2025年江苏省海安中学数学高二第一学期期末复习检测模拟试题含解析.doc

2025年江苏省海安中学数学高二第一学期期末复习检测模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题：若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则；命题：等轴双曲线的离心率为，则下列命题是真命题的是（）
A B.
C. D.
2．已知直线和圆，则“”是“直线与圆相切”的（）.
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．已知倾斜角为的直线与双曲线，相交于，两点，是弦的中点，则双曲线的渐近线的斜率是（）
A. B.
C. D.
4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第7项为（）
A.101 B.99
C.95 D.91
6．过椭圆的左焦点作弦，则最短弦的长为（）
A. B.2
C. D.4
7．某地区高中分三类，A类学校共有学生2000人，B类学校共有学生3000人，C类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则A类学校中的学生甲被抽到的概率（ ）
A. B.
C. D.
8．在中，B=30°，BC=2，AB=，则边AC的长等于（ ）
A. B.1
C. D.2
9．为调查参加考试的高二级1200名学生的成绩情况，从中抽查了100名学生的成绩，就这个问题来说，下列说法正确的是（）
A.1200名学生是总体 B.每个学生是个体
C.样本容量是100 D.抽取的100名学生是样本
10．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则（）
A. B.
C. D.
11．已知等差数列{an}中，a4 + a9 = 8，则S12 = （ ）
A.96 B.48
C.36 D.24
12．若，则n的值为（）
A.7 B.8
C.9 D.10
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．命题“矩形的对角线相等”的否命题是________.
14．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：其中，所有正确结论的序号是____________
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；
③曲线C所围城的“心形”区域的面积小于3

15．已知，，则以AB为直径的圆的方程为___________.
16．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，则密码被成功破译的概率_________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，F，G分别是，的中点

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的大小
18．（12分）如图，P为圆上一动点，点A坐标为，线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q

（1）求点Q的轨迹E的方程；
（2）过点A的直线l交E于C，D两点，若△BCD内切圆的半径为，求直线l的方程.
19．（12分）已知抛物线C：经过点（1，-1）.
（1）求抛物线C的方程及其焦点坐标；
（2）过抛物线C上一动点P作圆M：的一条切线，切点为A，求切线长|PA|的最小值.
20．（12分）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，椭圆上的动点到焦点的最大距离为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过作一条不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，弦的中垂线交轴于，当变化时，是否为定值? 若是，定值为多少?
21．（12分）定义：设是空间的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的坐标．已知是空间的单位正交基底， 是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标为
（1）求向量在基底下的坐标；
（2）求向量在基底下的模
22．（10分）已知点F是抛物线和椭圆的公共焦点，是与的交点，.

（1）求椭圆的方程；
（2）直线与抛物线相切于点，与椭圆交于，，点关于轴的对称点为.求的最大值及相应的.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】先判断出p、q的真假，再分别判断四个选项的真假.
【详解】因为“若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则或”，所以p为假命题；
对于等轴双曲线，，所以离心率为，所以q为真命题.
所以假命题，故A错误；
为假命题，故B错误；
为假命题，故C错误；
为真命题，故D正确.
故选：D
2、B
【解析】首先求出直线与圆相切时的取值，再根据充分必要条件的定义判断.
【详解】若直线与圆相切，则圆心到直线的距离，
则，解得，
所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.
故选：B
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，充分必要条件，重点考查计算，理解能力，属于基础题型.
3、A
【解析】依据点差法即可求得的关系，进而即可得到双曲线的渐近线的斜率.
【详解】设，则
由，可得
则，即，则
则双曲线的渐近线的斜率为
故选：A
4、C
【解析】根据双曲线的定义求得，利用可得离心率范围
【详解】因为，又，所以，，
又，即，，所以离心率
故选：C
5、C
【解析】根据所给数列找到规律：两次后项减前项所得数列为公差为2的数列，进而反向确定原数列的第7项.
【详解】根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，如图：

故选：C.
6、A
【解析】求出椭圆的通径，即可得到结果
【详解】过椭圆的左焦点作弦，则最短弦的长为椭圆的通径：
故选：A
7、D
【解析】利用抽样的性质求解
【详解】所有学生数为，
所以所求概率为.
故选：D
8、B
【解析】利用余弦定理即得
【详解】由余弦定理，得，
解得AC=1
故选：B.
9、C
【解析】根据总体、个体、样本容量、样本的定义，结合题意，即可判断和选择.
【详解】根据题意，总体是名学生的成绩；个体是每个学生的成绩；
样本容量是，样本是抽取的100名学生的成绩；故正确的是C.
故选：C.
10、B
【解析】根据“拐点”的概念可判断函数的对称中心，进而求解.
【详解】，，，
令，解得：，
而，故函数关于点对称，
，

