宁夏中卫市第一中学2025年数学高二第一学期期末联考试题含解析.doc

宁夏中卫市第一中学2025年数学高二第一学期期末联考试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列中，，，是的前n项和则（）
A. B.
C. D.
2．已知等比数列的各项均为正数，公比，且满足，则（ ）
A.8 B.4
C.2 D.1
3．已知数列满足，且，则（）
A.2 B.3
C.5 D.8
4．数列是等比数列，是其前n项之积，若，则的值是（ ）
A.1024 B.256
C.2 D.512
5．已知椭圆：的离心率为，则实数（）
A. B.
C. D.
6．展开式中第3项的二项式系数为（）
A.6 B.
C.24 D.
7．已知曲线，下列命题错误的是（ ）
A.若，则是椭圆，其焦点在轴上
B.若，则是圆，其半径为
C.若，则是双曲线，其渐近线方程为
D.若，，为上任意一点，，为曲线的两个焦点，则
8．某公司门前有一排9个车位的停车场，从左往右数第三个，第七个车位分别停着A车和B车，同时进来C，D两车．在C，D不相邻的情况下，C和D至少有一辆与A和B车相邻的概率是（）
A. B.
C. D.
9．已知直线与直线平行，则实数a的值为（ ）
A.1 B.
C.1或 D.
10．某口罩生产商为了检验产品质量，从总体编号为001，002，003，…，499，500的500盒口罩中，利用下面的随机数表选取10个样本进行抽检，选取方法是从下面的随机数表第1行第5列的数字开始由左向右读取，则选出的第3个样本的编号为（
16 00 11 66 14 90 84 45 11 65 73 88 05 90 52 27 41 14 86 22 98
12 22 08 07 52 74 95 80 35 69 68 32 50 61 28 47 39 75 34 58 62
A.148 B.116
C.222 D.325
11．过椭圆右焦点作x轴的垂线，并交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点.若以线段AB为直径的圆与有2个公共点，则C的离心率e的取值范围是（）
A. B.
C. D.
12．等差数列的通项公式，数列，其前项和为，则等于（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．用1，2，3，4排成的无重复数字的四位数中，其中1和2不能相邻的四位数的个数为___________（用数字作答）.
14．函数的最小值为______.
15．过点与直线平行的直线的方程是________.
16．已知等比数列的前n和为，若成等差数列，且，，则的值为_______________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知的展开式中二项式系数和为16
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）设展开式中的常数项为p，展开式中所有项系数的和为q，求
18．（12分）已知椭圆，其上顶点与左右焦点围成的是面积为的正三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点的直线(的斜率存在)交椭圆于两点，弦的垂直平分线交轴于点，问：是否是定值？若是，求出定值：若不是，说明理由.
19．（12分）已知命题实数满足成立，命题方程表示焦点在轴上的椭圆，若命题为真，命题或为真，求实数的取值范围
20．（12分）为了了解高二段1000名学生一周课外活动情况，随机抽取了若干学生的一周课外活动时间，时间全部介于10分钟与110分钟之间，将课外活动时间按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右前3个组的频率之比为3∶8∶19，且第二组的频数为8

（1）求第一组数据的频率并计算调查中随机抽取了多少名学生的一周课外活动时间；
（2）求这组数据的平均数
21．（12分）已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率是1的直线l，使l被圆C截得的弦AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由.
22．（10分）如图，在直三棱柱中，，，与交于点，为的中点，

（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】由，得到为递增数列，又由，得到，化简，即可求解.
【详解】解：由，得，
又，所以，所以，即，所以数列为递增数列，
所以，得，即，
又由是的前项和，则

