电磁学第三版赵凯华答案.ppt

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一章,1.,真空中两个点电荷,q,1,=1.0,10,-10,库仑，,q,2,=1.0,10,-10,库仑，相距,100,毫米，求,q,1,受的力。,解：依库仑定律，,q1,受力大小为：,其方向由,q1,指向,q2,。,(N),电磁学习题解答,2.,真空中两个点电荷,q,与,Q,，,相距,5.0,毫米，吸引力为,40,达因。已知,q=1.2,10,-6,库仑，求,Q,。,解：依库仑定律：,（库仑）,3.,为了得到一库仑电量大小的概念，试计算两个都是一库仑的点电荷在真空中相距一米时的相互作用力和相距一千米时的相互作用力。,解：间距为,1,米时的作用力：,间距为,1000,米时的作用力：,4.,氢原子由一个质子（即氢原子核）和一个电子组成。根据经典模型，在正常状态下，电子绕核作圆周运动，轨道半径是,5.29,10,-11,米。已知质子质量,M=1.67,10,-27,千克，电子质量,m=9.11,10,-31,千克，电荷分别为,1.60,10,-19,库，万有引力常数,G=6.67,10,-11,牛顿米,2,/,千克,2,。（,1,）求电子所受的库仑力；（,2,）库仑力是万有引力的多少倍？（,3,）求电子的速度。,解：电子受的库仑力大小为：,电子的万有引力大小为：,（倍）,5.,卢瑟福实验证明：当两个原子核之间的距离小到,10,-15,米时，他们之间的排斥引力仍遵守库仑定律。金的原子核中有,79,个质子，氦的原子核（即,粒子）中有,2,个质子。已知每个质子带电,e=1.60,10,-19,库，,粒子的质量为,6.68,10,-27,千克。当,粒子与金核相距为,6.9,10,-15,米时（设这时它们都仍可当作点电荷），求（,1,）,粒子所受的力；（,2,）,粒子的加速度。,解：（,1,）从上题中得知：,粒子受的万有引力可以忽略，它受的库仑力为：,（,2,）,粒子的加速度为：,6.,铁原子核里两质子间相距,4.0,10,-15,米，每个质子带电,e=1.60,10,-19,库，（,1,）求它们之间的库仑力；（,2,）比较这力与每个质子所受重力的大小。,解：（,1,）它们之间的库仑力大小为：,（,2,）质子的重力为：,故：（倍）,7.,两个点电荷带电,2q,和,q,，,相距,l,，,第三个点电荷放在何处所受的合力为零？,解：依题意作如右图所示，,q,0,受,2q,和,q,的库仑力相等。,x,l-x,8.,三个相同的点电荷放置在等边三角形的各顶点上。在此三角形的中心应放置怎样的电荷，才能使作用在每一点电荷上的合力为零？,解：设三个电荷相等为,q,，,三边边长为,a,，,其中心到三顶点距离为 ，此处置于电荷,q,0,，,则：,9.,电量都是,Q,的两个点电荷相距为,l,，,连线中点为,O,；,有另一点电荷,q,，,在连线的中垂面上距,O,为,x,处。,(1),求,q,受的力；,（,2,）若,q,开始时是静止的，然后让它自己运动，它将如何运动？分别就,q,与,Q,同号和异号情况加以讨论。,解：（,1,）,q,受的库仑力为：,(2),若,Q,与,q,同号，,q,向上运动；,若,Q,与,q,异号，,q,以,o,为中心作往复运动。,Q,h,l,o,o,q,Q,o,o,（N）,10.,两个小球质量都是,m,，,都用长为,l,的细线挂在同一点；若它们带上相同的电量，平衡时两线夹角为,2,（,见附图）。设小球的半径都可以略去不计，求每个小球上的电量。,解：依题意可知，,q,受三个力处于平衡：,写成分量形式：,q,q,l,l,1.,在地球表面上某处电子受到的电场力与它本身的总量相等，求该处的电场强度（已知电子质量,9.1,10,31,千克，电荷为,-e=-1.60,10,-19,库）。,解：若此处的电场为,E,，则,2.,电子说带的电荷量（基本电荷,-e,）,最先是由密立根通过油滴试验测的。密立根设计的试验装置如附图所示。一个很小的带电油滴在电场,E,内。调节,E,，,使作用在油滴上的电场力与油滴的总量平衡。如果油滴的半径为,1.64,10,4,厘米，在平衡时，,E,1.92,10,5,牛顿,/,库仑。求油滴上的电荷（已知油的密度为,0.851,克,/,厘米,3,）。