解析几何课件(吕林根许子道第四版).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,解析几何课件,(,第四版,),吕林根 许子道等编,第四章 柱面锥面旋转曲面与二次曲面,第五章 二次曲线的一般理论,第一章 向量与坐标,第三章 平面与空间直线,第二章 轨迹与方程,解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何,为将代数运算引导几何中,采用的最根本最有效的做法,-,有系统的把空间的几何结构代数化,数量化,.,第一章 向量与坐标,1.1,向量的概念,1.3,数乘向量,1.2,向量的加法,1.4,向量的线性关系与向量的分解,1.6,向量在轴上的射影,1.5,标架与坐标,1.7,两向量的数性积,1.9,三向量的混合积,1.8,两向量,的向量积,1.10,向量的双重向量积,第二章 轨迹与方程,2.1,平面曲线的方程,2.2,曲面的方程,2.4,空间曲线的方程,2.3,母线平行于坐标轴的柱面方程,第三章 平面与空间直线,3.1,平面的方程,3.3,两平面的相关位置,3.2,平面与点的相关位置,3.4,空间直线的方程,3.6,空间两直线的相关位置,3.5,直线与平面的相关位置,3.7,空间直线与点的相关位置,第四章,柱面锥面旋转曲面,与二次曲面,4.1,柱面,4.3,旋转曲面,4.2,锥面,4.4,椭球面,4.5,双曲面,第五章 二次曲线的一般理论,5.1,二次曲线与直线的相关位置,5.3,二次曲线的切线,5.2,二次曲线的渐近方向、中心、渐近线,5.4,二次曲线的直径,5.6,二次曲线方程的化简与分类,5.5,二次曲线的主直径和主方向,5.7,应用不变量化简二次曲线方程,定义,1.1.1,既有大小又有方向的量叫做,向量,，或称,矢量,.,向量,(,矢量,),既有大小又有方向的量,.,向量的几何表示：,|,向量的模：,向量的大小,.,或,或,两类量,:,数量,(,标量,):,可用一个数值来描述的量,;,有向线段,有向线段的方向表示,向量,的方向,.,有向线段的长度表示,向量,的大小,1.1,向量的概念,返回,下一页,第一章 向量与,坐标,1.1,向量,的,概念,所有的零向量都相等,.,模为,1,的向量,.,零向量：,模为,0,的向量,.,单位向量：,或,定义,1.1.2,如果两个向量的模相等且方向相同，那么叫做,相等向量,.,记为,定义,1.1.3,两个模相等，方向相反的向量叫做互为,反向量,.,上一页,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.1,向量,的,概念,零向量与任何共线的向量组共线,.,定义,1.1.4,平行于同一直线的一组向量叫做,共线向量,.,定义,1.1.5,平行于同一平面的一组向量叫做,共面向量,.,零向量与任何共面的向量组共面,.,上一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.1,向量,的,概念,O,A,B,这种求两个向量和的方法叫,三角形法则,.,定理,1.2.1,如果把两个向量 为邻边组成一个平行四边形,OACB,，那么对角线向量,1.2,向量的加法,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.2,向量的加法,O,A,B,C,这种求两个向量和的方法叫做,平行四边形法则,定理,1.2.2,向量的加法满足下面的运算规律：,（,1,）交换律：,（,2,）结合律：,（,3,）,上一页,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.2,向量的加法,O,A,1,A,2,A,3,A,4,A,n-1,A,n,这种求和的方法叫做,多边形法则,上一页,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.2,向量的加法,向量减法,上一页,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.2,向量的加法,A,B,C,上一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.2,向量的加法,上一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.2,向量的加法,上一页,返回,D,A,B,C,M,第一章 向量与,坐标,1.2,向量的加法,1.3,数乘向量,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.3,数乘向量,定理,1.3.1,数与向量的乘积符合下列运算规律：,（,1,）结合律：,（,2,）第一分配律：,两个向量的平行关系,（,3,）第二分配律：,上一页,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.3,数乘向量,证,充分性显然；,必要性,两式相减，得,上一页,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.3,数乘向量,按照向量与数的乘积的规定，,上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量,.,上一页,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