2025-2026学年新疆木垒县中学数学高一第一学期期末监测试题含解析.doc

2025-2026学年新疆木垒县中学数学高一第一学期期末监测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数是定义在上的奇函数，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
2．若定义域为R的函数满足，且，，有，则的解集为（　　）
A. B.
C. D.
3．计算，其结果是
A. B.
C. D.
4．如图中的图象所表示的函数的解析式为（）

A.
B
C.
D.
5．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）

A. B.
C. D.
6．三棱柱中，侧棱垂直于底面，底面三角形是正三角形，是的中点，则下列叙述正确的是

①与是异面直线；
②与异面直线，且
③面
④
A.② B.①③
C.①④ D.②④
7．函数的零点个数为（ ）
A. B.
C. D.
8．空间直角坐标系中，已知点，则线段的中点坐标为
A. B.
C. D.
9．已知向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是
A. B.
C. D.
10．在下列函数中，最小值为2的是（ ）
A.（且） B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．的单调增区间为________.
12．若，则______.
13．在中，，，与的夹角为，则_____
14．在三棱锥中，，，两两垂直，，，三棱锥的侧面积为13，则该三棱锥外接球的表面积为______.
15．边长为2的菱形中，，将沿折起，使得平面平面，则二面角的余弦值为__________
16．已知过点的直线与轴，轴在第二象限围成的三角形的面积为3，则直线的方程为__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．化简求值：
（1）已知，求的值；
（2）
18．设函数，.
（1）判断函数的单调性，并用定义证明；
（2）若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围.
19．已知
（1）化简；
（2）若，求的值
20．已知函数，.
（1）求函数图象的对称轴的方程；
（2）当时，求函数的值域；
（3）设，存在集合，当且仅当实数，且在时，不等式恒成立．若在（2）的条件下，恒有（其中），求实数的取值范围.
21．已知函数是偶函数.
（1）求实数的值；
（2）当时，函数存在零点，求实数的取值范围；
（3）设函数，若函数与的图像只有一个公共点，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】由得函数的周期性，由周期性变形自变量的值，最后由奇函数性质求得值
【详解】∵是奇函数，∴，
又，∴是周期函数，周期为4
∴
故选：C
2、A
【解析】根据已知条件易得关于直线x＝2对称且在上递减，再应用单调性、对称性求解不等式即可.
【详解】由题设知：关于直线x＝2对称且在上单调递减
由，得：，
所以，解得
故选：A
3、B
【解析】原式
故选
4、B
【解析】分段求解：分别把0≤x≤1及1≤x≤2时解析式求出即可
【详解】当0≤x≤1时，设f（x）=kx，由图象过点（1，），得k=，所以此时f（x）=x；
当1≤x≤2时，设f（x）=mx+n，由图象过点（1，），（2，0），得，解得所以此时f（x）=．函数表达式可转化为：y＝|x－1|(0≤x≤2)
故答案为B
【点睛】本题考查函数解析式的求解问题，本题根据图象可知该函数为分段函数，分两段用待定系数法求得
5、D
【解析】根据三视图还原该几何体，然后可算出答案.
【详解】
由三视图可知该几何体是半径为1的球和底面半径为1，高为3的圆柱的组合体，
故其表面积为球的表面积与圆柱的表面积之和，即
故选：D
6、A
【解析】对于①，都在平面内，故错误；对于②，为在两个平行平面中且不平行的两条直线，底面三角形是正三角形，是中点，故与是异面直线，且，故正确；对于③，上底面是一个正三角形，不可能存在平面，故错误；对于④，所在的平面与平面相交，且与交线有公共点，故错误.
故选A
7、B
【解析】当时，令，故，符合；当时，令，故，符合，所以的零点有2个，选B.
8、A
【解析】点，
由中点坐标公式得中得为：，即.
故选A.
9、B
【解析】因为与夹角为锐角，所以cos<,>>0，且与不共线，由得，k>－2且，故选B
考点：本题主要考查平面向量的坐标运算，向量夹角公式
点评：基础题，由夹角为锐角，可得到k得到不等式，应注意夹角为0°时，夹角的余弦值也大于0.
10、C
【解析】根据基本不等式的使用条件，对四个选项分别进行判断，得到答案.
【详解】选项A，当时，，所以最小值为不正确；
选项B，因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，而，所以等号不成立，所以不正确；
选项C， 因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以正确；
选项D，因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，而，所以不正确.
故选：C.
【点睛】本题考查基本不等式求和的最小值，基本不等式的使用条件，属于简单题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、
【解析】求出给定函数的定义域，由对数函数、正弦函数单调性结合复合函数单调性求解作答.
【详解】依题意，，则，解得，
函数中，由得，
即函数在上单调递增，
当时，函数在上单调递增，
又函数在上单调递增，
所以函数的单调增区间为.
故答案为：
【点睛】关键点睛：函数的单调区间是定义域的子区间，求函数的单调区间，正确求出函数的定义域是解决问题的关键.
12、
【解析】根据指对互化，指数幂的运算性质，以及指数函数的单调性即可解出
【详解】由得，即，解得
故答案为：
13、
【解析】利用平方运算可将问题转化为数量积和模长的运算，代入求得，开方得到结果.
【详解】

