云南省曲靖市第二中学2025年高二数学第一学期期末检测试题含解析.doc

云南省曲靖市第二中学2025年高二数学第一学期期末检测试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．刘老师在课堂中与学生探究某个圆时，有四位同学分别给出了一个结论.
甲：该圆经过点.
乙：该圆半径为.
丙：该圆的圆心为.
丁：该圆经过点，
如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（）
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
2．在等差数列中，其前项和为.若，是方程的两个根，那么的值为（ ）
A.44 B.
C.66 D.
3．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的m的值是（）

A.-1 B.0
C.0.1 D.1
4．已知命题：，；命题：在中，若，则，则下列命题为真命题的是（）
A. B.
C. D.
5．已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（ ）
A. B.
C. D.
6．已知直线经过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点，若满足，则直线的方程为（）
A. B.
C. D.
7．设实数x，y满足，则目标函数的最大值是（）
A. B.
C.16 D.32
8．将函数图象上所有点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（）
A. B.
C. D.
9．已知向量，，则等于（）
A. B.
C. D.
10．已知空间四边形，其对角线、，、分别是边、的中点，点在线段上，且使，用向量，表示向量 是　　
A. B.
C. D.
11．抛物线的焦点为F，A，B是拋物线上两点，若，若AB的中点到准线的距离为3，则AF的中点到准线的距离为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
12．数列满足，且，则的值为（）
A.2 B.1
C. D.-1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．直线与两坐标轴相交于，两点，则线段的垂直平分线的方程为___________.
14．已知数列满足，，则_________.
15．已知圆锥的高为，体积为，则以该圆锥的母线为半径的球的表面积为______________.
16．阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上动点P到两定点A，B的距离之比满足(且，t为常数)，则点的轨迹为圆．已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，则P点的轨迹为圆，该圆方程为_________；过点的直线交圆于两点，且，则_________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知是等差数列，其n前项和为，已知
（1）求数列的通项公式：
（2）设，求数列的前n项和
18．（12分）在平面直角坐标系中，已知双曲线C的焦点为、，实轴长为.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过点的直线l与曲线C交于M，N两点，且Q恰好为线段的中点，求直线l的方程.
19．（12分）已知抛物线：的焦点到顶点的距离为.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知过点的直线交抛物线于不同的两点，，为坐标原点，设直线，的斜率分别为，，求的值.
20．（12分）已知的展开式中前三项的二项式系数之和为46，
（1）求n；
（2）求展开式中系数最大的项
21．（12分）已知函数，，其中为自然对数的底数.
（1）若为的极值点，求的单调区间和最大值；
（2）是否存在实数，使得的最大值是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
22．（10分）记是等差数列的前项和，若.
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的的最小值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】分别假设甲、乙、丙、丁是错误的，看能否推出矛盾，进而推导出答案.
【详解】假设甲的结论错误，根据丙和丁的结论，该圆的半径为6，与乙的结论矛盾；假设乙的结论错误，圆心到点的距离与圆心到点的距离不相等，不成立；假设丙的结论错误﹐点到点的距离大于，不成立；假设丁的结论错误，圆心到点的距离等于，成立.
故选：D
2、D
【解析】由，是方程的两个根，利用韦达定理可知与的和，根据等差数列的性质可得与的和等于，即可求出的值，然后再利用等差数列的性质可知等于的11倍，把的值代入即可求出的值.
【详解】因为，是方程的两个根，所以，
而，所以，
则,
故选：.
3、B
【解析】计算后，根据判断框直接判断即可得解.
【详解】输入，计算，
判断为否，计算，
输出.
故选：B.
4、C
【解析】分别求得的真假性，从而确定正确答案.
【详解】对于，由于，所以为假命题，为真命题.
对于，在三角形中，，由正弦定理得，所以为真命题，为假命题.
所以为真命题，、、为假命题.
故选：C
5、B
【解析】首先由点的坐标满足圆的方程来确定点在圆上，然后求出过点的圆的切线方程，最后由两直线的垂直关系转化为斜率关系求解.
【详解】由题知，圆的圆心，半径.
因为，所以点在圆上，
所以过点的圆的切线与直线垂直，
设切线的斜率，则有，
即，解得.
因为直线与切线垂直，
所以，解得.
故选：B.
6、C
【解析】求出抛物线的焦点，设出直线方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和向量坐标表示，解得，即可得出直线的方程.
【详解】解：抛物线的焦点，
设直线为，
则，整理得，
则，.
由可得，
代入上式即可得，
所以，整理得：.
故选：C.
【点睛】本题考查直线和抛物线的位置关系，主要考查韦达定理和向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题.
7、C
【解析】求的最大值即求的最大值，根据约束条件画出可行域，将目标函数看成直线，直线经过可行域内的点，将目标与直线的截距建立联系，然后得到何时目标值取得要求的最值，进而求得的最大值，最后求出的最大值.
【详解】要求的最大值即求的最大值.
根据实数，满足的条件作出可行域，如图.
将目标函数化为.
则表示直线在轴上的截距的相反数.
要求的最大值，即求直线在轴上的截距最小值.
如图当直线过点时，在轴上的截距最小值.
由，解得
所以的最大值为，则的最大值为16.
故选：C.