,解：设油滴带电量为,q,，,有电场力格重力平衡条件：,qE,mg,得：,喷雾器,油滴,显微镜,电池组,E,+,-,3.,在早期（,1911,年）的一连串实验中，密立根在不同的时刻观察单个油滴上呈现的电荷，其测量结果（绝对值）如下：,6.586,10,19,库仑,13.13,10,19,库仑,19.71,10,19,库仑,8.204,10,19,库仑,16.48,10,19,库仑,22.89,10,19,库仑,11.50,10,19,库仑,18.08,10,19,库仑,26.13,10,19,库仑,根据这些数据，可以推得基本电荷,e,的数值为多少？,解：把上下，自左向右每两组数相减得：,1.636,1019,3.296,10,-19,1.63,10,-19,3.18,10,-19,3.24,10,-19,3.35,10,-19,1.60,10,-19,1.63,10,-19,其中以,1.6,10,19,作为一个基本数据，上面的总数为,12,个基本数据。故：,4.,根据经典理论，在正常状态下，氢原子绕核作圆周运动，其轨道半径为,5.29 10,-11,米。已知质子电荷为,e,1.60 10,19,库，求电子所在处原子核（即质子）的电场强度。,解：电子所在处的原子核（即质子）的电场由：,5.,两个点电荷，,q,1,8.0,微库仑，,q,2,=-16.0,微库仑（,1,微库仑,10,6,库仑）相距,20,厘米。求离它们都是,20,厘米处的电场强度,E,。,解：依题意，作如图所示：,q,1,20cm,o,q,2,o,o,r,2,r,1,y,x,6.,如附图所示，一电偶极子的电偶极矩,p=,ql,，,P,点到偶极子中心的距离为,r,，,r,与,l,的夹角微,。在,rl,时，求,P,点的电场强度,E,在,r,OP,方向的分量,E,r,和垂直于,r,方向上的分量,E,。,解：把,p,ql,分解为：,p,psin,，,p,r,pcos,由电偶极子在延长线，垂直平分线公式得：,l,o,-q,+q,P(r,),r,7.,把电偶极矩,p,ql,的电偶极子放在点电荷,Q,的电场内，,p,的中,O,到,Q,的距离为,r,（,rl,）。,分别求（,1,）,p/,（图,a,）,和,p,（图,b,）,时偶极子所受的力,F,和力矩,L,。,解：（,1,）在图中（上图）,p/,时，,P,受力：,正电荷：,负电荷：,P,受合力：,P,r,Q,O,O,P,Q,（,2,）在图中（下图）,P,，,P,受力：,正电荷：,负电荷：,P,受合力：,P,受的力矩：（,1,）中,P/,，,力矩,(2,）,中，,P,，,力矩,8.,附图中所示是一种电四极子，它由两个相同的电偶极子,p,ql,组成，这两电偶极子在同一直线上，但方向相反，它们的负电荷重合在一起。证明：在它们的延长线上离中心（即负电荷）为,r,处，,式中,Q,2ql,2,叫做它的电四极矩。,解：依电场叠加原理，三个点电荷在,P,处的场强：,r,l,-l,P,-2q,+q,+q,9.,附图中所示是另一种电四极子，设,q,和,l,都已知，图中,P,点到电四极子中心,O,的距离为,x,，,与正方形的一对边平行，求,P,点的电场强度,E,。当,xl,时,E=?,解,:,利用偶极子在中垂线上的场强公式,来计算,:,+q,+q,-q,-q,l,l,x,l,l,P,10.,求均匀带电细棒,(1),在通过自身端点的垂直面上和,(2),在自身的延长线上的场强分布,设棒长为,2l,带电总量为,q.,解,:,依题意选坐标系如图所示,.,Y-,y+dy,带电,:,(1),它在,x,处的电场为,:,11.,两条平行的无线长直均匀带电导线,相距为,a,电荷线密度分别为,e,。（,1,）,求这两线构成的平面上任一点（设这点到其中一线的垂直距离为,x,）,的场强；（,2,）求两线单位长度间的相互吸引力。,解：（,1,）依题意,做如图所示，故,x,处电场：,（,2,）第一直线电荷在第二直线电荷处的电场为：,第二直线电荷单位长度受力为：,12.,如附图，一半径为,R,的均匀带电圆环，电荷总量为,q,。（,1,）,求轴线上离环中心为,x,处的场强,E,；（,2,）,画出,Ex,曲线；（,3,）轴线上什么地方场强最大？其值是多少？,解：（,1,）,dq,P,R,O,x,oE,x,13.,半径为,R,的圆面上均匀带电，电荷的面密度为,e,。,（,1,）,求轴线上离圆心的坐标为,x,处的场强；（,2,）在保持,e,不变的情况下，当,R0,和,R,时的结果如何？（,3,）在保持总电荷,Q,R,2,e,不变的情况下，当,R0,和,R,时结果如何？