.3,数乘向量,例,1,设,AM,是三角形,ABC,的中线，求证,:,证,如图,因为,所以,但,因而,即,A,B,C,M,上一页,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.3,数乘向量,例,2,用向量方法证明：联结三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半,.,证,设,ABC,两边,AB,，,AC,之中点分别为,M,，,N,，那么,所以,且,上一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.3,数乘向量,A,B,C,M,N,1.4,向量的线性关系与向量的分解,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.4,向量的线性关系与向量的分解,.,2,4,.,1,2,.,4,.,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,唯一确定,被,并且系数,）,（,的线性组合，即,可以分解成,或者说向量,线性表示，,可以用向量,共面的充要条件是,与,不共线，那么向量,如果向量,定理,r,e,e,y,x,e,y,e,x,r,e,e,r,e,e,r,e,e,r,e,e,+,=,.,),3,4,.,1,(,3,.,4,.,1,3,2,1,3,2,1,3,2,1,3,2,1,3,2,1,唯一确定,被,并且其中系数,的线性组合，即,可以分解成向量,任意向量,线性表示，或说空间,可以由向量,任意向量,不共面，那么空间,如果向量,定理,r,e,e,e,z,y,x,e,z,e,y,e,x,r,e,e,e,r,e,e,e,r,e,e,e,-,+,+,=,.,2,1,叫做平面上向量的基底,这时,e,e,上一页,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.4,向量的线性关系与向量的分解,例,2,证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分,.,A,B,C,D,E,F,P,1,e,1,e,2,e,3,.,3,2,1,叫做空间向量的基底,这时,e,e,e,.,.,3,2,1,1,3,2,1,3,2,1,3,2,1,关系式,线性表示的,，,，,用,先求,取不共面的三向量,就可以了,三点重合,下只需证,两组对边中点分别为,其余,它的中点为,线为,的连,的中点,对边,一组,设四面体,证,e,e,e,AP,e,AD,e,AC,e,AB,P,P,P,P,P,P,EF,F,E,CD,AB,ABCD,=,=,=,上一页,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.4,向量的线性关系与向量的分解,连接,AF,，因为,AP,1,是,AEF,的中线，所以有,又因为,AF,是,ACD,的中线，所以又有,上一页,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.4,向量的线性关系与向量的分解,.,),4,4,.,1,0,),1,(,2,.,4,.,1,2,1,2,2,1,1,2,1,2,1,关的向量叫做线性无关,性相,叫做线性相关，不是线,个向量,那么,（,使得,个数,在不全为零的,，如果存,个向量,对于,定义,n,n,n,n,n,a,a,a,n,a,a,a,n,a,a,a,n,n,L,L,L,L,-,+,+,+,l,l,l,l,l,l,.,0,=,a,a,线性相关的充要条件为,一个向量,推论,.,线性相关,量，那么这组向量必,一组向量如果含有零向,推论,.,5,.,4,.,1,相关,那么这一组向量就线性,分向量线性相关,如果一组向量中的一部,定理,.,2,4,.,4,.,1,2,1,组合,向量是其余向量的线性,充要条件是其中有一个,线性相关的,时，向量,在,定理,n,a,a,a,n,L,上一页,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.4,向量的线性关系与向量的分解,.,6,.,4,.,1,是它们线性相关,两向量共线的充要条件,定理,.,7,.,4,.,1,件是它们线性相关,三个向量共面的充要条,定理,.,8,.,4,.,1,线性相关,空间任何四个向量总是,定理,上一页,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.4,向量的线性关系与向量的分解,横轴,纵轴,竖轴,定点,空间直角坐标系,三个坐标轴的正方向符合,右手系,.,1.5,标架与坐标,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.5,标架与坐标,面,面,面,空间直角坐标系共有,八个卦限,2,、,坐标面与卦限,上一页,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.5,标架与坐标,空间的点,有序数组,特殊点的表示,:,坐标轴上的点,坐标面上的点,称为,点,M,的坐标,，,x,称为横坐标,y,称为纵坐标，,z,称为竖坐标,.,3,、空间点的直角坐标,上一页,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.5,标架与坐标,称为向量 