2025-2026学年内蒙古自治区乌兰察布市集宁区一中高二数学第一学期期末监测模拟试题含解析.doc

2025-2026学年内蒙古自治区乌兰察布市集宁区一中高二数学第一学期期末监测模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若定义在R上的函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（）

A. B.
C. D.
2．在棱长均为1的平行六面体中，，则（）
A. B.3
C. D.6
3．已知点P是圆上一点，则点P到直线的距离的最大值为（ ）
A.2 B.
C. D.
4．如图，把椭圆的长轴分成6等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点，F是椭圆C的右焦点，则（）

A.20 B.
C.36 D.30
5．已知m，n表示两条不同直线，表示两个不同平面.设有两个命题：：若，则；：若，则.则下列命题中为真命题的是（）
A. B.
C. D.
6．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线已知的顶点，则的欧拉线方程为（）
A. B.
C. D.
7．已知椭圆，则椭圆的长轴长为（ ）
A.2 B.4
C. D.8
8．已知抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则双曲线的渐近线方程为（）
A. B.
C. D.
9．已知数列是等比数列，且，则的值为（）
A.3 B.6
C.9 D.36
10．已知数列满足，，.设，若对于，都有恒成立，则最大值为
A.3 B.4
C.7 D.9
11．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点A的坐标为，点P是双曲线在第二象限的部分上一点，且，点Q是线段的中点，且，Q关于直线PA对称，则双曲线的离心率为（ ）
A.3 B.2
C. D.
12．函数在和处的导数的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.不能确定
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某单位现有三个部门竞岗，甲、乙、丙三人每人只竞选一个部门，设事件A为“三人竞岗部门都不同”，B为“甲独自竞岗一个部门”，则______.
14．已知数列满足：，，则______
15．已知在时有极值0，则的值为____
16．已知数列满足，定义使（）为整数的k叫做“幸福数”，则区间内所有“幸福数”的和为___
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程，曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线C相交于A，B两点，点，求的值.
18．（12分）已知等差数列的公差为2，且，，成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
19．（12分）已知抛物线：的焦点为，点在上，点在的内侧，且的最小值为.
（1）求的方程；
（2）为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点B，C为E上两个不同的点，其中B点在第四象限，且AB，互相垂直平分，求四边形AOBC的面积.
20．（12分）如图1是一张长方形铁片，，，，分别是，中点，，分别在边，上，且，将它卷成一个圆柱的侧面图2，使与重合，与重合.

（1）求证：平面；
（2）求几何体的体积.
21．（12分）已知圆C：，圆C与x轴交于A，B两点
（1）求直线y＝x被圆C所截得的弦长；
（2）圆M过点A，B，且圆心在直线y＝x+1上，求圆M的方程
22．（10分）求满足下列条件的曲线的方程：
（1）离心率为，长轴长为6的椭圆的标准方程
（2）与椭圆有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】由函数单调性得出和的解，然后分类讨论解不等式可得
【详解】由图象可知：在为正，在为负，
，可化为：或，解得或
故选：A
2、C
【解析】设，，，利用结合数量积的运算即可得到答案.
【详解】设，，，由已知，得，，，
，所以，
所以.
故选：C
3、C
【解析】求出圆心到直线的距离，由这个距离加上半径即得
【详解】由圆，可得圆心坐标，半径，则圆心C到直线的距离为，所以点P到直线l的距离的最大值为.
故选：C
4、D
【解析】由椭圆的对称性可知，，代入计算可得答案.
【详解】设椭圆左焦点为，连接
由椭圆的对称性可知，

，
所以.
故选：D.
5、B
【解析】利用直线与平面，平面与平面的位置关系判断2个命题的真假，再利用复合命题的真值表判断选项的正误即可
【详解】，表示两条不同直线，，表示两个不同平面
：若，，则也可能，也可能与相交，所以是假命题，为真命题；
：令直线的方向向量为，直线的方向向量为，若，
则，则，所以是真命题，所以为假命题；
所以为假命题，是真命题，为假命题，是真命题，所以为假命题
故选：
6、D
【解析】根据题意得出的欧拉线即为线段的垂直平分线，然后求出线段的垂直平分线的方程即可.
【详解】因为，所以线段的中点的坐标，线段所在直线的斜率，则线段的垂直平分线的方程为，即，因为，所以的外心、重心、垂心都在线段的垂直平分线上，所以的欧拉线方程为.
故选：D
【点睛】本题主要考走查直线的方程，解题的关键是准确找出欧拉线，属于中档题.
7、B
【解析】根据椭圆的方程求出即得解.
【详解】解：由题得椭圆的所以椭圆的长轴长为.
故选：B
8、B
【解析】根据抛物线和写出焦点坐标，利用题干中的坐标相等，解出，结合从而求出答案.
【详解】抛物线的焦点为，
双曲线的，，
所以，
所以双曲线的右焦点为：，
由题意，，
两边平方解得，，
则双曲线的渐近线方程为：.
故选：B.
9、C
【解析】应用等比中项的性质有，结合已知求值即可.
【详解】由等比数列的性质知：，，，
所以，又，
所以.
故选：C
10、A
【解析】整理数列的通项公式有：，
结合可得数列是首项为，公比为的等比数列，
则，
，
原问题即：恒成立，
当时，，即>3，
综上可得：的最大值为3.
本题选择A选项
点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项
11、C
【解析】由角平分线的性质可得，结合已知条件即可求双曲线的离心率.
【详解】由题设，易知：，

