hmw《正态分布》.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.4,正态分布,高二数学 选修,2-3,如何得到连续型随机变量的密度函数曲线呢？,25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.39 25.42,25.47 25.35 25.41 25.43 25.44 25.48 25.45 25.43,25.46 25.40 25.51 25.45 25.40 25.39 25.41 25.36,25.38 25.31,25.56,25.43 25.40 25.38 25.37 25.44,25.33 25.46 25.40 25.49 25.34 25.42 25.50 25.37,25.35 25.32 25.45 25.40,25.27,25.43 25.54 25.39,25.45 25.43 25.40 25.43 25.44 25.41 25.53 25.37,25.38 25.24 25.44 25.40 25.36 25.42 25.39 25.46,25.38 25.35 25.31 25.34 25.40 25.36 25.41 25.32,25.38 25.42 25.40 25.33 25.37 25.41 25.49 25.35,25.47 25.34 25.30 25.39 25.36 25.46 25.29 25.40,25.37 25.33 25.40 25.35 25.41 25.37 25.47 25.39,25.42 25.47 25.38 25.39,某钢铁加工厂生产内径为,25.40mm,的钢管,为了检验产品的质量,从一批产品中任取,100,件检测,测得它们的实际尺寸,（随机变量,X),如下,:,情境,1,：,列出,随机变量,X,的,频率分布表,分组,频数,频率,累积频率,频率,/,组距,25.23525.265,1,0.01,0.01,0.0009,25.26525.295,2,0.02,0.03,0.0018,25.29525.325,5,0.05,0.08,0.0045,25.32525.355,12,0.12,0.20,0.0109,25.35525.385,18,0.18,0.38,0.0164,25.38525.415,25,0.25,0.63,0.0227,25.41525.445,16,0.16,0.79,0.0145,25.44525.475,13,0.13,0.92,0.0118,25.47525.505,4,0.04,0.96,0.0036,25.50525.535,2,0.02,0.98,0.0018,25.53525.565,2,0.02,1.00,0.0018,合计,100,1.00,100,件产品尺寸的,频率分布直方图,25.235,25.295,25.355,25.415,25.475,25.535,产品内径尺寸,/,mm,频率,组距,25.265,25.325,25.385,25.445,25.505,25.565,o,2,4,6,8,随机变量,X,的,频率分布直方图,200,件产品尺寸的,频率分布直方图,产品内径尺寸,/,mm,频率,组距,o,2,4,6,8,产品内径尺寸,/,mm,频率,组距,o,2,4,6,8,样本容量增大时,频率分布直方图,随机变量,X,的,分布密度曲线,可以看出,当样本容量无限大,分组的组距无限缩小时,这个频率直方图上面的折线就会无限接近于一条光滑曲线,-,随机变量,X,的,分布密度曲线0,Y,X,式中的实数,m,、,s,是参数,“,钟形”曲线,若随机变量,X,的,分布密度曲线的,函数解析式为：,表示总体的平均数与标准差,这条曲线就称正态分布密度曲线,随机变量,X,服从正态分布，则记作,X,N,（,，,2,）,2.,正态分布的定义,:,如果对于任何实数,ab,随机变量,X,满足,:,则称随机变量,X,服从正态分布,.,正态分布由参数,、,唯一确定,.,正态分布记作,N,（,，,2,）,在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布：,在生产中,，,在正常生产条件下各种产品的质量指标；,在测量中,，,测量结果；,在生物学中,，,同一群体的某一特征；,；,在气象中,，,某地每年七月份的平均气温、平均湿度,以及降雨量等，水文中的水位；,总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。,正态分布在概率和统计中占有重要地位。,正态总体,的函数表示式,当,=0,，,=1,时,标准正态总体,的函数表示式,0,1,2,-1,-2,x,y,-3,3,=0,=1,标准正态曲线,方差相等、均数不等的正态分布图示,3,1,2,=0.5,=-1,=0,=1,若 固定,随 值的变化而沿,x,轴平移,故 称为位置参数；,m,的意义,:,总体平均数,反映总体随机变量的,平均水平,均数相等、方差不等的正态分布图示,=0.5,=1,=2,=0,若 固定,大时,曲线矮而胖；,小时,曲线瘦而高,故称,为形状参数。,总体标准差,反映总体随机变量的,集中与分散的程度,s,的意义,3,、正态曲线的性质,0,1,2,-1,-2,x,y,-3,=-1,=0.5,0,1,2,-1,-2,x,y,-3,3,=0,=1,0,1,2,-1,-2,x,y,-3,3,4,=1,=2,具有,两头低、中间高、左右对称,的基本特征,0,1,2,-1,-2,x,y,-3,=-1,=0.5,0,1,2,-1,-2,x,y,-3,3,=0,=1,0,1,2,-1,-2,x,y,-3,3,4,=1,=2,（,1,）曲线在,x,轴的上方，与,x,轴不相交,.,（,2,）曲线是单峰的,它关于直线,x,=,对称,.,3,、正态曲线的性质,（,4,）曲线与,x,轴之间的面积为,1,（,3,）曲线在,x,=,处达到峰值,(,最高点,),=0.5,0,1,2,-1,-2,x,y,-3,3,X=,=1,=2,(6),当,一定时，曲线的形状由,确定,.,越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；,越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中,.,（,5,）当,x,时,曲线下降,.,并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以,x,轴为渐近线,向它无限靠近,.,3,、正态曲线的性质,正态曲线下的面积规律,X,轴与正态曲线所夹面积恒等于,1,。