1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,1.9 有理系数多项式,*,本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。,问题的引入,因式分解定理,数域P上次数 的多项式都可唯一地,分解成一些不可约多项式的乘积,数 域,不可约多项式,复 数 域 C,实 数 域 R,有理数域Q,存在任意次不可约多项式,仅有一次多项式,
2、一次多项式和某些二次不可约多项式,1.9 有理系数多项式,有理系数多项式的因式分解,怎么分？,分成什么样？,有理数域上多项式不可约性的判定,整系数多项式的分解问题,化为,1.9 有理系数多项式,一、本原多项式,设,定义,若 没有,则称 为,本原多项式,异于 的公因子，即,是互素的，,1.9 有理系数多项式,有关性质,1,使,其中 为本原多项式,（除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的）,2Gauss引理,定理,10,两个本原多项式的积仍是本原多项式,1.9 有理系数多项式,设,是两个本原多项式,若 不是本原的，则存在素数,证：,又 是本原多项式，所以 不能整除 的,每一个系数,反证法,1.9
3、 有理系数多项式,令 为 中第一个不能被 整除的数，即,同理，本原，令 为 中第一个不能被,整除的数，即,又,矛盾,在这里,故是本原的,1.9 有理系数多项式,定理,11,若一非零的整系数多项式可分解成两,个次数较低的有理系数多项式，则它一定可分解,成两个次数较低的整系数多项式的乘积,二、整系数多项式的因式分解,1.9 有理系数多项式,设整系数多项式 有分解式,其中 且,证：,令,这里，皆为本原多项式，,于是,由定理,10,，本原，,即,从而有,得证,1.9 有理系数多项式,设 是整系数多项式，且 是本原,推论,的，若 则,必为整系数多项式,1.9 有理系数多项式,令,本原，,即,为整系数多项
4、式,证：,于是有，,1.9 有理系数多项式,定理,12,设,是一个整系数多项式，而 是它的一个有理根，,其中 是互素的，则必有,1.9 有理系数多项式,是 的有理根，,从而,又 互素，,比较两端系数，得,证：,在有理数域上，,由上推论，有,本原,所以，,1.9 有理系数多项式,定理,12,是判断整系数多项式有理根的一个必要条件，,而非充分条件,例1求方程 的有理根.,可能有理根为,用综合除法可知，只有,1,为根,注意,解：,1.9 有理系数多项式,例,2,证明:在 上不可约,若 可约，,但 的有理根只可能是,所以 不可约,证：,则 至少有一个一次因式，,也即有一个有理根,而,矛盾,1.9 有理
5、系数多项式,定理,13,艾森斯坦因,Eisenstein,判别法,设,是一个整系数多项式，若有一个素数 使得,则 在有理数域上是不可约的,1.9 有理系数多项式,若 在 上可约，由定理11，,可分解为两次数较低的整系数多项式积,证：,又,不妨设 但,或,不能同时整除,1.9 有理系数多项式,另一方面，,假设 中第一个不能被 整除的数为,比较两端 的系数，得,上式中 皆能被整除，,矛盾,故不可约,1.9 有理系数多项式,Eisenstein,判别法是判断不可约的充分条件，而,非必要条件,注意,也就是说，如果一个整系数多项式,不满足,Eisenstein,判别法条件，则它可能是可约的，,也可能是不
6、可约的,有些整系数多项式 不能直接用,Eisenstein,判别法来判断是其是否可约，此时可考虑用适当的,代换使满足,Eisenstein,判别法条件，从而来判定原多项式,不可约,1.9 有理系数多项式,例3证明：在 上不可约,证：（令 即可）,(可见存在任意次数的不可约有理系数多项式),例4证明：在 上不可约,取,证：,作变换,则,在上不可约，,所以 在上不可约,由,Eisenstein,判别法知，,1.9 有理系数多项式,例5判断,令,则 为整系数多项式,但,（为素数）在 上是否可约,解：,在 上不可约，,从而 在 上不可约,1.9 有理系数多项式,对于许多 上的多项式来说，作适当线性代换后,再用,Eisenstein,判别法判定它是否可约是一个较好的,多项式无论作怎样的代换都不能,使 满足爱森斯坦因判别法的条件，,即找不到相应的素数,说明,：,办法，但未必总是凑效的也就是说，存在 上的,如，,1.9 有理系数多项式,
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