的,坐标分解式,.,4,、空间向量的坐标,上一页,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.5,标架与坐标,显然，,向量的坐标,：,向径：,在三个坐标轴上的,分向量,：,(,点,M,关于原点,O,),上一页,下一页,返回,),(,M,z,y,x,既表示点,第一章 向量与,坐标,1.5,标架与坐标,5,、利用坐标作向量的线性运算,向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式,上一页,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.5,标架与坐标,解,设,为直线上的点，,6,、线段的定比分点坐标,上一页,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.5,标架与坐标,由题意知：,上一页,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.5,标架与坐标,定理,1.5.4,已知两个非零向量,7,、其它相关定理,则,共线的充要条件是,定理,1.5.6,已知三个非零向量,，则,共面的充要条件是,上一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.5,标架与坐标,空间一点在轴上的射影,16,向量在轴上的射影,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.6,向量在轴上的射影,空间一向量在轴上的射影,上一页,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.6,向量在轴上的射影,关于向量的,射影定理（,1.6.1,）,证,由此定义，,上一页,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.6,向量在轴上的射影,定理,1,的说明：,射影为正；,射影为负；,射影为零；,(4),相等向量在同一轴上射影相等；,上一页,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.6,向量在轴上的射影,关于向量的,射影定理（,1.6.2,）,（可推广到有限多个）,上一页,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.6,向量在轴上的射影关于向量的,射影定理（,1.6.3,）,上一页,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.6,向量在轴上的射影,解,上一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.6,向量在轴上的射影,启示,实例,两向量作这样的运算,结果是一个数量,.,M,1,M,2,1.7,两向量的数量积,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.7,两向量的数量积,数量积也称为“,点积,”、“,内积,”,.,结论,两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的射影的乘积,.,定义,上一页,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.7,两向量的数量积,关于数量积的说明：,证,证,上一页,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.7,两向量的数量积,数量积符合下列运算规律：,（,1,）交换律,：,（,2,）分配律,：,若 、为数,：,（,3,）若 为数,：,上一页,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.7,两向量的数量积,设,数量积的坐标表达式,上一页,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.7,两向量的数量积,由勾股定理,向量模的坐标表示式,向量的模与空间两点间距离公式,上一页,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.7,两向量的数量积,为空间两点,.,空间两点间距离公式,上一页,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.7,两向量的数量积,空间两向量的夹角的概念：,类似地，可定义,向量与一轴,或,空间两轴的夹角,.,特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在,0,与 之间任意取值,.,方向角与方向余弦的坐标表示式,上一页,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.7,两向量的数量积,非零向量 的,方向角,：,非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为,方向角,.,上一页,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.7,两向量的数量积,由图分析可知,向量的方向余弦,方向余弦通常用来表示向量的方向,.,上一页,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.7,两向量的数量积,当 