2026届北京海淀科大附中高二数学第一学期期末统考试题含解析.doc

2026届北京海淀科大附中高二数学第一学期期末统考试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若直线与互相垂直，则实数a的值为（）
A.-3 B.
C. D.3
2．已知数列的通项公式为．若数列的前n项和为，则取得最大值时n的值为（ ）
A.2 B.3
C.4 D.5
3．已知等差数列的公差，是与的等比中项，则（）
A. B.
C. D.
4．已知椭圆的左，右焦点分别为，，直线与C交于点M，N，若四边形的面积为且，则C的离心率为（）
A. B.
C. D.
5．边长为的正方形沿对角线折成直二面角，、分别为、的中点，是正方形的中心，则的大小为（）
A. B.
C. D.
6．将数列中的各项依次按第一个括号1个数，第二个括号2个数，第三个括号4个数，第四个括号8个数，第五个括号16个数，…，进行排列，，，…，则以下结论中正确的是（）
A.第10个括号内的第一个数为1025 B.2021在第11个括号内
C.前10个括号内一共有1025个数 D.第10个括号内的数字之和
7．已知数列为递增等比数列，，则数列的前2019项和（）
A. B.
C. D.
8．向量，向量，若，则实数（）
A. B.1
C. D.
9．已知数列中，，()，则等于（ ）
A. B.
C. D.2
10．经过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
11．已知是椭圆两个焦点，P在椭圆上，，且当时，的面积最大，则椭圆的标准方程为（）
A. B.
C. D.
12．已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若以为直径的圆过点P且，则C的离心率为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在正项等比数列中，，，则的公比为___________.
14．已知等差数列的前n项和为，，，则______
15．已知函数，若递增数列满足，则实数的取值范围为__________.
16．过点作圆的切线l，直线与l平行，则直线l过定点_________，与l间的距离为____________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，其中为常数，且
（1）求证：时，；
（2）已知a，b，p，q为正实数，满足，比较与的大小关系.
18．（12分）已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，，，分别是，的中点.

（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
19．（12分）已知抛物线的焦点为，点在第一象限且为抛物线上一点，点在点右侧，且△恰为等边三角形
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与交于两点，向量的夹角为（其中为坐标原点），求实数的取值范围.
20．（12分）已知直线.
（1）若，求直线与直线交点坐标；
（2）若直线与直线垂直，求a的值.
21．（12分）2017年国家提出乡村振兴战略目标：2020年取得重要进展，制度框架和政策体系基本形成；2035年取得决定性进展，农业农村现代化基本实现；2050年乡村全面振兴，农业强、农村美、农民富全面实现．某地为实现乡村振兴，对某农产品加工企业调研得到该企业2012年到2020年盈利情况：
年份
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
年份代码x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
盈利y（百万）
6.0
6.1
6.2
6.0
6.4
6.9
6.8
7.1
7.0
（1）根据表中数据判断年盈利y与年份代码x是否具有线性相关性；
（2）若年盈利y与年份代码x具有线性相关性，求出线性回归方程并根据所求方程预测该企业2021年年盈利（结果保留两位小数）
参考数据及公式：，，，
，，
统计中用相关系数r来衡量变量y，x之间的线性关系的强弱，当时，变量y，x线性相关
22．（10分）在中，内角，，的对边分别为，，.若，且.
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求的最大值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】根据给定条件利用两条直线互相垂直的关系列式计算作答.
【详解】因直线与互相垂直，则，解得，
所以实数a的值为.
故选：C
2、C
【解析】根据单调性分析出数列的正数项有哪些即可求解.
【详解】由条件有，
当时，，即；
当时，，即.
即，
所以取得最大值时n的值为.
故选：C
3、C
【解析】由等比中项的性质及等差数列通项公式可得即可求.
【详解】由，则，可得.
故选：C.
4、A
【解析】根据题意可知四边形为平行四边形，设，进而得，
根据四边形面积求出点M的坐标，再代入椭圆方程得出关于e的方程，解方程即可.
【详解】如图，不妨设点在第一象限，

由椭圆的对称性得四边形为平行四边形，
设点，由，得，
因为四边形的面积为，
所以，得，
由，得，解得，
所以，即点，代入椭圆方程，
得，整理得，
由，得，
解得，由，得.
故选：A
5、B
【解析】建立空间直角坐标系，以向量法去求的大小即可解决.
【详解】由题意可得平面，，则两两垂直
以O为原点，分别以OB、OA、OC所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系