,解：（,1,）在,rr,dr,取一小圆环，带电量,dq,e,rdr,，,它在,x,处电场：,R,x,dq,x,14.,一均匀带电的正方形细框，边长为,l,，,总电量为,q,。,求这正方形轴线上离中心为,x,处的场强。,解：依题意作如图所示，线电荷密度为,q/4l,，,其一个边上，,xx,dx,带电量为,dq,dx,。,它在z,轴某点电场：,由于对称性，,z,处总场强,E,为：,x,dq,z,y,l/2,z,15.,证明带电粒子在均匀外电场中运动时，它的轨迹一般是抛物线。则抛物线在什么情况下退化为直线？,解：设电场,E,方向沿着,y,方向，且如图选取坐标系。,t,0,时刻，带电粒子,q,位于,0,处，初速度,v,0,与,x,轴夹角,，,则：,上式中消去,t,得：,为开口向上抛物线。,16.,如附图，一示波管偏转电极的长度,l,1.5,厘米，两极间电场是均匀的，,E,1.2,10,4,伏,/,米（,E,垂至于管轴），一个电子一初速度,v,0,2.610,7,米,/,秒沿铅管轴注入。已知电子质量,m,9.1 10,31,千克，电荷为,e,1.6 10,19,库。（,1,）求电子经过电极后所发生的偏转,y,；（,2,）,若可以认为一出偏转电极的区域之后，电场立即为零。设偏转电极的边缘到荧光屏的距离,D,10,厘米，求电子打在荧光屏上产生的光电偏离中心,O,的距离,y,1,。,解：（,1,）电子在电场中的加,速度为：,+,-,偏转电极,电子,v,0,荧光屏,P,l,D,y,y,1,O,（,2,）电子从极板道荧光屏所用的时间为,t,1,，,则：,1.,设一半径为,5,厘米的圆形平面，放在场强为,300,牛顿,/,库仑的匀强电场中，试计算平面法线与场强的夹角,取下列数值是通过此平面的电通量：（,1,）,0,o,2,）,30,o,；（,3,）,90,o,；（,4,）,120,o,；（,5,）,180,o,。,解：电通量,（,1,）,0,o,时：,（,2,）,30,o,：,（,3,）,90,o,：,（,4,）,120,o,：,（,5,）,180,o,：,2.,均匀电场与半径为,a,的半球面的轴线平行，试用面积分计算通过此半球面的电通量。,解：设半球面和圆面组成闭合面：,s,s,1,3.,如附图所示，在半径为,R,1,和,R,2,的两个同心球面上，分别均匀地分布着电荷,Q,1,和,Q,2,，,求：（,1,）,、,、,三个区域内的场强分部；（,2,）若,Q,1,Q,2,，,情况如何？画出此情形的,E,r,曲线。,解：（,1,）高斯定理：求,E,的分布,:,rR,1,R,1,rR,2,rR,1,R,1,rR,2,R,1,R,2,Q,2,Q,1,o,4.,根据量子理论，氢原子中心是一个带正电,q,e,的原子核（可以看成是点电荷），外面是带负电的电子云。在正常状态（核外电子处在,s,态）下，电子云的电,荷密度分布是球对称的：,式中,a,0,为一常数（它相当于经典原子啊模型中,s,电子圆形轨道的半径，称为玻尔半径）。求原子内的电场分布。,解：在,r,处的电场,E,：,5.,实验表明：在靠近地面出有相当强的电场，,E,垂直于地面向下，大小为,100,牛顿,/,库仑；在离地面,1.5,千米高的地方，,E,也是垂直于地面向下的，大小约为,25,牛顿,/,库仑。（,1,）试计算从地面到此高度大气中电荷的平均体密度；（,2,）如果地球上的电荷全部均匀分布在表面，求地面上电荷的面密度。,解：（,1,）由高斯定理：,（,2,）若电荷全部分布在表面：（,R,为地球半径）,6.,半径为,R,的无穷长直圆筒面上均匀带电，沿轴线单位长度的电量为,。,求场强分布，并画,E,r,曲线。,解：由高斯定理：求得：,rR,E,r,R,o,7.,一对无限长的共轴直圆筒，半径分别为,R,1,和,R,2,，,筒面上都均匀带电。沿轴线单位长度的电量分别为,1,和,2,。（,1,）,求各区域内的场强分布；（,2,）若,1,2,情况如何？画出此情形的,E,r,曲线。,解：由高斯定理：求得：,（,1,）电场分布：,rR,1,R,1,rR,2,rR,1,R,1,rR,2,8.,半径为,R,的无限长直圆柱体内均匀带电，电荷的体密度为,e,。,求场强分布，并画,E,r,曲线。,解：依题意作如图所示，由 求得,E,分布：,rR,时：,9.,设气体放电形成的等离子体圆柱内的体电荷分布可用下式表示：,式中,r,是到轴线的距离，,0,是轴线上的,e,值，,a,是个常数（它是,e,减少到,0,/4,处的半径）。