8、A
【解析】根据三角函数图象的变换，由逆向变换即可求解.
【详解】由已知的函数逆向变换，
第一步，向左平移个单位长度，得到的图象；
第二步，图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，即的图象.
故.
故选：A
9、C
【解析】根据题意，结合空间向量的坐标运算，即可求解.
【详解】由，，得，因此.
故选：C.
10、C
【解析】根据所给的图形和一组基底，从起点出发，把不是基底中的向量，用是基底的向量来表示，就可以得到结论
【详解】解：

故选：

【点睛】本题考查向量的基本定理及其意义，解题时注意方法，即从要表示的向量的起点出发，沿着空间图形的棱走到终点，若出现不是基底中的向量的情况，再重复这个过程，属于基础题
11、C
【解析】结合抛物线的定义求得，由此求得线段的中点到准线的距离
【详解】抛物线方程为，则，
由于中点到准线的距离为3，结合抛物线的定义可知，
即，
所以线段的中点到准线的距离为.
故选：C
12、D
【解析】根据数列的递推关系式，求得数列的周期性，结合周期性得到，即可求解.
【详解】解：由题意，数列满足，且，
可得，
可得数列是以三项为周期的周期数列，
所以.
故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】由直线的方程求出直线的斜率以及，两点坐标，进而可得线段的垂直平分线的斜率以及线段的中点坐标，利用点斜式即可求解.
【详解】由直线可得，
所以直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为，
令可得；令可得；即，，
所以线段的中点坐标为，
所以线段的垂直平分线的方程为，
整理得.
故答案为：
14、
【解析】由已知可知即数列是首项为1，公差为1的等差数列，进而可求得数列的通项公式，即可求.
【详解】由题意知：，即，而，
∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，有，
∴，则.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：由递推关系求数列的通项，进而得到的通项公式写出项.
15、
【解析】利用圆锥体积公式可求得圆锥底面半径，利用勾股定理可得母线长；根据球的表面积公式可求得结果.
【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，
圆锥体积，，，
以为半径的球的表面积.
故答案为：.
16、 ①. ②.
【解析】设，根据可得圆的方程，利用垂径定理可求.
【详解】设，则，整理得到，
即.
因为，故为的中点，过圆心作的垂线，垂足为，
则为的中点，则，故，
解得，
故答案为：，.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）.
【解析】（1）利用等差数列的基本量，结合已知条件，列出方程组，求得首项和公差，即可写出通项公式；
（2）根据（1）中所求，结合裂项求和法，即可求得.
【小问1详解】
因为是等差数列，其n前项和为，已知，设其公差为，
故可得：，，解得，
又，故.
【小问2详解】
由（1）知，，又，
故.
即.
18、（1）（2）.
【解析】（1）根据条件，结合双曲线定义即可求得双曲线的标准方程.
（2）当斜率不存在时，不符合题意；当斜率存在时，设出直线方程，联立双曲线，变形后由中点坐标公式可求得斜率，即可求得直线方程.
【详解】（1）根据题意，焦点在轴上，且，所以，
双曲线的标准方程为C：.
（2）过点的直线l与曲线C交于M，N两点，且Q恰好为线段的中点，
当直线斜率不存在时，直线方程为，则由双曲线对称性可知线段的中点在轴上，所以不满足题意；
当斜率存在时，设直线方程为，设，
则，化简可得，
因为有两个交点，所以
化简可得恒成立，
所以，
因为恰好为线段的中点，则，
化简可得，
所以直线方程为，即.
【点睛】本题考查根据双曲线定义求双曲线标准方程，直线与双曲线的位置关系，由中点坐标求直线方程，属于中档题.
19、（1）
（2）
【解析】（1）由抛物线的几何性质有焦点到顶点的距离为，从而即可求解；
（2）当直线的斜率不存在时，不符合题意；当直线的斜率存在时，设的方程为，，，联立抛物线的方程，由韦达定理及两点间的斜率公式即可求解.
【小问1详解】
解：依题意，，解得，
∴抛物线的方程为；
【小问2详解】
解：当直线的斜率不存在时，直线与抛物线仅有一个交点，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设的方程为，，，
由消去可得，
∵直线交抛物线于不同的两点，
∴，由韦达定理得，
∴.

20、（1）9（2）
【解析】（1）根据要求列出方程，求出的值；（2）求出二项式展开式的通项，列出不等式组，求出的取值范围，从而求出，得到系数最大项.
【小问1详解】
由题意得：，解得：或，因为，所以（舍去），从而
【小问2详解】
二项式的展开式通项为：，则系数为，要求其最大值，则只要满足，即，解得：，因为，所以，所以系数最大项为
21、（1）单调增区间是，单调减区间是；最大值为；（2）存在，.
【解析】（1）利用为的极值点求得，进而可得函数的单调区间和最大值；
（2）对导函数，分与进行讨论，得函数的单调性进而求得最值，再由最大值是求出的值.
【详解】解：.（1）∵，，
∴，由，得.∴，
∴，，，，
∴的单调增区间是，单调减区间是；
的极大值为；也即的最大值为.
（2）解：∵，∴，
①当时，单调递增，
得的最大值是，解得，舍去；
②时，由，即，
当，即时，
∴时，；时，；
∴的单调增区间是，单调减区间是，
又在上的最大值为，∴，∴；
当，即时，在单调递增，
∴的最大值是，解得，舍去；
综上：存在符合题意，此时.
【点睛】本题主要考查了函数的导数在求解函数的单调性及求解函数的最值中的应用，还考查了函数的最值求解与分类讨论的应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的条件.
22、（1）
（2）4
【解析】（1）根据题意得，解方程得，进而得通项公式；
（2）由题知，进而解不等式得或，再根据即可得答案.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，由得=0,
由题意知，，解得，所以d=2
所以.
小问2详解】
解：由（1）可得，
由可得，即，解得或，
因为，
所以，正整数的最小值为.