，
故选：B.
11、B
【解析】利用等差数列的性质求解即可.
【详解】解：由等差数列的性质得.
故选：B
12、D
【解析】根据给定条件利用组合数的性质计算作答
【详解】因为，则由组合数性质有，即，
所以n的值为10.
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、 “若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等”
【解析】否命题是条件否定，结论否定，即可得解.
【详解】否命题是条件否定，结论否定，
所以命题“矩形的对角线相等”的否命题是“若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等”
故答案为：“若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等”
14、①②
【解析】根据题意，先判断曲线关于轴对称，由基本不等式的性质对方程变形，得到，可判定①正确；当时，，得到曲线右侧部分的点到原点的距离都不超过，再根据曲线的对称性，可判定②正确；由轴的上方，图形的面积大于四点围成的矩形的面积，在轴的下方，图形的面积大于三点围成的三角形的面积，可判断③不正确.
【详解】根据题意，曲线，
用替换曲线方程中的，方程不变，所以曲线关于轴对称，
对于①中，当时，，即为，
可得，所以曲线经过点，
再根据对称性可知，曲线还经过点，故曲线恰好经过6个整点，所以①正确；
对于②中，由①可知，当时，，即曲线右侧部分的点到原点的距离都不超过，再根据曲线的对称性可知，曲线上任意一点到原点的距离都不超过，所以②正确；
对于③中，因为在轴的上方，图形的面积大于四点围成的矩形的面积，在轴的下方，图形的面积大于三点围成的三角形的面积，所以曲线所围城的“心形”区域的面积大于3，所以③不正确.
故选：①②
15、
【解析】求圆心及半径即可.
【详解】由已知可得圆心坐标为，半径为，
所以圆的方程为：.
故答案为：
16、
【解析】根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，进而由对立事件的概率性质分析可得答案
【详解】解：根据题意，甲乙两人能成功破译的概率分别是，，
则密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码概率，
故该密码被成功破译的概率
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）
【解析】(1) 取中点连接，连接，证得四边形为平行四边形，，再证面，即可得到证明结果；（2）建立空间坐标系，求面和面的法向量，即可得到两个面的二面角的余弦值，进而得到二面角大小.
【小问1详解】

如上图，取中点连接，连接，均为线段中点，
且，又G是的中点，且
且四边形为平行四边形
为等腰直角三角形，为斜边中点，

面，面
面
又面 .
【小问2详解】

建立如图坐标系，

设面的法向量为
设面的法向量为
两个法向量的夹角余弦值为：，由图知两个面的二面角为钝角，故夹角为.
18、（1）
（2）
【解析】（1）连接，由，利用椭圆的定义求解；
（2）设点，，直线的方程为，与椭圆联立，结合韦达定理，利用等面积法求解.
【小问1详解】
解：连接，由题意知：，
，
即的轨迹为椭圆，其中，，，
所以椭圆的标准方程为；
【小问2详解】
设点，，直线的方程为，
与椭圆联立，消去整理得，
显然成立，故，，
由椭圆定义得的周长为，
则的面积，
又由，得，
从而得，即，
整理得，解得，故，
故直线的方程为.
19、（1），焦点坐标为；
（2）
【解析】（1）将点代入抛物线方程求解出的值，则抛物线方程和焦点坐标可知；
（2）设出点坐标，根据切线垂直于半径，根据点到点距离公式表示出，然后结合二次函数的性质求解出的最小值.
【小问1详解】
解：因为抛物线过点，所以，解得，
所以抛物线的方程为：，焦点坐标为；
【小问2详解】
解：设，因为为圆的切线，所以，，
所以，
所以当时，四边形有最小值且最小值为.
20、（1）
（2）是，
【解析】(1)由抛物线方程求出其焦点坐标，结合椭圆的几何性质列出，的方程，解方程求，由此可得椭圆方程，(2)联立直线椭圆椭圆方程，求出弦的长和其中垂线方程，再计算，由此完成证明.
【小问1详解】
抛物线的交点坐标为（1，0），，又，
又，∴ ，
椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
设直线的斜率为，则直线的方程为，联立
消元得到，显然，
，

∴，
又的中点坐标为，直线的中垂线的斜率为
∴ 直线的中垂线方程为
，令，
，
（常数）.
【点睛】求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值
21、（1）
（2）
【解析】（1）根据向量在基底下的坐标为，得出向量在基底下的坐标；
（2）根据向量在基底下的坐标直接计算模即可
【小问1详解】
因为向量在基底下坐标为，
则 ，
所以向量在基底下的坐标为.
【小问2详解】
因为向量在基底下的坐标为，
所以向量在基底下的模为.
22、（1）；（2），.
【解析】（1）根据题意可得，然后根据，，计算可得，最后可得结果.
（2）假设直线的方程为，根据与抛物线相切，可得，然后与椭圆联立，计算，然后计算点到的距离，计算，利用函数性质可得结果.
【详解】（1）由题意知：，.
，
得：，所以.
所以的方程为.

（2）设直线的方程为，则
由，得

得：
所以直线的方程为.
由，得
得
.
又，所以点到的距离为.
.
令，则，
.
此时，即
【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的综合以及三角形面积问题，本题着重考查对问题分析能力以及计算能力，属难题.