求场强分布。,解：由高斯定理：,10.,两无限大的平行平面均匀带电，电荷的面密度分别为,e,，,求各区域的场强分布。,解：由叠加原理可知：,x,C,A,B,11.,两无限大的平行平面均匀带电，电荷的面密度都是,e,，,求各处的场强分布。,解：由叠加原理可求得：,x,C,A,B,12.,三个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为,e1,、,e2,、,e3,。,求下列情况各处的场强：（,1,）,e1,e2,e3,e,；（,2,）,e1,e3,e,，,e2,e,；（,3,）,e1,e3,e,，,e2,e,；（,4,）,e1,e,，,e2,e3,e,。,解：（只解答（,4,），其它类似地解答）,（,4,）,e1,e,，,e2,e3,e,x,C,A,B,D,e3,e2,e1,13.,一厚度为,d,的无限大平板，平板内均匀带电，电荷的体密度为 。求板内外场强的分布。,解：板内：,由高斯定理得：,板外：,14.,在半导体,p,n,结,附近总是堆积着正、负电荷，在,n,区有正电荷，,p,区内有负电荷，两区电荷的代数和为零。我们把,p-n,接看成是一对带正、负电荷的无限大平板，它们互相接触（见图）。取坐标,x,的原点在,p,n,区的交界面上，,n,区的,范围是,p,区的,范围是 设两区内电荷体分布都是均匀的：,n,区：,p,区:,这里,N,D,N,A,是,常数，且,N,A,x,P,=,N,D,x,n,(,两区电荷数量相等）。试证明电场的分布为,n,区：,E,（,x,）,N,d,e,（,x,n,x,）,/,x,x,px,n,0,n,区,p,区,证明：,n,区：,E,E,1,+E,2,+E,3,=,P,区,:E(x)=,N,a,e(x,p,-x,)/,并画出 （,x,）和,E,（,x,）随,x,变化的曲线来。,p,区：,E,E,1,+E,2,+E,3,=,P n,结外：,(x)=0;,并画出 和,E(x),随,x,变化的曲线。,15.,如果在上题中电荷的体分布为,-,x,n,x,x,p,:(x)=-,eax,.,（线性缓变结膜型）,这里,a,是常数，,x,n,=,x,p,(,为什么）。统一用,x,m,/2,表示。试证明电场的分布为,解：表面单位面积内：,由中性面两侧电荷密度对称且异号，故,p_n,结处,E0,如图取高斯面，依高斯定理,0,S,x,1.,在夏季雷雨中，通常一次闪电里两点间的电位差约为一百兆伏，通过的电量约为,30,库仑。问一次闪电消耗的能量是多少？如果用这些能量来烧水，能把多少水从 加热到,解,:(1),一次闪电消耗的能量,（,焦耳）,(2),设水的质量为,m,，,（千克）,2,以知空气的击穿强为,2 10,6,伏,/,米，测得某次闪电的火花长,100,米，求发生这次闪电两端的电位差。,解：两端电位差为,V,2,-V,1,，,则,.V,2,-V,1,=E d=2 10,6,100=2 10,8,（,伏）,3.,证明：在真空静电场中凡是电力线都是平行直线的地方，电场强度的大小必定处处相等；或者换句话说，凡是电场强度的方向处处相同的地方，电场强度的大小必定处处相等。（提示：利用高斯定理和作功与路径无关的性质，分别证明沿同一电力线和沿同一等位面上两点的场强相等。）,解：,(1),依题意做如图所示，由高斯定理：,所以：,E,A,=E,B,.,(2),与电力线重合方向上为等位面：,U,B,=U,C,所以：,E,B,=E,C,.,x,y,E,C,B,4.,求与电电荷,q=1.0 10,-6,库仑分别相距,a=1.0,米和,b=2.0,米的,两点间的电势差。,解：两点间的电势差：,5.,一点电荷,q,在离它,10,厘米处产生的电位为,100,伏，求,q,。,解：由点电荷电势公式：求得,(,库仑）,6.,求一对等量同号点电荷连线中点的场强和电位，设电荷都是,q,，,两者之间距离,2l,。,解：由叠加原理，点电荷的场强和电势：,7.,求一对等量异号电荷连线中点的场强和电位，设电荷分别为正负,q,，,两者之间距离为,2l,。,解：由叠加原理，点电荷组的场强和电势：,A,B,O,C,D,l,2 l,q,-q,8.,如图所示，,AB=2l,，,OCD,是以,B,为中心，,l,为半径的半圆。,A,点有正点电荷,+q,，,B,点有负点电荷,-q,。,(1),把单位正电荷从,O,点沿,OCD,移到,D,点,电场力对它做了多少功？