1、数理统计,第四节 区间估计,置信区间定义,置信区间的求法,单侧置信区间,小结,引言,前面，我们讨论了参数点估计,.,它是用样本算得的一个值去估计未知参数,.,但是，点估计值仅仅,是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大,.,区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷,.,引例,设某厂生产的灯泡使用寿命,XN,（,，,100,2,），,现,随机抽取,5,只，测量其寿命如下：,1455,，,1502,，,1370,，,1610,，,1430,，则该厂灯泡的平均使用寿命的点估计值为,可以认为该种灯泡的使用寿命在,1473.4,个单位时间左右。,因此我们自然希望能确定一个区间
2、使我们能以比较高的,可靠程度,相信它包含真参数值,.,区间估计,但范围有多大呢？又有多大的可能性在这“左右”呢？,一、置信区间定义,满足,设 是 一个待估参数，给定,X,1,X,2,X,n,确定的两个统计量,则称区间,是 的置信水平（置信度,),为,的,置信区间,.,和 分别称为,置信下限,和,置信上限,.,若由样本,这里有两个要求,:,可见，,对参数 作区间估计，就是要设法找出两个,只依赖于样本的界限,(,构造统计量,).,一旦有了样本，就把 估计在区间 内,.,可靠度与精度是一对矛盾，一般是,在保证可靠度的条件下尽可能提高,精度,.,1.,要求 以很大的可能被包含在区间,内，就是说，概率
3、 要尽可能大,.,即要求估计尽量可靠,.,2.,估计的精度要尽可能的高,.,如要求区间长度,尽可能短，或能体现该要求的其它准则,.,二点说明,通常，采用,95%,的置信度，有时也取,99%,或,90%,2,、不同的,置信水平，参数的置信区间不同。,求置信区间的一般步骤如下,:,1.,明确问题,是求什么参数的置信区间,?,置信水平,是多少,?,2.,寻找参数 的一个良好的点估计,T,(,X,1,X,2,X,n,),3.,寻找一个待估参数 和估计量,T,的函数,U,(,T,),且其分布为已知,.,二、置信区间的求法,4.,对于给定的置信水平,，根据,U,(,T,),的分布，确定常数,a,b,，,使
4、得,P,(,a,U,(,T,),b,)=,5.,对“,a,U,(,T,),b,”,作等价变形,得到如下形式,:,即,于是 就是 的,100(,),的置信区间,.,N,(0,1),选,的点估计为,求参数 的置信度为 的置信区间,.,例,1,设,X,1,X,n,是取自,的样本，,明确问题,是求什么,参数的置信区间,?,置信水平是多少？,寻找未知参,数的一个良,好估计,.,解,寻找一个待估参数和,统计量的函数，要求,其分布为已知,.,有了分布，就可以求出,U,取值于任意区间的概率,.,对给定的置信水平,查正态分布表得,对于给定的置信水平,根据,U,的分布，确定一,个区间,使得,U,取值于该区间的概率
5、为置信水平,.,使,为什么,这样取,？,从中解得,对给定的置信水平,查正态分布表得,使,也可简记为,于是所求,的,置信区间为,可见，确定区间估计很关键的是要寻找一个,待估参数 和估计量,T,的函数,U,(,T,),且,U,(,T,),的分布为已知,不依赖于任何未知参数,.,而这与总体分布有关，所以，,总体分布的形式是,否已知，是怎样的类型，至关重要,.,从例,1,解题的过程,正态总体均值和方差的区间估计,下节,主要内容：,三、单侧置信区间,上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限,.,例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就
6、有问题了,.,这时,可将置信上限取为,+,，而只着眼于置信下限，这样求得的置信区间叫,单侧置信区间,.,于是引入单侧置信区间和置信限的定义：,满足,设 是 一个待估参数，给定,若由样本,X,1,X,2,X,n,确定的统计量,则称区间 是,的置信水平为 的单侧置,信区间,.,定义,称为,的置信水平为 的,单侧置信,下限,.,对于任意,满足,若由样本,X,1,X,2,X,n,确定的统计量,则称区间 是,的置信水平为 的单侧置,信区间,.,称为,的置信水平为 的,单侧置信,上限,.,对于任意,设灯泡寿命服从正态分布,.,求灯泡寿命均值 的置信水平为,0.95,的单侧置信下限,.,例,2,从一批灯泡中随机抽取,5,只作寿命试验，测得寿命,X,（,单位：小时）如下：,1050，1100，1120，1250，1280,方差 未知,解 的点估计取为样本均值,对给定的置信水平,，确定分位点,使,即,于是得到 的置信水平为 的单侧置信区间为,将样本值代入得,的置信水平为,0.95,的单侧置信下限是,1065,小时,的置信水平为 的,单侧置信下限,为,即,同学们可通过练习，掌握各种求未知参数的,置信区间的具体方法,.,这一讲，我们介绍了区间估计,.,三、小结,
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