大学概率论总复习(2).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,大学概率论总复习,第一章 随机事件,第一节 样本空间和随机事件,第二节 事件关系和运算,第一章 基本知识点,1.概率论,概率论就是研究随机现象的统计规律性的数学学科,2.确定性现象与随机现象,3.随机试验,(1)试验在相同的条件下可重复进行,(2),每次试验的结果具有多种可能性，而且在试验之前,可以确定试验的所有可能结果,(3)每次试验前不能准确预言试验后会出现哪种结果,在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大,量的重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机,事件，简称事件,4.随机事件,5.样本点,6.样本空间,随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为,这个试验的一个样本点，记作 ,全体样本点组成的集合称为这个试验的样本空间，,记作即,仅含一个样本点的随机事件称为基本事件,7.随机事件,含有多个样本点的随机事件称为复合事件,8.必然事件,一次随机试验中，必然会发生的随机事件.,9.不可能事件,一次随机试验中，不可能会发生的随机事件.,给定一个随机试验，设为其样本空间，则：,事件,事件之间的关系,集合,集合之间的关系,10.,事件关系和运算,事件的运算,集合的运算,概率论,集合论,随机事件,A,，,B,，.,的子集,A,，,B,，.,随机事件,间的关系,各种集合,间的关系,概率论与集合论之间的关系概率论,集合论,样本空间,全集,必然事件,全集,不可能事件,空集,子事件,子集,并事件,并集,交事件,交集,差事件,差集,对立事件,补集,第二章 事件的概率,第一节 概率的概念,第二节 古典概型,第三节 几何概型,第四节 概率的公理化定义,第二章 基本知识点,1.,随机事件的频率,设随机事件,A,在,n,次随机试验中出现了,r,次，,则称这,n,次试验中事件,A,出现的频率为：,随机事件,A,在相同条件下重复多次时，事件,A,发生的频率在一个固定的数值,p,附近摆动，,随着试验次数的增加更加明显.,2.频率的稳定性,对任意事件,A,，在相同的条件下重复进行,n,次试验，事件,A,发生的频率随着试验次数的增大而稳定地在某个常数,p,附近摆动,那么称,p,为事件,A,的概率，记为,事件,A,的,频率,3.概率的统计定义,事件,A,的,概率,当试验次数足够大时,近似地代替,事件,A,的概率,准确的数值,频率的稳定值,概率,事件,A,(1)有限性：,各个可能结果出现是等可能的.,试验的可能结果只有有限个；,(2)等可能性：,4.,古典概型：,古典概型的基本特征：,样本空间是个有限集,基本事件的概率均相同,5.概率的古典定义,对于古典概型：,(1)设所有可能的试验结果构成的样本空间为：,(2)事件,其中 为,1,2,n,中的,r,个不同的数,则定义事件,A,的概率为：,6.几何概型,古典概型中的有限性推广到,无限性,，而保留,等可能性,事件,A,“随机点落在,中的子区域,S,A,中”,长度、面积或体积,1.基本特征：,(1)有一个可度量的几何图形,(2)试验,E,看成在,中随机的一点,设随机试验的样本空间为，若对任一,事件,A,，有且只有一个实数,P,(,A,),与之对应，,满足如下公理：,(1)非负性,：,(2)规范性：,(3)完全可加性,：,7.,概率的公理化定义,对任意一列两两互斥事件,A,1,，,A,2,，有：,则称,P,(,A,)为事件,A,的概率,8.,概率的性质,不可能事件的概率为零,性质1,性质2,逆事件的概率,性质3,对任意有限个互斥事件,A,1,，,A,2,A,n,，,有：,互不相容事件概率的有限可加性,性质4,加法定理,性质5,若 ，则：,且,差事件的概率,B,C,A,性质6,加法定理的推广形式,第三章 条件概率与事件的独立性,第一节 条件概率,第二节 全概率公式,第三节 贝叶斯公式,第四节 事件的独立性,第五节 伯努利试验和二项概率,第六节 主观概率,第三章 基本知识点,设,A,，,B,为同一随机试验中的两个随机事件,且,P,(,A,)0，则称已知,A,发生条件下,B,发生,的概率为,B,的条件概率，记为,1.条件概率的定义,2.乘法定理,设,A,1,，,A,2,，.，,A,n,构成一个完备事件组，,且,P,(,A,i,)0(,i,1，2n,)，则对任一随机,事件,B,，有:,3.全概率公式,设,A,1,，,A,2,，,A,n,构成完备事件组，且每个,P,(,A,i,)0，,B,为样本空间的任意事件且,P,(,B,)0,则有：,4.贝叶斯公式,P,(,B,A,)=,P,(,B,),5.