由知：，即，整理得：.
故选：C
12、A
【解析】求出函数导数即可比较.
【详解】，，所以，即.
故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、##0.5
【解析】根据给定条件求出事件B和AB的概率，再利用条件概率公式计算作答.
【详解】依题意，，，所以.
故答案：
14、
【解析】令n=n-1代回原式，相减可得，利用累乘法，即可得答案.
【详解】因为，
所以，
两式相减可得，整理得，
所以，
整理得，又，解得.
故答案为：
15、11
【解析】由题知，
且，
所以，
得或，
①当时，，此时，
，
所以函数单调递增无极值，
舍去
②当时，，此时，
是函数的极值点，符合题意，
∴
16、2036
【解析】先用换底公式化简之后，将表示出来，找出满足条件的“幸福数”，然后求和即可.
【详解】当时，，
所以，
若满足正整数，则，即，
所以在内的所有“幸福数”的和为：
,
故答案为：2036.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）直线的普通方程为；曲线C的直角坐标方程为
（2）
【解析】（1）根据转换关系将参数方程和极坐标方程转化为直角坐标方程即可；
（2）将直线的参数方程化为标准形式，代入曲线C的直角坐标方程，设点A，B对应的参数分别为，利用韦达定理即可得出答案.
【小问1详解】
解：将直线的参数方程中的参数消去得，
则直线的普通方程为，
由曲线C的极坐标方程为，
得，即，
由得曲线C的直角坐标方程为；
【小问2详解】
解：点满足，
故点在直线上，
将直线的参数方程化为标准形式（为参数），
代入曲线C的直角坐标方程为，
得，
设点A，B对应的参数分别为，
则，
所以.
18、（1）
（2）
【解析】（1）由，，成等比数列和，可得，解方程求出，从而可求出的通项公式，
（2）由（1）可得，然后利用裂项相消法可求出
【小问1详解】
因为等差数列的公差为2，
所以
又因为成等比数列，
所以，
解得，
所以.
【小问2详解】
由（1）得，
所以.
19、（1）
（2）
【解析】（1）根据题意，结合抛物线定义，可求得，即得抛物线方程；
（2）由题意推出四边形AOBC是菱形.，设，根据抛物线的对称性，可表示出B,C的坐标，从而利用向量的坐标运算，求得所设参数值，进而求得答案.
【小问1详解】
的准线为：，作于R，

根据抛物线的定义有，所以，
因为在的内侧，所以当P，Q，R三点共线时，取得最小值，
此时，解得，
所以的方程为.
小问2详解】
因为AB，OC互相垂直平分，所以四边形AOBC是菱形.
由，得轴，设点，则，
由抛物线的对称性知，，，.
由，得，解得,
所以在菱形中，，边上的高，
所以菱形的面积.
20、（1）证明见解析.
（2）.
【解析】（1）根据线面垂直的性质和判定可得证；
（2）作圆柱的母线，由平面几何知识可得四边形为平行四边形，利用等体积法可求得，由几何体的体积，可求得答案.
【小问1详解】
证明：∵是直径，∴，
∵平面，平面，∴，
∵平面，平面，，
∴平面；
【小问2详解】
如图，作圆柱的母线，

则，且，
∴四边形是平行四边形，
∴，且 ①
又依题知，，，为底面圆的四等分点，
∴，且 ②
由①②知四边形为平行四边形，得，且，
∴，∵到面的距离为，
∴，
所以几何体的体积.
21、（1）；
（2）.
【解析】（1）根据已知条件，结合垂径定理，以及点到直线的距离公式，即可求解
（2）根据已知圆的方程，令y＝0，结合韦达定理，求出圆心的横坐标，即可求出圆心，再结合勾股定理，即可求出半径
【小问1详解】
∵圆C：，
∴，即圆心为(－1,1)，半径r＝3，
∵直线y＝x，即x－y＝0，
∴圆心(－1,1)到直线x－y＝0的距离d＝，
∴直线y＝x被圆C所截得的弦长为＝
【小问2详解】
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵圆C：，圆C与x轴交于A，B两点，
∴x2－2x－7＝0，
则，|x1－x2|＝＝，
∴圆心的横坐标为x＝，
∵圆心在直线y＝x+1上，
∴圆心为(1,2)，
∴半径r＝，
故圆M的方程为
22、（1）或；（2）
【解析】(1)根据题意,由椭圆的几何性质可得a、c的值,计算可得b的值,讨论椭圆焦点的位置,求出椭圆的标准方程,即可得答案；
(2)根据题意,求出椭圆的焦点坐标,进而可以设双曲线的方程为,分析可得和,解可得a、b的值,即可得答案
【详解】解：（1）根据题意,要求椭圆的长轴长为6,离心率为,
则,,
解可得：,；
则,
若椭圆的焦点在x轴上,其方程为,
若椭圆的焦点在y轴上,其方程为,
综合可得：椭圆的标准方程为或；
（2）根据题意,椭圆的焦点为和,
故要求双曲线的方程为,且,
则有,
又由双曲线经过经过点,则有,,
联立可得：,
故双曲线方程为：
【点睛】本题考查椭圆、双曲线的标准方程的求法,涉及椭圆、双曲线的几何性质,属于基础题