时，,向量方向余弦的坐标表示式,上一页,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.7,两向量的数量积,方向余弦的特征,上式表明以向量 的方向余弦为坐标的向量就是与 同方向的单位向量,上一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.7,两向量的数量积,两向量夹角余弦的坐标表示式,由此可知两向量垂直的充要条件为：,上一页,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.7,两向量的数量积,解,上一页,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.7,两向量的数量积,证,上一页,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.7,两向量的数量积,1.8,两向量,的向量积,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.8,两向量的向量积,上一页,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.8,两向量的向量积,上一页,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.8,两向量的向量积,上一页,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.8,两向量的向量积,上一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.8,两向量的向量积,定义,设,混合积的坐标表达式,1.9,三向量的混合积,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.9,三,向量的混合积,（,1,）向量混合积的几何意义：,关于混合积的说明：,上一页,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.9,三,向量的混合积,解,例,1,上一页,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.9,三,向量的混合积,解,上一页,下一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.9,三,向量的混合积,式中正负号的选择必须和行列式的符号一致,.,上一页,返回,第一章 向量与,坐标,1.9,三,向量的混合积,1.10,三向量,的三重向量积,返回,上一页,下一页,第一章 向量与,坐标,1.10,三向量的三重向量积,定义,1.10.1,给定空间三向量,先作其中两个向量的向量积,再作所得向量与第三个向量的向量积,那么最后的结果仍然是一向量,叫做所给三向量的双重向量积,.,例,:,就是三向量,的一个双重向量积,.,空间曲线的一般方程,曲线上的点都满足方程，不在曲线上的点不能同时满足两个方程,.,空间曲线,C,可看作空间两曲面的交线,.,特点,：,2.1,平面曲线的方程,下一页,返回,第二章 轨迹与方程,2.1,平面曲线的方程,例,1,方程组 表示怎样的曲线？,解表示圆柱面，,表示平面，,交线为椭圆,.,上一页,下一页,返回,第二章 轨迹与方程,2.1,平面曲线的方程,例,2,方程组,解,上半球面,圆柱面,交线如图,.,表示怎样的曲线？,上一页,返回,第二章 轨迹与方程,2.1,平面曲线的方程,水桶的表面、台灯的罩子面等,曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹,曲面方程的定义：,曲面的实例：,2.2,曲面的方程,下一页,返回,第二章 轨迹与方程,2.2,曲面的方程,根据题意有,化简得所求方程,解,上一页,下一页,返回,第二章 轨迹与方程,2.2,曲面的方程,解,根据题意有,所求方程为,上一页,下一页,返回,第二章 轨迹与方程,2.2,曲面的方程,以下给出几例常见的曲面,.,解,根据题意有,所求方程为,特殊地：球心在原点时方程为,上一页,下一页,返回,第二章 轨迹与方程,2.2,曲面的方程,得上、下半球面的方程分别是：,当,A,2,+,B,2,+,C,2,-4,D,0,时,是球面方程,.,由,由上述方程可得球面的一般式方程为：,反之，由一般式方程（*），经过配方又可得到：,x,2,+,y,2,+,z,2,+,Ax,+,By,+,Cz,+,D,=0,（*）,(,x,+,A,/2),2,+(,y,+,B,/2),2,+(,z,+,C,/2),2,=(,A,2,+,B,2,+,C,2,-4,D,)/4,上一页,下一页,返回,第二章 轨迹与方程,2.2,曲面的方程,例,4,方程 的图形是怎样的？