,(2),把单位负电荷从,D,点沿,AB,的延长线移到无穷远去，电场力对 它做了多少功？,解：两电荷在,O,点,D,点的电势为,:,(1),电场力的功,:,(2),电场力的功,:,9.,两个点电荷的电量都是,q,，,相距为,l,。,求中垂面上到两者连线中点为,x,处的电位。,解：由电势叠加原理，求得：,10.,有两个异号点电荷,ne,和,-,e(n1),相距为,a,。,(1),证明电位为零的等位面是一个球面；,(2),证明球心在这两个点电荷的延长线上，且在,-e,点电荷的外边；,(3),这球的半径为多少？,（x,y),ne,-,e,-,解：依题意做如图所示，,p,点电势为：,（,n,2,-1)x,2,-,（,n,2,+1)ax+,（,n,2,-1)a,2,/4+,（,n,2,-1)y,2,=0,（,n,2,-1)(x,2,-2ax+a,2,/4+y,2,)=0,（,n,2,-1)(x,2,-2ax+a,2,-3a,2,/4+y,2,)=0,(x-a),2,+y,2,=3a,2,/4,圆心在（,a,0),半径,.,11.,求电偶极子,p=,q,l,电位的直角坐标表达式,并用梯度求出场强的,直角分量表达式,.,p,z,解,:,偶子电势,而,12.,证明本章第二节习题,8,附图中电四极子在它的轴线沿长线上的电位为,式中,Q=2ql,2,叫做它的电四极距。利用梯度验证，所得场强公式与该题一致,。,解：,q,-2,q,+,q,p,r,13.,一电四极子如图所示,.,试证明,:,当,rl,时,它在,P(r,),点产生的电位为,图中极轴通过正方形中点,O,点,且与一对边平行,.,极轴,l,l,l,+q,+q,-q,-q,P(r,),r,O,证明,:,电偶子电子电势,一个电偶极电势,另一个电偶极电势,14.,求本章第二习题,12,中均匀带电圆环轴线上的电位分布，并画,Ux,曲线。,解：,在圆环上,l_l+dl,的带电常量,dq,=dl,它在中心轴上电 势为：,整个圆环电势为：,15.,求本章第二节习题,13,中均匀带电圆面轴线上的电位分布，并,画,Ux,曲线。,解：在圆盘上,r,r+dr,取一圆环，带电量,dq,=,它在中心轴的电势：,整个圆盘的电势为：,16.,求 本章第三节习题,3,中同心球在 三个区域内的电位分布,.,解,:,电场分布为,:E=,由电势分布公式,:,求得电势分步,:,rR1:,R,1,rR,2,:,17.,在上题中，保持内球上电量,不变，当外球电量 改变时，,试讨论三个区域内的电位有何变化？两球面间的电位差有何变化？,解：,看出：各点电势均与 有关。故 改变时，,0,电势随,增加而增加；当,0,，结论相反。,两球的电势差：,不变。,18.,求本章第三节习题,2,中均匀带电球体的电位分布,.,解,:,由电位的定义式 求得电位分布,rR,时,19.,金原子核可当作均匀带电球，其半径约为,6.9,米，,电荷为,库。求它表面上的电位。,解：,金原子核表面的电位：,（,伏）,20.(1),一质子,(,电荷为,e=1.60 10,-19,库,质量为,1.67 10,-27,千克,),以,1.2 10,7,米,/,秒的速度从很远的地方射向金原子核,求它能达到金原子核的最近距离,;(2),粒子的电荷为,2e,质量为,6.7 10,-27,千克,以,1.6 10,7,米,/,秒的速度从很远的地方射向金原子核,求它能达到金原子核的最近距离,.,解,:,质子与金原子核最近间距为,r,1,此处电势,质子势能,:,由质子的动能转化的电势能,:,eu,=0.5mv,2,粒子与金原子核最近间距为,r,2,同理求得,21.,在氢原子中，正常状态下电子到质子的距离为,5.29 10,-11,米，已知氢原子核（质子）和电子带电各为正负,e,（,e=1.60 10,-19,库）。把氢原子中的电子从正常状态下离核的距离拉开到无穷远处所须的能量，叫做氢原子的电离能。求此电离能是多少电子伏和多少焦耳？,解：电子正能状态下（,a,0,=5.29 10,-11,).,该处电势：,电量能：,22.1,轻原子核（如氢及其同位素氘，氚的原子核）结合成为较重原子核的过程，叫做核聚变。核聚变过程可释放大量能量。例如，四个氢原子核结合成一个氦原子核时，可以释放出,28MeV,的能量。这类核聚变就是太阳发光发热的能量来源。实现核聚变的困难在于原子核都带正电，互相排斥，在一般情况下不能互相靠近而发生结合。