事件独立的定义,A,与,B,相互独立的,充要条件,如果事件,A,，,B,，,C,满足:,(,a,),P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,),(,b,),P,(,AC,)=,P,(,A,),P,(,C,),(,c,),P,(,BC,)=,P,(,B,),P,(,C,),则称事件,A,，,B,，,C,两两独立.,6.事件的独立性的推广,(1)事件,A,，,B,，,C,两两独立,：,如果事件,A,，,B,，,C,满足:,(,a,),P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,),(,b,),P,(,AC,)=,P,(,A,),P,(,C,),(,c,),P,(,BC,)=,P,(,B,),P,(,C,),(,d,),P,(,ABC,)=,P,(,A,),P,(,B,),P,(,C,),则称事件,A,，,B,，,C,相互独立.,(2)事件,A,，,B,，,C,相互独立,：,在,n,重独立重复试验中，若每次试验只有两种可,能的结果：,A,及 ，且,A,在每次试验中发生的概,率为,p,，则称其为,n,重贝努利试验,，简称贝努利,试验.,7.贝努利试验,8.二项概率：,设在一次试验中事件,A,发生的概率为,p,(0,p,0,则在条件,Y,=,y,j,下,X,=,x,i,的条件概率为：,10.离散型随机变量的条件分布律:,称这个分布为,在给定的,Y,=,y,j,条件下,X,的条件分布律,.,表格形式：,概率,(2)设(,X,Y,)为二维离散型随机变量，其分布律已知.,假设,P,(,X,=,x,i,)0,则在条件,X,=,x,i,下,Y,=,y,j,的,条件概率为：,称这个分布为,在给定的,X,=,x,i,条件下,Y,的条件分布律,.,表格形式：,概率,(1)对于二维连续型随机变量(,X,Y,)，其分布已知.,规定,在给定的,Y,=,y,条件下,X,的条件分布,为一个,连续型分布，它的条件密度函数为：,11.连续型随机变量的条件分布律:,(2)对于二维连续型随机变量(,X,Y,)，其分布已知.,规定,在给定的,X,=,x,条件下,Y,的条件分布,为一个,连续型分布，它的条件密度函数为：,第六章 随机变量的函数及其分布,第一节 一维随机变量的函数及其分布,第二节 二维随机变量的函数的分布,第六章 基本知识点,若,X,为离散型随机变量,其分布律为,则随机变量,X,的函数,Y,=,g,(,X,)的分布律为,1.离散型随机变量的函数的分布,概率,概率,设,X,为连续型随机变量，其概率密度函数为,f,(,x,).,y,=,g,(,x,)是,一个连续函数，则：,(1)求随机变量,Y,=,g,(,X,)的分布函数,F,Y,(,y,)为：,(2)随机变量,Y,=,g,(,X,)的概率密度函数,f,Y,(,y,)为：,2.连续型随机变量的函数的分布,3.二维离散型随机变量的函数的分布,设(,X,Y,)是二维离散型随机变量，其联合,分布律为,g,(,x,y,)是一个二元函数，,Z,=,g,(,X,Y,)是二,维随机变量(,X,Y,)的函数，则随机变量,Z,的分布律为：,4.二维连续型随机变量的函数的分布,Z,的分布密度函数为：,(1)(,X,Y,)是二维随机变量,Z,的分布函数为：,假设：,(2)(,X,Y,)的联合分布函数为,F,(,x,y,),(3),Z,=,g,(,X,Y,)是随机变量,X,Y,的二元函数,第七章 随机变量的数字特征,第一节 数学期望,第二节 方差和标准差,第三节 协方差和相关系数,第四节 切比雪夫不等式及大数律,第五节 中心极限定理,第七章 基本知识点,设离散型随机变量的概率分布律为,1.离散型随机变量的数学期望,则随机变量,X,的数学期望为：,定义：,即,概率,2.连续型随机变量的数学期望,E,(,X,),3.二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望,(1)(,X,Y,)为二维离散型随机变量,(2)(,X,Y,)为二维连续型随机变量,4.随机变量的函数的数学期望,定理1：,设,Y,=,g,(,X,)是随机变量,X,的函数，,离散型,连续型,概率密度为,一维情形,定理,2,：,联合概率密度为,设,Z,=,g,(,X,Y,)是随机变量,X,Y,的函数，,连续型,离散型,二维情形,5.,方差,6.,标准差(均方差),注：,方差的计算方法,(1),(2),常用的简便方法,描述数据分散程度的指标,7.一维随机变量的方差,设离散型随机变量,X,的概率分布为,(1)离散型,(2)连续型,设连续型随机变量,X,的分布密度为,f,(,x,),0-1分布,3.常见分布及其期望和方差,方差,D,(,X,),数学期望,E,(,X,),常见分布,二项分布,泊松分布,均匀分布,正态分布,指数分布,8.二维随机变量的方差,9.随机变量,X,和,Y,的协方差的定义：,