,根据题意有,图形上不封顶，下封底,解,以上方法称为,截痕法,.,上一页,下一页,返回,第二章 轨迹与方程,2.2,曲面的方程,以上几例表明研究空间曲面有,两个基本问题,：,（,2,）已知坐标间的关系式，研究曲面形状,（讨论旋转曲面）,（讨论柱面、二次曲面）,（,1,）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程,上一页,返回,第二章 轨迹与方程,2.2,曲面的方程,二、曲面的参数方程,第二章 轨迹与方程,2.2,曲面的方程,二、曲面的参数方程,例,7,求以,z,轴为对称轴，半径为,R,的圆柱面的参数方程,.,注意,空间曲面的参数方程的表达式不是惟一的,第二章 轨迹与方程,2.2,曲面的方程,抛物柱面,平面,抛物柱面,方程：,平面方程：,2.3,母线平行于坐标轴的柱面方程,下一页,返回,第二章 轨迹与方程,2.3,母线平行于坐标轴的柱面方程,从柱面方程看,柱面的特征,：,（其他类推）,实 例,椭圆柱面，,双曲柱面，,抛物柱面，,母线,/,轴,母线,/,轴,母线,/,轴,上一页,下一页,返回,第二章 轨迹与方程,2.3,母线平行于坐标轴的柱面方程,a,b,z,x,y,o,椭圆,柱面,上一页,下一页,返回,第二章 轨迹与方程,2.3,母线平行于坐标轴的柱面方程,z,x,y,=0,y,o,双曲,柱面,上一页,下一页,返回,第二章 轨迹与方程,23,母线平行于坐标轴的柱面方程,z,x,y,o,抛物,柱面,上一页,返回,第二章 轨迹与方程,2.3,母线平行于坐标轴的柱面方程,空间曲线的一般方程,曲线上的点都满足方程，不在曲线上的点不能同时满足两个方程,.,空间曲线,C,可看作空间两曲面的交线,.,特点,：,下一页,返回,2.4,空间曲线的方程,第二章 轨迹与方程,2.4,空间曲线的方程,例,1,方程组 表示怎样的曲线？,解,表示圆柱面，,表示平面，,交线为椭圆,.,上一页,下一页,返回,第二章 轨迹与方程,2.4,空间曲线的方程,例,2,方程组,解,上半球面,圆柱面,交线如图,.,表示怎样的曲线？,上一页,返回,第二章 轨迹与方程,24,空间曲线的方程,空间曲线的参数方程,二、空间曲线的参数方程,下一页,返回,第二章 轨迹与方程,2.4,空间曲线的方程,动点从,A,点出发，经过,t,时间，运动到,M,点,螺旋线的参数方程,取时间,t,为参数，,解,上一页,下一页,返回,第二章 轨迹与方程,2.4,空间曲线的方程,螺旋线的参数方程还可以写为,螺旋线的重要,性质,：,上升的高度与转过的角度成正比,即,上升的高度,螺距,上一页,返回,第二章 轨迹与方程,2.4,空间曲线的方程,如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的,法线向量,法线向量的,特征,：,垂直于平面内的任一向量,已知,设平面上的任一点为,必有,一、平面的点法式方程,3.1,平面的方程,下一页,返回,第三章 平面与空间直线,3.1,平面,的方程,平面的点法式方程,平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形,其中法向量,已知点,上一页,下一页,返回,第三章 平面与空间直线,3.1,平面,的方程,解,取,所求平面方程为,化简得,上一页,下一页,返回,第三章 平面与空间直线,3.1,平面,的方程,取法向量,化简得,所求平面方程为,解,上一页,下一页,返回,第三章 平面与空间直线,3.1,平面,的方程,由平面的点法式方程,平面的一般方程,法向量,二、平面的一般式方程,？,即 任一平面,表示,（,A,B,C不同时为零）,不妨设,，则,，为一平面,.,上一页,下一页,返回,第三章 平面与空间直线,3.1,平面,的方程,平面一般式方程的几种特殊情况：,平面通过坐标原点；,平面通过 轴；,平面平行于 轴；,平面平行于 坐标面；,类似地可讨论 情形,.,类似地可讨论 情形,.,平面的一般方程,上一页,下一页,返回,第三章 平面与空间直线,3.1,平面,的方程,设平面为,由平面过原点知,所求平面方程为,解,上一页,下一页,返回,第三章 平面与空间直线,3.1,平面,的方程,设平面为,将三点坐标代入得,解,上一页,下一页,返回,第三章 平面与空间直线,3.1,平面,的方程,将,代入所设方程得,平面的截距式方程,上一页,下一页,返回,第三章 平面与空间直线,3.1,平面,的方程,设平面为,由所求平面与已知平面平行得,（向量平行的充要条件）,解,上一页,下一页,返回,第三章 平面与空间直线,3.1,平面,的方程,化简得,令,代入体积式,所求平面方程为,或,上一页,返回,第三章 平面与空间直线,3.1,平面,的方程,解,3.2,平面与点的相关位置,下一页,返回,第三章 平面与空间直线,3.2,平面与点的相关位置,上一页,下一页,返回,第三章 平面与空间直线,3.2,平面与点的相关位置,点到平面距离公式,上一页,下一页,返回,第三章 平面与空间直线,3.2,平面与点的相关位置,在第一个平面内任取一点，比如（,0,，,0,，,1,），,上一页,返回,第三章 平面与空间直线,3.2,平面与点的相关位置,定义,（通常取锐角）,两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角,.,3.3,两平面的相关位置,下一页,返回,第三章 平面与空间直线,3.3,两平面的相关位置,按照两向量夹角余弦公式有,两平面夹角余弦公式,两平面位置特征：,/,上一页,下一页,返回,第三章 平面与空间直线,3.3,两平面的相关位置,例,1,研究以下各组里两平面的位置关系：,解,两平面相交，夹角,上一页,下一页,返回,第三章 平面与空间直线,3.3,两平面的相关位置,两平面平行,两平面平行但不重合,两平面平行,两平面重合,.,上一页,返回,第三章 平面与空间直线,3.3,两平面的相关位置,定义,空间直线可看成两平面的交线,空间直线的一般方程,（注：两平面不平行）,一,、空间直线的一般方程,3.4,空间直线的方程,下一页,返回,第三章 