【点睛】本题考查向量模长的求解问题，关键是能够通过平方运算将问题转变为向量的数量积和模长的运算，属于常考题型.
14、
【解析】根据侧面积计算得到，再计算半径为，代入表面积公式得到答案.
【详解】三棱锥的侧面积为，所以
故该三棱锥外接球的半径为：，球的表面积为.
故答案为：
【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
15、
【解析】作，则为中点
由题意得面
作，连
则为二面角的平面角
故，，

点睛：本题考查了由平面图形经过折叠得到立体图形，并计算二面角的余弦值，本题关键在于先找出二面角的平面角，依据定义先找出平面角，然后根据各长度，计算得结果
16、
【解析】设直线l的方程是y=k（x-3）+4，
它在x轴、y轴上的截距分别是﹣+3，-3k+4，
且﹣+3<0, -3k+4>0
由已知，得（-3k+4）（﹣3）=6，
解得k1=或k2=
所以直线l的方程为：
故答案为

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）先用诱导公式化简，再用同角三角函数的平方关系求解；
（2）先用诱导公式化简，再代入特殊三角函数值计算即可.
【小问1详解】

；
【小问2详解】

18、（1）在上为增函数，证明见解析；（2）
【解析】（1）任取且，作差，整理计算判断出正负即可；
（2）将关于x的方程在上有解转化为在上有解，进一步转化为在上的值域问题，求出值域即可.
【详解】解：（1）任取且，

，
因为，所以，，
所以，
所以，所以在上为增函数；
（2）由题意，得在上有解，
即在上有解.
由（1）知在上为增函数，
所以，所以a的取值范围是.
【点睛】方法点睛：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.
19、（1）
（2）.
【解析】（1）根据诱导公式及同角关系式化简即得；
（2）根据可知，从而求得结果.
【小问1详解】
由诱导公式可得：
；
【小问2详解】
由于，有，得，
，可得
故值为.
20、（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）利用两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的对称性得解；
（2）令，换元，化函数为的二次函数，求出，由此可值域；
（3）由题意利用分离参数法、换元法、基本不等式先求出集合，根据（2）中范围得出的范围，再由可得的范围
【详解】解：（1）

令，得
所以函数图象的对称轴方程为：
（2）由（1）知，，
当时，，
∴，，即
令，
则，，
由
得，
∴当时，有最小值，
当时，有最大值1，
所以当时，函数的值域为
（3）当，不等式恒成立，
因为时，，，所以，
令，则，
所以
又，
当且仅当即时取等号
而，所以，即，所以
又由（2）知，，
当时，，
所以，要使恒成立，只须使，
故的取值范围是
【点睛】关键点点睛：本题考查两角和的正弦公式，三角函数的对称性，换元法求三角函数的值域，考查不等式恒成立问题，在同时出现和的函数中常常设换元转化为二次函数，再结合二次函数性质求解．不等式恒成立问题仍然采用分离参数转化为求函数的最值
21、（1）
（2）
（3）
【解析】（1）函数是偶函数, 所以得出值检验即可；
（2），因为时，存在零点，即关于的方程有解，求出的值域即可；
（3）因为函数与的图像只有一个公共点，所以关于的方程有且只有一个解，所以，换元，研究二次函数图象及性质即可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
解：因为是上偶函数，
所以，即
解得，
此时，
则是偶函数，满足题意，
所以.
【小问2详解】
解：因为，所以
因为时，存在零点，
即关于的方程有解，
令，则
因为，所以，所以，
所以，实数的取值范围是.
【小问3详解】
因为函数与的图像只有一个公共点，
所以关于的方程有且只有一个解，
所以
令，得…（*），
记，
①当时，函数图像开口向上，又因为图像恒过点，方程（*）有一正一负两实根，所以符合题意；
②当时，因为，所以只需，
解得，
方程（*）有两个相等的正实根，所以满足题意，
综上，的取值范围是.