则，，，，

又，则
故选：B
6、D
【解析】由第10个括号内的第一个数为数列的第512项，最后一个数为数列的第1023项，进行分析求解即可
【详解】由题意可得，第个括号内有个数，
对于A，由题意得前9个括号内共有个数，
所以第10个括号内的第一个数为数列的第512项，所以第10个括号内的第一个数为，所以A错误，
对于C，前10个括号内共有个数，所以C错误，
对于B，令，得，所以2021为数列的第1011项，由AC选项的分析可得2021在第10个括号内，所以B错误，
对于D，因为第10个括号内的第一个数为，最后一个数为，所以第10个括号内的数字之和为，所以D正确，
故选：D
【点睛】关键点点睛：此题考查数列的综合应用，解题的关键是由题意确定出第10个括号内第一个数和最后一个数分别对应数列的哪一项，考查分析问题的能力，属于较难题
7、C
【解析】根据数列为递增的等比数列，，利用“”法求得，再代入等比数列的前n项和公式求解.
【详解】因为数列为递增等比数列，
所以，
解得：，
所以.
故选：C
【点睛】本题主要考查等比数列的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
8、C
【解析】由空间向量垂直的坐标表示列方程即可求解.
【详解】因为向量，向量，若，
则，解得：，
故选：C.
9、D
【解析】由已知条件可得，，…，即是周期为3的数列，即可求.
【详解】由题设，知：，，，…，
∴是周期为3的数列，而的余数为1，
∴.
故选：D.
10、A
【解析】根据点斜式求得正确答案.
【详解】直线的斜率为，
经过点且与直线垂直的直线方程为，
即.
故选：A
11、A
【解析】由题意知c＝3，当△F1PF2的面积最大时，点P与椭圆在y轴上的顶点重合，即可解出
【详解】由题意知c＝3，当△F1PF2的面积最大时，点P与椭圆在y轴上的顶点重合，
∵时，△F1PF2的面积最大，∴a＝＝，b＝
∴椭圆的标准方程为
故选：A
12、B
【解析】根据题意，在中，设，则，进而根据椭圆定义得，进而可得离心率.
【详解】在中，
设，则，
又由椭圆定义可知
则离心率，
故选：B.
【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，考查运算求解能力，是基础题.本题解题的关键在于根据已知条件，结合椭圆的定义，在焦点三角形中根据边角关系求解.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、3
【解析】由题设知等比数列公比，根据已知条件及等比数列通项公式列方程求公比即可.
【详解】由题设，等比数列公比，且
所以，可得或（舍），
故公比为3.
故答案为：3
14、－1
【解析】由已知及等差数列通项公式、前n项和公式，列方程求基本量即可.
【详解】若公差为，则，可得.
故答案为：.
15、
【解析】根据的单调性列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】由于是递增数列，
所以.
所以的取值范围是.
故答案为：
16、 ①. ②.##2.4
【解析】利用直线与平行，结合切线的性质求出切线的方程，即可确定定点坐标，再利用两条平行线间的距离公式求两线距离.
【详解】由题意，直线斜率，
设直线的方程为，即
∴直线l过定点，
由与圆相切，得，解得，
∴的方程为，的方程为，则两直线间的距离为
故答案为：；.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）根据导数判断出函数的单调性求出其最大值，即可证出；
（2）由（1）知：，再变形即可得出
小问1详解】
因为，
∴在上单调递减，又因，
故当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以.
【小问2详解】
由（1）知：，两边同乘以a得：，
∴，即.
18、 (1)见解析;(2).
【解析】分析：依题意可知两两垂直，以点为原点建立空间直角坐标系，
（1）利用直线的方向向量和平面的法向量垂直即可证得线面平面；
（2）求出两个平面的法向量，利用两个向量的夹角公式，即可求解二面角的余弦值.
详解：依条件可知、、两两垂直，
如图，以点为原点建立空间直角坐标系.

根据条件容易求出如下各点坐标：，，，，，，，.
（Ⅰ）证明：∵，，
是平面的一个法向量，且，
所以.
又∵平面，∴平面；
（Ⅱ）设是平面的法向量，
因为，，
由，得.
解得平面的一个法向量，
由已知，平面的一个法向量为，
，
∴二面角的余弦值是.
点睛：本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
19、（1）
（2）
【解析】（1）根据△恰为等边三角形由题意知：得到，再利用抛物线的定义求解；
（2）联立，结合韦达定理，根据的夹角为，由求解.
【小问1详解】
解：由题意知：，
由抛物线的定义知：，
由，解得，
所以抛物线方程为；
【小问2详解】
设，
由，得，
则，，
则，，
因为向量的夹角为，
所以，
，
则，且，
所以，解得，
所以实数的取值范围.
20、（1）
（2）
【解析】1）联立两直线方程，解方程组即可得解；
（2）根据两直线垂直列出方程，解之即可得出答案.
【小问1详解】
解：当时，直线，
联立，解得，
即交点坐标为；
【小问2详解】
解：直线与直线垂直，
则，解得.
21、（1）年盈利y与年份代码x具有线性相关性
（2），7.25百万元
【解析】（1）根据表中的数据和提供的公式计算即可；
（2）先求线性回归方程，再代入计算即可
【小问1详解】
由表中的数据得，，，
，
因为，
所以年盈利y与年份代码x具有线性相关性
【小问2详解】
，
，，当时，，
该企业2021年年盈利约为7.25百万元
22、（1）；（2）.
【解析】（1）由，等式右边可化为余弦定理形式，根据求角即可（2）由余弦定理结合均值不等式可求出的最大值，即可求出三角面积的最大值.
【详解】（1）由得：，
即：.
∴，又，∴.
（2）由，当且仅当等号成立.
得：.
.
【点睛】本题主要考查了余弦定理，均值不等式，三角形面积公式，属于中档题.