆过三个点，
可得，解得，
所以圆的方程为，即.
【小问2详解】
解：因为为线段的中点，且，所以在以为直径的圆上，
以为直径的圆的方程为，
联立方程组，解得或，
所以点的轨迹方程为.
21、（1）
（2）时，，时，
【解析】（1）根据图像先确定，再根据周期确定，代入特殊点确定，即可得到函数解析式；
（2）将作为一个整体，求出其取值范围，进而求得函数最值，以及相应的x的值.
【小问1详解】
由图知，，
，即，
得，所以，
又，所以， ,
即，由得，
所以.
【小问2详解】
由得，
所以当，即时，，
当，即时，.