平面与空间直线,3.4,空间直线的方程,方向向量的定义：,如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的,方向向量,/,二、空间直线的对称式方程,直线的对称式方程,（点向式方程）,上一页,下一页,返回,第三章 平面与空间直线,3.4,空间直线的方程,上一页,下一页,返回,第三章 平面与空间直线,3.4,空间直线的方程,因此,所求直线方程为,例,1,求过点,(1,0,-2),且与平面,3,x,+4,y,-,z,+6=0,平行,又与直,线 垂直的直线方程,.,解,:,设所求线的方向向量为,已知平面的法向量,已知直线的方向向量,取,上一页,下一页,返回,第三章 平面与空间直线,3.4,空间直线的方程,三、空间直线的参数式方程,直线的一组,方向数,令,方向向量的余弦称为直线的,方向余弦,.,直线的参数方程,由,直线的对称式方程,上一页,下一页,返回,第三章 平面与空间直线,3.4,空间直线的方程,例,2,用对称式方程及参数方程表示直线,解,在直线上任取一点,取,解得,点坐标,上一页,下一页,返回,第三章 平面与空间直线,3.4,空间直线的方程,因所求直线与两平面的法向量都垂直,取对称式方程,得参数方程,令,上一页,下一页,返回,第三章 平面与空间直线,3.4,空间直线的方程,解,所以交点为,取,所求直线方程,上一页,返回,第三章 平面与空间直线,3.4,空间直线的方程,定义,直线和它在平面上的射影直线的夹角 称为直线与平面的夹角,3.5,直线与平面的相关位置,下一页,返回,第三章 平面与空间直线,3.5,直线与平面的相关位置,直线与平面的夹角公式,直线与平面的,位置关系：,/,上一页,下一页,返回,第三章 平面与空间直线,3.5,直线与平面的相关位置,解,为所求夹角,上一页,下一页,返回,第三章 平面与空间直线,3.5,直线与平面的相关位置,直线与平面的交点,上一页下一页,返回,第三章 平面与空间直线,3.5,直线与平面的相关位置,分析,:,关键是求得直线上另外,一个点,M,1,.M,1,在过,M,且平行,于 平面,P,的一个平面,P,1,上,待求直线又与已知直线相交,交点既在,P,1,上,又在,L,上,因此是,L,与,P,1,的交点,.,例,2,求过点,M(-1,2,-3),且平行于平面,又与直线,相交的直线方程,.,解,过,M,作平行于 平面,P,的一个平,P,1,P,M,L,P,1,M,1,上一页,下一页,返回,第三章 平面与空间直线,3.5,直线与平面的相关位置,求平面,P,1,与已知直线,L,的交点,P,1:,即,P,1,:,上一页,返回,第三章 平面与空间直线,3.5,直线与平面的相关位置,定义,直线,直线,两直线的方向向量的夹角称之为该两直线的夹角,.,（锐角）,两直线的夹角公式,3.6,空间两直线的相关位置,下一页,返回,第三章 平面与空间直线,3.6,空间两直线的相关位置,两直线的位置关系：,直线,直线,例如，,上一页,下一页,返回,第三章 平面与空间直线,3.6,空间两直线的相关位置,解,设所求直线的方向向量为,根据题意知,取,所求直线的方程,上一页,下一页,返回,第三章 平面与空间直线,3.6,空间两直线的相关位置,解,先作一过点,M,且与已知,直线垂直的平面,再求已知直线与该平面的交点,N,令,M,N,L,上一页,下一页,返回,第三章 平面与空间直线,3.6,空间两直线的相关位置,代入平面方程得,交点,取所求直线的方向向量为,所求直线方程为,上一页,返回,第三章 平面与空间直线,3.6,空间两直线的相关位置,L,d,P,1,是,L,外一点,设直线,L,求,P,0,到,L,的距离,d,.,设 为,L,上任一点，如图,S,S,又,于是,点到直线的距离公式,3.7,空间直线与点的相关位置,下一页,返回,第三章 平面与空间直线,3.7,空间直线与点的相关位置,例,10,求点,(5,4,2),到直线,的距离,d,.,解,上一页,返回,第三章 平面与空间直线,3.7,空间直线与点的相关位置,水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹,曲面方程的定义：,曲面的实例：,4.1,柱面,下一页,返回,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,4.1,柱面,观察柱面的形成过程,:,定义,4.1.1,平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为,柱面,.,这条定曲线叫柱面的,准线,，动直线叫柱面的,母线,.,母线,准线,上一页,下一页,返回,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,4.1,柱面,柱面举例：,抛物柱面,平面,抛物柱面,方程：,平面方程：,上一页,下一页,返回,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,4.1,柱面,从柱面方程看,柱面的特征,：,（其他类推）,实 