福建省闽侯第二中学五校教学联合体2026届高二数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析.doc

福建省闽侯第二中学五校教学联合体2026届高二数学第一学期期末达标检测模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在下列四条抛物线中，焦点到准线的距离为1的是（）
A. B.
C. D.
2．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆C相交P，Q两点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
3．曲线与曲线的（ ）
A.实轴长相等 B.虚轴长相等
C.焦距相等 D.渐进线相同
4．设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A.4 B.8
C.16 D.32
5．甲、乙两组数的数据如茎叶图所示，则甲、乙的平均数、方差、极差及中位数相同的是（）

A.极差 B.方差
C.平均数 D.中位数
6．若双曲线的两个焦点为，点是上的一点，且，则双曲线的渐近线与轴的夹角的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7．过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于A、C与B、D，则四边形ABCD面积最小值为（ ）
A B.
C. D.
8．若公差不为0的等差数列的前n项和是，，且，，为等比数列，则使成立的最大n是（）
A.6 B.10
C.11 D.12
9．在数列中，若，，则（）
A.16 B.32
C.64 D.128
10．已知双曲线，则双曲线M的渐近线方程是（ ）
A. B.
C. D.
11．若不等式在上有解，则的最小值是（ ）
A.0 B.-2
C. D.
12．△ABC的两个顶点坐标A（-4，0），B（4，0），它的周长是18，则顶点C的轨迹方程是（ ）
A. B.（y≠0）
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数极值点的个数是______
14．如图，用四种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法的种数为______（用数字作答）

15．双曲线的离心率为__________________.
16．双曲线离心率__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）求在的最大值.
18．（12分）已知定点，动点满足，设点的轨迹为.
（1）求轨迹的方程；
（2）若点分别是圆和轨迹上的点，求两点间的最大距离.
19．（12分）已知椭圆M：的离心率为，左顶点A到左焦点F的距离为1，椭圆M上一点B位于第一象限，点B与点C关于原点对称，直线CF与椭圆M的另一交点为D

（1）求椭圆M的标准方程；
（2）设直线AD的斜率为，直线AB的斜率为．求证：为定值
20．（12分）已知椭圆：过点，且离心率
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设的左、右焦点分别为，，过点作直线与椭圆交于，两点，，求的面积
21．（12分）已知函数在其定义域内有两个不同的极值点
（1）求a的取值范围；
（2）设的两个极值点分别为，证明：
22．10分）在三棱柱中，侧面正方形的中心为点平面，且，点满足

（1）若平面，求的值；
（2）求点到平面的距离；
（3）若平面与平面所成角的正弦值为，求的值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】由题意可知，然后分析判断即可
【详解】由题意知，即可满足题意，故A，B，C错误，D正确.
故选：D
2、B
【解析】设，由椭圆的定义及，结合勾股定理求参数m，进而由勾股定理构造椭圆参数的齐次方程求离心率.
【详解】设，椭圆的焦距为，则，
由，有，解得，
所以，故得：
故选：B.
3、D
【解析】将曲线化为标准方程后即可求解.
【详解】化为标准方程为，由于，则两曲线实轴长、虚轴长、焦距均不相等，而渐近线方程同为.
故选：
4、B
【解析】因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.
【详解】
双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限
联立，解得
故
联立，解得
故

面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
5、C
【解析】根据茎叶图依次计算甲和乙的平均数、方差、中位数和极差即可得到结果.
【详解】甲的平均数为：；乙的平均数为：；
甲和乙的平均数相同；
甲的方差为：；
乙的方差为：；
甲和乙的方差不相同；
甲的极差为：；乙的极差为：；甲和乙的极差不相同；
甲的中位数为：；乙的中位数为：；甲和乙的中位数不相同.
故选：C.
6、B
【解析】由条件结合双曲线的定义可得，然后可得，然后可求出的范围即可.
【详解】由双曲线的定义可得，结合可得