只有在温度非常高时热运动的速度非常大，才能冲破库仑排斥力的壁垒，碰到一起发生结合，这叫做热核反应。根据统计物理学，绝对温度为,T,时，粒子的平均动能为,mv,2,/2=3kT/2,式中,k=1.38 10,-23,焦耳,/,开 叫做玻耳兹曼常数。已知质子质量,M=1.67 10,-27,千克，电荷,e=1.6 10,-19,库，半径的数量级为,10,-15,米。试计算：,(1),一个质子以怎样的动能（以,eV,表示）才能从很远的地方达到与另一个质子接触的距离？,(2),平均热运动动能达到此值时，温度（以开表示）需位多少？,22.2,解：（,1,）质子表面电势：,另一质子达到这一质子表面的电势能：,即质子具有,电子伏的动能才能接近另一质子。,（,2,）因,，,求得温度：,（,开）,23.,在绝对温度,T,时，微观粒子热运动能量具有,kT,的数量级,（玻耳兹曼常数,k=1.38 10,-23,焦耳,/,开）。有时人们把能量,kT,折合成电子伏，就是说温度,T,为若干电子伏。问：,（,1,）,T=1eV,相当于多少开？,（,2,）,T=50keV,相当于多少开？,（,3,）,室温（,T 300,开）相当于多少,eV,？,解：,24.1,电量,q,均匀地分布在长为,2l,的细直线上,求下列各处的电位,U:,(1),中垂面上离带电线段中心,O,为,r,处，并利用梯度求,E,r,;,(2),延长线上离中心,O,为,z,处,并利用梯度求,E,z,;,(3),通过一端的垂面上离该端点为,r,处，,并利用梯度求,E,r,;,解：（,1,）依题意作坐标系如图所示：,dy,带电量,dq,=,dy,，,它在,x,处的电势：,故整个带电直线在,x,处的电势：,由 求得：,（,2,）,dy,上电荷元在,y,处电势：,y,x,24.2,24.3,2l,x,x,Y,z,P(r,z),25.,如图所示，电量,q,均匀分布在长为,2l,的细长直线上,(1),求空间任一点,P,（,r,z,）,的电位（,r0).,(2),利用梯度求任一点,P,（,r,z,）,的场强分量,Er,和,Ez,。,(3),将所得结果与上题中的特殊位置作比较。,r,0,l,l,解,:(1)dz,电荷在,p,处电势,解：,两点电位差：,26.,一无限长直线均匀带电，线电荷密度为 。求离这线分别为,r,1,和,r,2,的两点之间的电位差。,y,a,a,x,0,P(x,y),27.,如图所示，两条均匀带电的无限长直线,(,与图纸垂直,),电荷的线密度分别为,相距,2a,，,求空间任一点,P,（,x,y,）,的电位。,解：如图所示，设,0,点电位为零，则：,28.,证明：在上题中电位为,U,的等位面上半径为,r=2ka/(k,2,-1),的圆筒面，圆筒的轴线与两直线共面位置在,x=(k,2,+1)a/(k,2,-1),处，,其中,k=exp()(,有关等势面图，参见图,1-46,）。,U=0,的等势面是什么形状？,证明；上题中，,故：经调整可化为圆方程：,（,2,）若,U=0,，即,29.,求本章第三节习题,7,中无限长共轴圆筒间的电位分布,和两筒间的电位差（设 ）。,解：由第三节习题,7,可知：,E=,30.,求本章第三节习题,8,中无限长直圆柱的电位分布（以轴线为参考点，设它上面的电位为零）。,解：由第三节习题,8,可知：,E=,31.,求本章第三节习题中无限长等离子体柱的电位,分布（以轴线为参考点，设它上面的电位为零）。,32.,一电子二极管由半径,r,0.50,毫米的圆柱形阴极和套在阴极外,同轴圆筒形的阳极组成，阳极的半径,0.45,厘米。阳极电位,比阴极高,300,伏。设电子从阴极发射出来时速度很小,可不计。求,:,(1),电子从向走过,2.0,毫米时的速度；,(2),电子到达时的速度。,解：,二极管阴，阳极,可看作同轴圆筒，其间的电场为：,33.1,如图所示，一对均匀等量异号的平行带电平面。若其间距离,d,远小于带电平面的限度时，这对带电面可看成是无限大的。这样的模型叫做电偶极层。求场强和电位沿垂直两平面的方向,x,的分布，并画出,E_x,和,U_x,曲线（取离两平面灯具的,O,点为参考点，令该处电位为零）。,d,O,x,解：两极内电场分布,两极外：,(33.2),电势分布：（取,O,点电势为零）,当,x-d/2,时,E,x,-d/2,d/2,U,x,当,-d/2 x d/2,时,34.,证明本章第三节习题,14,的突变型,p-n,结内,电位的分布为,p,n,x,x,n,x,p,x,这公式是以哪里作为电位参考点的？