,对称区域面积相等。,S,(-,-,X,),S,(,X,),S(-,-X),正态曲线下的面积规律,对称区域面积相等。,S,(-,x,1,-,x,2,),-,x,1,-,x,2,x,2,x,1,S,(,x,1,x,2,)=,S,(-,x,2,-x,1,),4,、特殊区间的概率,:,m,-,a,m,+,a,x,=,若,XN ,则对于任何实数,a0,概率,为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面积随着 的减少而变大。这说明 越小,落在区间 的概率越大，即,X,集中在 周围概率越大。,特别地有,我们从上图看到，正态总体在 以外取值的概率只有,4.56,，在 以外取值的概率只有,0.26,。,由于这些概率值很小（一般不超过,5,），通常称这些情况发生为,小概率事件,。,例,1,、下列函数是正态密度函数的是（）,A.,B.,C.,D.,B,练习：,1,、若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数且该函,数的最大值等于 ，求该正态分布的概率密度函数的,解析式。,20,25,30,15,10,x,y,5,35,2,、如图，是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差。,例,2,、把一个正态曲线,a,沿着横轴方向向右移动,2,个单位，得到新的一条曲线,b,。下列说法中不正确的是（）,A.,曲线,b,仍然是正态曲线；,B.,曲线,a,和曲线,b,的最高点的纵坐标相等,;,C.,以曲线,b,为概率密度曲线的总体的期望比以曲线,a为概率密度曲线的总体的期望大,2;,D.,以曲线,b,为概率密度曲线的总体的方差比以曲线,a,为概率密度曲线的总体的方差大,2,。,D,例,3,某年级的一次数学测验成绩近似服从参数为,70,和,2,10,2,的正态分布，如果规定低于,60,分为不及格，求：,(1),成绩不及格的人数占全班人数的百分比是多少？,(2),成绩在,80,90,分内的学生的人数占全班人数的百分比是多少？,分析,正态曲线关于直线,x,对称，故可利用对称性和特殊值求解,正态变量在三个常用区间上的概率的应用,例,3,、在某次数学考试中，考生的成绩 服从一个正态分布，即,N(90,100).,（,1,）试求考试成绩 位于区间70,110),上的概率是多少？,（,2,）若这次考试共有,2000,名考生，试估计考试成绩在,(80,100),间的考生大约有多少人？,练习：,1,、已知一次考试共有,60,名同学参加，考生的成绩,XN,，据此估计，大约应有,57,人的分数在下列哪个区间内？（）,(90,110 B.(95,125 C.(100,120 D.(105,115,A,正态变量在三个常用区间上的概率的应用,2,、已知,XN(0,1),，则,X,在区间 内取值的概率等于（）,A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228,3,、设离散型随机变量,XN(0,1),则,=,=,.,4,、若,XN(5,1),求,P(6X7).,D,0.5,0.9544,5,已知随机变量,服从正态分布,N,(3,，,2,),，则,P,(,3),_.,6,已知正态总体的数据落在区间,(,3,，,1),里的概率和落在区间,(3,5),里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为,_,答案,1,解析,正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等另外，因为区间,(,3,，,1),和区间,(3,5),的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的,区间,(,3,，,1),和区间,(3,5),关于直线,x,1,对称，所以正态分布的数学期望是,1.,有一种精密零件，其尺寸,X单位：,mm),服从正态分布，即,X,N,(20,4),若这批零件共有,5 000,个试求：,(1),这批零件中尺寸在,18mm,22 mm,间的零件所占的百分比,(2),若规定尺寸在,24 mm,26 mm,间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？,分析,解答此题需先确定,、,以及所给区间与,、,之间的关系,正态分布的综合应用,某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间,X,(,单位：分,),近似服从正态分布,X,N,(50,10,2,),，求他在,(30,60,分内赶到火车站的概率,分析,正态曲线关于,x,对称，故可利用对称性和特殊值求解,误解,B正解,D,.,.,.,1,4,.,2,?,的某一球槽内,最后掉入高尔顿板下方,与层层小木块碰撞,程中,小球在下落过,通道口落下,上方的,让一个小球从高尔顿板,前面挡有一块玻璃,隙作为通道,空,小木块之间留有适当的,木块,形小,柱,互平行但相互错开的圆,排相,在一块木板上钉上若干,图,板示意,所示的就是一块高尔顿,图,你见过高尔顿板吗,-,情境,2,：,高尔顿钉板实验,3,(2014,哈师大附中高二期中,),已知随机变量,服从正态分布,N,(1,4),，则,P,(,3,5),(,),(,参考数据：,P,(,),0.6826,，,P,(,2,2,),0.9544,，,P,(,3,3,),0.9974),A,0.6826B,0.9544,C,0.0026D,0.9974,答案,B,解析,由,N,(1,4),知，,1,，,2,，,2,3,，,2,5,，,P,(,3,5),P,(,2,2,),0.9544,，故选,B.,