例,椭圆柱面，,双曲柱面，,抛物柱面，,母线,/,轴,母线,/,轴,母线,/,轴,上一页,下一页,返回,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,4.1,柱面,1.,椭圆柱面,x,y,z,O,2.,双曲柱面,上一页,返回,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,4.1,柱面,定义,4.2.1,通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做,锥面,.,这些直线都叫做锥面的,母线,.,那个定点叫做锥面的,顶点,.,锥面的方程是一个三元方程,.,特别当顶点在坐标原点时：,4.2,锥面,下一页,返回,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,4.2,锥面,n,次齐次方程,F,(,x,y,z,),=,0,的图形是以原点为顶点的锥面,；,方程,F,(,x,y,z,),=,0,是,n,次齐次方程,：,准线,顶点,F,(,x,y,z,),=,0.,反之，以原点为顶点的锥面的方程是,n,次齐次方程,锥面是直纹面,x,0,z,y,锥面的准线不唯一，和一切母线都相交的每一条曲线都可以作为它的母线,.,上一页,下一页,返回,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,4.2,锥面,请同学们自己用截痕法,研究其形状,.,椭圆锥面,上一页,下一页,返回,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,4.2,锥面,解,圆锥面方程,或,上一页,返回,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,4.2,锥面,定义,4.3.1,以一条曲线绕其一条定直线旋转一周所产生的曲面称为,旋转曲面,或称,回旋曲面,.,这条定直线叫旋转曲面的,旋转轴,这条曲线叫旋转曲面的,母线,4.3,旋转曲面,下一页,返回,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,4.3,旋转曲面,曲线,C,C,y,z,o,绕,z,轴,上一页,下一页,返回,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,4.3,旋转曲面,曲线,C,x,C,y,z,o,绕,z,轴,.,上一页,下一页,返回,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,4.3,旋转曲面,曲线,C,旋转一周得,旋转曲面,S,C,S,M,N,z,P,y,z,o,绕,z,轴,.,f(y,1,z,1,)=0,M,(,x,y,z,),.,x,S,上一页,下一页,返回,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,4.3,旋转曲面,曲线,C,旋转一周得,旋转曲面,S,x,C,S,M,N,z,P,.,绕,z,轴,.,.,f(y,1,z,1,)=0,M,(,x,y,z,),f(y,1,z,1,)=0,f,(,y,1,z,1,)=0,.,y,z,o,S,上一页,下一页,返回,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,4.3,旋转曲面,建立旋转曲面的方程：,如图,将 代入,得方程,上一页,下一页,返回,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,4.3,旋转曲面,方程,上一页,下一页,返回,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,4.3,旋转曲面,例,1,将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程,旋转双叶双曲面,y,z,o,x,y,z,o,x,上一页,下一页,返回,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,4.3,旋转曲面,x,y,o,z,x,y,o,z,旋转单叶双曲面,上一页,下一页,返回,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,4.3,旋转曲面,旋转椭球面,x,y,z,x,y,z,上一页,下一页,返回,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,4.3,旋转曲面,旋转抛物面,x,y,z,o,x,y,z,o,上一页,下一页,返回,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,4.3,旋转曲面,几种 特殊旋转曲面,1,双叶旋转曲面,2单叶旋转曲面,3,旋转锥面,4,旋转抛物面,5,环面,上一页,下一页,返回,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,4.3,旋转曲面,x,0,y,1,双叶旋转双曲面,绕,x,轴一周,上一页,下一页,返回,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,4.3,旋转曲面,x,0,z,y,.,绕,x,轴一周,1,双叶旋转双曲面,上一页,下一页,返回,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,4.3,旋转曲面,x,0,z,y,.,1,双叶旋转双曲面,.,绕,x,轴一周,上一页,下一页,返回,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,