,p-n,结两侧的电位差为多少？,解：由第三节习题,14,中，,p-n,结内电场分布：,选,x=0,处（,p-n,交界处）电势为零，则由电势差计算公式得：,p-n,结两侧的电位差为：,35.,证明本章第三节习题,15,的线性缓变型,pn,结内电位的分布为,这公式是以哪里作为电位参考点的？,Pn,结两侧的电位差为多少？,解：依,34,题仍设,x=0,处电势为：,将,:x=x,m,/2,和,x=-x,m,/2,分别代入上式可得：,Pn,结右侧面处电势：,Pn,结左侧面处电势：,故,Pn,结两侧的电位差：,36.,在本章第二节习题,16,的示波管中，若已知的不是偏转电极间的,场强,E,，,而是两极板间的距离,d=1.0,厘米和电压,120,伏，其余尺寸照,旧。求偏转距离,y,和,y,。,37.,电视显象管的第二和第三阳极是两个直径相同的同轴金属圆筒,.,两电极间的电场即为显象管中的主要聚焦电场,.,图中所示为主要聚焦带农场中的等位面,数字表示电位值,.,试用直尺量出管轴上各等位面间的距离,并求出相应的电场强度。,解：在中心轴线上：,首先量出中心轴线上各等位面的间距：,再用,得,0.1,0.5,0.6,0.4,0.7,0.8,0.9,0.3,0.2,0.05,0.03,0.95,0.97,中心轴,U,1,=0,U,2,=+1V,38.,带电粒子经过加速电压加速后，速度增大。已知电子的质量,m=9.11 10,-31,千克，电荷的绝对值,e=1.60 10,-19,库。（1）设电子质量与速度无关，把静止电子加速到光速,c=3 10,8,m/s,要多高的电压？（,2,）对于高速运动的物体来说，上面的算法不对，因为根据相对论，物体的动能不是,mv,2,/2,，,而是,按照这公式，静止电子经过上述电压加速后，速度,v,是多少？它是光速的百分之几？（,3,）按照相对论，要把带电粒子从静止加速到光速,c,，,需要多高的电压？这可能吗？,解：（,1,）利用经典公式,（,2,）利用相对论公式,1.,计算本章第一节习题,8,中三个点电荷的相互作用能,设三角形边长为,l,顶点上的电荷都是,q.,解,:w,互,2.,计算上题中心电荷处再其余三电荷产生的外电场中的电位能,.,解,:,如图所示,中心电荷为,q,该处电势为,:,则,:,电势能为,W,3.,求均匀带电球体的电位能，设球的半径为,R,，,带电总量为,q,。,解：由题,18,可得球内电势,由静电能公式：,W,4.,利用虚功概念重解本章第二节习题,7,。,解：电偶极子,在均匀电场中的电势能为,(1),当,受力由虚功原理：,受力矩：,(2),力：,力矩：,5.,利用虚功概念证明,:,均匀带电球体壳在单位面积上受到的静电排斥力为,.(,提示,:,利用例题,3,的结果式,并设想球面稍有膨胀,(R R+R,0,),解,:,带电为,q,半径为,R,的球壳的静电能为,:,力密度：,1.,如图所示，一平行板电容器充电后，,A,、,B,两板上电荷的面密度分别为,e,和,-,e,。设,P,为两板间任一点，略去边缘效应（或者把两板当作无限大也一样）。,解：,（,1,）求,A,板上的电荷在,P,点产生的电场强度,E,A,；,（,2,）求,B,板上的电荷在,P点产生的电场强度,E,B,；,（,3,）求,A,，,B,两板上的电荷在,P,点产生的电场强度,E,；,（,4,）,若把,B,板拿走，,A,板上的电荷如何分布？,A,板上的电荷在,P,点产生的电场强度为多少？,-,-,-,-,-,P,e,-,e,第二章,解：,（,1,）由高斯定理求得无穷大平板外：,E,1,e,/,2,0,方向向右。,（,2,）同理，,E,2,-,e,/,2,0,方向向右。,（,3,）由叠加法得，求得：,E,E,1,E,2,e,/,0,方向向右。,（,4,）若,B,板移走，,A,板电荷仍然均匀分布。,E,e,/,2,0,，,方向向右。,3.,两平行金属板分别带有等量的正负电荷。两板的电位差为,120,伏特，两板的面积都是,3.6,平方厘米，两板相距,1.6,毫米。略去边缘效应，求两板间的电场强度和各板上所带的电量。