当点不为双曲线的顶点时，可得，即
当点为双曲线的顶点时，可得，即
所以，所以，所以
所以双曲线的渐近线与轴的夹角的取值范围是
故选：B
7、A
【解析】直线AC、BD与坐标轴重合时求出四边形面积，与坐标轴不重合求出四边形ABCD面积最小值，再比较大小即可作答.
【详解】因四边形ABCD的两条对角线互相垂直，由椭圆性质知，四边形ABCD的四个顶点为椭圆顶点时，而，
四边形ABCD的面积，
当直线AC斜率存在且不0时，设其方程为，由消去y得：，
设，则，
，
直线BD方程为，同理得：，
则有，
当且仅当，即或时取“=”，而，
所以四边形ABCD面积最小值为.
故选A
8、C
【解析】设等差数列的公差为d，根据，且，，为等比数列，求得首项和公差，再利用前n项和公式求解.
【详解】设等差数列的公差为d，
因为，且，，为等比数列，
所以，
解得或（舍去），
则，
所以，
解得，
所以使成立的最大n是11，
故选：C
9、C
【解析】根据题意，为等比数列，用基本量求解即可.
【详解】因为，故是首项为2，公比为2的等比数列，
故.
故选：C
10、C
【解析】由双曲线的方程直接求出见解析即可.
【详解】由双曲线，则其渐近线方程为：
故选：C
11、D
【解析】将题设条件转化为在上有解,然后求出的最大值即可得解.
详解】不等式在上有解,
即为在上有解,
设,则在上单调递减,
所以,
所以,即,
故选:D.
【点睛】本题主要考查二次不等式能成立问题,可以选择分离参数转化为最值问题,也可以进行分情况讨论.
12、D
【解析】根据三角形的周长得出，再由椭圆的定义得顶点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，去掉A，B，C共线的情况，可求得顶点C的轨迹方程.
【详解】因为，所以，
所以顶点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，去掉A，B，C共线的情况，即，
所以顶点C的轨迹方程是 ，
故选：D.
【点睛】本题考查椭圆的定义，由定义求得动点的轨迹方程，求解时，注意去掉不满足的点，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、0
【解析】通过导数判断函数的单调性即可得极值点的情况.
【详解】因为，，
所以在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以函数的极值点的个数是0，
故答案为：0.
14、48
【解析】由已知按区域分四步，然后给，，，区域分步选择颜色，由此即可求解
【详解】解：由已知按区域分四步：第一步区域有4种选择，第二步区域有3种选择，
第三步区域有2种选择，第四步区域也有2种选择，
则由分步计数原理可得共有种，
故答案为：48
15、
【解析】根据双曲线方程确定a,b,c的值，求出离心率.
【详解】由双曲线可得：，
故，
故答案为：
16、
【解析】由已知得到a，b，再利用及即可得到答案.
【详解】由已知，可得，
所以，
所以.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）利用两角和的余弦公式以及辅助角公式可得，再由正弦函数单调区间，整体代入即可求解.
（2）根据三角函数的单调性即可求解.
【小问1详解】

，
，
解得，
所以函数的单调递增区间为
【小问2详解】
由（1），
解得
函数的单调递减区间为，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
，，所以函数的最大值为.
18、（1）
2）
【解析】（1）设动点,根据条件列出方程，化简求解即可；
（2）设，求出圆心到轨迹上点的距离，配方求最值即可得解.
【小问1详解】
设动点，
则，，，
又，
∴，
化简得，即，
∴动点的轨迹E的方程为.
【小问2详解】
设，
圆心到轨迹E上的点的距离

∴当时，，
∴.
19、（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）根据椭圆离心率公式，结合椭圆的性质进行求解即可；
（2）设出直线CF的方程与椭圆方程联立，根据斜率公式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.
【小问1详解】
（1），，∴，，，
∴；
【小问2详解】
设，，则，CF：
联立
∴，∴

【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.
20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）根据已知点，离心率以及列方程组，解方程组可得的值即可求解；
（Ⅱ）设，，直线的方程为，联立直线与椭圆方程消去，可得，，利用向量数量积的坐标表示列方程可得的值，计算，利用面积公式计算即可求解.
【详解】（Ⅰ）将代入椭圆方程可得，即①
因为离心率，即，②
由①②解得，，
故椭圆的标准方程为
（Ⅱ）由题意可得，，设直线的方程为
将直线的方程代入中，得，
设，，则，
所以，，
所以

，
由，解得，
所以，，
因此
21、（1）；
（2证明见解析.
【解析】(1)对函数求导，把问题转化为导函数值为0的方程有两个正根，再构造函数求解作答.
(2)将所证不等式等价转化，构造函数，利用导数探讨其单调性作答.
【小问1详解】
函数的定义域为，求导得：，
依题意，函数在上有两个不同极值点，于是得有两个不等的正根，
令，，则，当时，，当时，，
于是得在上单调递增，在上单调递减，，
因，恒成立，即当时，的值从递减到0(不能取0)，又，
有两个不等的正根等价于直线与函数的图象有两个不同的公共点，如图，

因此有，
所以a取值范围是.
【小问2详解】
由(1)知分别是方程的两个不等的正根，，
即，作差得，则有，
原不等式，
令，则，于是得，
设，则，
因此，在单调递增，则有，即成立，
所以.
【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.
22、（1）；
（2）；
（3）或.
【解析】(1)连接ME，证明即可计算作答.
(2)以为原点，的方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，借助空间向量计算点到平面的距离即可.
(3)由(2)中空间直角坐标系，借助空间向量求平面与平面所成角的余弦即可计算作答.
【小问1详解】
在三棱柱中，因，即点在上，连接ME，如图，

因平面面，面面，则有，
而为中点，于是得为的中点，
所以.
【小问2详解】
在三棱柱中，面面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，
又为正方形，即，而平面，
以为原点，的方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，如图，

依题意，，则，
，
设平面的法向量为，则，令，得，
又，则到平面的距离，
所以点到平面的距离为.
【小问3详解】
因，则，，
设面的法向量为，则，令，得，
于是得，
而平面与平面所成角的正弦值为，则，即，
整理得，解得或，
所以的值是或.
【点睛】易错点睛：空间向量求二面角时，一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算.