4.3,旋转曲面,a,x,y,o,2,单叶旋转双曲面,上题双曲线,绕,y,轴一周,上一页,下一页,返回,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,4.3,旋转曲面,a,x,y,o,z,.,上题双曲线,绕,y,轴一周,2,单叶旋转双曲面,上一页,下一页,返回,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,4.3,旋转曲面,a,.,x,y,o,z,.,.,2,单叶旋转双曲面,上题双曲线,绕,y,轴一周,上一页,下一页,返回,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,4.3,旋转曲面,3,旋转锥面,两条相交直线,绕,x,轴一周,x,y,o,上一页,下一页,返回,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,4.3,旋转曲面,.,两条相交直线,绕,x,轴一周,x,y,o,z,3,旋转锥面,上一页,下一页,返回,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,4.3,旋转曲面,x,y,o,z,.,两条相交直线,绕,x,轴一周,得旋转锥面,.,3,旋转锥面,上一页,下一页,返回,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,4.3,旋转曲面,y,o,z,4,旋转抛物面,抛物线,绕,z,轴一周,上一页,下一页,返回,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,4.3,旋转曲面,y,o,x,z,.,抛物线,绕,z,轴一周,4,旋转抛物面,上一页,下一页,返回,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,4.3,旋转曲面,y,.,o,x,z,生活中见过这个曲面吗？,.,4,旋转抛物面,抛物线,绕,z,轴一周,得旋转抛物面,上一页,下一页,返回,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,4.3,旋转曲面,卫星接收装置,例,.,上一页,下一页,返回,5,环面,y,x,o,r,R,绕,y,轴,旋转所成曲面,上一页,下一页,返回,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,4.3,旋转曲面,5,环面,z,绕,y,轴,旋转所成曲面,y,x,o,.,上一页,下一页,返回,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,4.3,旋转曲面,5,环面,z,绕,y,轴,旋转所成曲面,环面方程,.,生活中见过这个曲面吗？,y,x,o,.,.,上一页,下一页,返回,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,4.3,旋转曲面,救生圈,.,5,环面,上一页,返回,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,4.3,旋转曲面,二次曲面的定义：,三元二次方程所表示的曲面称之为,二次曲面,相应地平面被称为,一次曲面,讨论二次曲面形状的,截痕法,：,用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌,以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面,二次曲面,4.4,椭球面,下一页,返回,第四章 柱面、,锥面、旋转曲面与二次曲面,4.4,椭球面,截痕法,用,z=h,截曲面,用,y=m,截曲面,用,x=n,截曲面,a,b,c,y,x,z,o,椭球面,上一页,下一页,返回,第四章 柱面、,锥面、旋转曲面与二次曲面4.4,椭球面,椭球面的方程,椭球面与三个坐标面的交线：,椭球面,上一页,下一页,返回,第四章 柱面、,锥面、旋转曲面与二次曲面,4.4,椭球面,椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化,.,椭球面与平面 的交线为,椭圆,同理与平面 和 的交线也是,椭圆,.,上一页,下一页,返回,第四章 柱面、,锥面、旋转曲面与二次曲面,4.4,椭球面,椭球面的几种特殊情况：,旋转椭球面,由椭圆 绕 轴旋转而成,旋转椭球面,与,椭球面,的,区别,：,方程可写为,与平面 的交线为圆,.,上一页,下一页,返回,第四章 柱面、,锥面、旋转曲面与二次曲面,4.4,椭球面,球面,截面上圆的方程,方程可写为,上一页,返回,第四章 柱面、,锥面、旋转曲面与二次曲面,4.4,椭球面,单叶双曲面,（,1,）用坐标面 与,曲面相截截得中心在原点,的,椭圆,一、单叶双曲面,4.5,双曲面,下一页,返回,第四章 柱面、,锥面、旋转曲面与二次曲面,4.5,双曲面,与平面 的交线为椭圆,.,当 变动时，这种椭圆的,中心,都在 轴上,.,（,2,）用坐标面 与曲面相截,截得中心在原点的双曲线,.,实轴与 轴相合，虚轴与 轴相合,.,上一页,下一页,返回,第四章 柱面、,锥面、旋转曲面与二次曲面,4.5,双曲面,单叶双曲面图形,x,y,o,z,（,3,）用坐标面 ，与曲面相截,均可得双曲线,.,上一页,下一页,返回,第四章 柱面、