,解,：,两板间的电场强度,E=,（,U,A,-U,B,)/d=120/0.0016=7.5,1,0,4,(,伏/米）,由,E=,/,0,=Q/,（,0,S,）,求得：,Q=E,0,S=7.5,1,0,4,8.85,3.610,-4,=2.38,10,-10,(,库仑）,（,1,）两板间电场,E=,/,0,=Q/,（,0,S,），故,b,板电势：,U,b,=-,Qd,/,（,0,S,）,(d=),=-(2.66,1,0,8,5.0,1,0,3,)/(8.85,1,0,12,1.5,1,0,2,),=-1.002,1,0,2,=-1.0,1,0,3,(,伏,),（,2,）,U,p,=(,U,b,/d)d,=(-1.0,1,0,3,/5.0),1.0=-2.0,1,0,2,(,伏）,4.,两块带有等量异号电荷的金属板,a,和,b,相距,5.0,毫米，两板的面积都是,150,平方厘米，电量大小都是,2.66,10,-8,库仑，,a,板带正电并接地（见附图）。以地的电位为零，并略去边缘效应，问：（,1,）,b,板的电位是多少？（,2,）,a,、,b,间离,a,板,1.0,毫米处的电位是多少？,d,1,=4.0mm,d,2,=2.0mm.,(1)A,板左边右边电荷分别为,q,1,q,2,则:,q,1,+q,2,=q q,1,+q,2,=q,E,1,d,1,=E,2,d,2,q,1,d,1,/(,0,S)=q,2,d,2,/(,0,S),5.,三平行金属板,A B,和,C,，,面积都要,200,厘米,2,，,AB,相距,4.0,毫米，,AC,相距,2.0,毫米，,BC,两板都接地（见附图）。如果使,A,板带正电,3.0,10,-7,库仑，在略去边缘效应时，问,B,板和,C,板上感应电荷各是多少？以地的电位为零，问,A,板的电位是多少？,解：,q,1,=q/(1+d,1,/d,2,)=q/(1+0.5)=2.0,10,-7,(,库仑）,q,2,=q-q,1,=1.0,10,-7,(,库仑）,（2）,A,板电势：,U,A,=E,1,d,1,=q,1,d,1,/(,0,S),=2.0,10,-7,2.0,10,-3,/(8.85,10,-12,200,10,-4,),=300(,伏）,A B C,dr,rR,1,U=q/(4 r,2,)dr+q/(4 r,2,)dr,=q/(4 )*(1/r-1/R,1,)+q/(4 R,2,),R,1,rR,2,U=q/(4 r,2,)dr=q/(4 r),(1),由高斯定理与导体静电平衡性质求得电场分布：,q/(4 r,2,)rR,1,E=0 R,1,rR,2,(2),由电势,U=E,求得：,6.,点电荷,q,处在导体球壳的中心，壳的内外半径分别为,R,1,和,R,2,（,见附图）。求场强和电位的分布，并画出,E-r,和,U-r,曲线。,R,1,R,2,q,7.,在上题中若,q=4*10,-10,库仑，,R,1,=2,厘米，,R,2,=3,厘米，求：,（1）导体球壳的电位；（2）离球心,r=1,厘米处的电位；（,3,）把点电荷移开球心爱厘米，求导体球壳的电位。,（,1,）导体球壳电势,U=q/(4 R,2,)=9.0*10,9,*4*10,-10,/(3*10,-2,)=1.2*10,2,(,伏）,（2）离球心,r=1,厘米处电势：,U=q/(4 )*(1/r-1/R,1,)+q/(4 R2,),=9.0*10,9,*4*10,-10,(1/0.01-1/0.02)+120=3.6*(100-50)+120,=180+120=300(,伏）,（3）把点电荷移开球心爱厘米，只改变球壳内表面电荷分布，不影响球壳外表面电荷分布。球壳电势仍为本120伏,.,8.,半径为,R,1,的导体球带有电荷,q,球,内有一个内外半径为,R,2,，,R,3,的同心导体球壳，壳上带有电荷,Q,（,见附图）。（,1,）求两球的电位,U,1,和,U,2,；（,2,）,两球的电位差 ；（,3,）以导线把球和壳联接在一起后，,U,1,，,U,2,和 分别是多少？（,4,）在情形（,1,），（,2,）中，若外球接地，,U,1,，,U,2,和 为多少？（,5,）设为球离地面很远，若内球接地，情况如何？,Q,q,R,2,R,3,(1),由高斯定理 求得电场分布：,0 rR,1,E=q/(4 r,2,)R,1,rR,2,0 R,2,rR,3,(1),内球电势：,U,1,=+,=q/(4 )*(1/R,1,-1/R,2,)+(q+Q)/(4 R,3,),外球电势：,U,2,=,（,Q+q)/(4 R,3,),(2),两球电势差：,U1-U2=q/(4 )*(1/R1-1/R2),(3),此时,U1=U2,=U1-U2=0,(4),若外球接地,U2=0,则,:U1-U2=U1=U2+,=q/(4 )*(1/