.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题考查数列求和问题，关键在于由已知条件得出，运用裂项相消求和法.
2、A
【解析】根据是等比数列，则通项为，然后根据条件可解出，进而求得
【详解】由为等比数列，不妨设首项为
由，可得：
又，则有：
则
故选：A
3、D
【解析】使用递推公式逐个求解，直到求出即可.
【详解】因为
所以，，，.
故选：D
4、D
解析】设数列的公比为q，由已知建立方程求得q，再利用等比数列的通项公式可求得答案.
【详解】解：因为数列是等比数列，是其前n项之积， ，设数列的公比为q，
所以，解得，
所以，
故选：D.
5、C
【解析】根据题意，先求得的值，代入离心率公式，即可得答案.
【详解】因为，所以
所以，解得.
故选：C
6、A
【解析】根据二项展开式的通项公式，即可求解.
【详解】由题意，二项式展开式中第3项，
所以展开式中第3项的二项式系数为.
故选：A.
7、D
【解析】根据椭圆和双曲线的性质以及定义逐一判断即可.
【详解】曲线，若，则是椭圆，其焦点在轴上，故A正确；
若则，即是圆，半径为，故B正确；
若，则是双曲线，当，则渐近线方程为，当，则渐近线方程为，故C正确；
若，，则是双曲线，其焦点在轴上，由双曲线的定义可知，，故D错误；
故选：D
8、B
【解析】先求出基本事件总数，和至少有一辆与和车相邻的对立事件是和都不与和车相邻，由此能求出和至少有一辆与和车相邻的概率
【详解】解：某公司门前有一排9个车位的停车场，从左往右数第三个，第七个车位分别停着车和车，同时进来，两车，在，不相邻的条件下，
基本事件总数，
和至少有一辆与和车相邻的对立事件是和都不与和车相邻，
和至少有一辆与和车相邻的概率：
故选：B
9、A
【解析】根据两直线平行的条件列方程，化简求得，检验后确定正确答案.
【详解】由于直线与直线平行，
所以，或，
当时，两直线方程都为，即两直线重合，所以不符合题意.
经检验可知符合题意.
故选：A
10、A
【解析】按随机数表法逐个读取数字即可得到答案.
【详解】根据随机数表法读取的数字分别为：116，614（舍），908（舍），445，116（舍），
573（舍），880（舍），590（舍），522（舍），741（舍），148，
故选出的第3个样本的编号为148.
故选：A.
11、A
【解析】求得以为直径的圆的圆心和半径，求得直线的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列不等式，化简后求得椭圆离心率的取值范围.
【详解】椭圆的左焦点，右焦点，上顶点，
，
所以为直径的圆的圆心为，半径为.
直线的方程为，
由于以线段为直径的圆与相交，
所以，，
，
，
，
所以椭圆的离心率的取值范围是.
故选：A
12、D
【解析】根据裂项求和法求得，再计算即可.
【详解】解：由题意得
=
=
==
所以.
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】利用插空法计算出正确答案.
【详解】先排，形成个空位，然后将排入，
所以符合题意的四位数的个数为.
故答案为：
14、1
【解析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.
【详解】由题设知：定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；
∴
故答案为：1.
15、
【解析】根据给定条件设出所求直线方程，利用待定系数法求解即得.
【详解】设与直线平行的直线的方程为，
而点在直线上，于是得，解得，
所以所求的直线的方程为.
故答案为：
16、107
【解析】根据等比数列和等差数列的通项公式，根据题意列方程可得，从而求出或，再根据，确定，进而求出，代入记得：.
【详解】由题意可设等比数列的公比为，首项为，
由成等差数列可得：
，代入可得：
，解得：或，
又因为，易知，
又因为，
，
所以，
，
故答案为：107.
【点睛】本题考查了等差中项和等比数列的通项公式，考查了和的关系，同时考查了计算能力，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）由二项式系数和的性质得出，再由性质求出展开式中二项式系数最大的项；
（2）由通项得出，利用赋值法得出，再求解
【小问1详解】
由题意可得，解得．，展开式中二项式系数最大的项为；
【小问2详解】
，其展开式的通项为
，令，得
∴常数项
令，可得展开式中所有项系数的和为，∴
18、（1）；（2）是定值，定值为4
【解析】（1）根据正三角形性质与面积可求得即可求得方程；
（2）当直线斜率不为0时，设其方程代入椭圆方程利用韦达定理求得两根关系式，进而求得的表达式，最后求比值即可；当直线斜率为0时直接求解即可
【详解】（1）为正三角形，，可得，
且，∴椭圆的方程为.
（2）分以下两种情况讨论：
①当直线斜率不为0时，设其方程为，且，
联立，消去得，
则，且，
∴弦的中点的坐标为，
则弦的垂直平分线为，
令，得，，
又
，
；
②当直线斜率为0时，则，，则.
综合①②得是定值且为4
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值
19、或
【解析】首先根据复数的乘方及复数模的计算公式求出命题为真时参数的取值范围，再根据椭圆的性质求出命题为真时参数的取值范围，依题意为假，为真，即可求出参数的取值范围；
【详解】解：因为，，，，所以，所以，所以为真时，
因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，所以，即为真时，所以为假时参数的取值范围为或，
因为命题为真，命题或为真，所以为假，为真，
或
20、（1）0.06，50名
（2）64（分钟）
【解析】（1）利用频率和为1可求解频率，再利用频率，频数，总数之间的关系可求解学生人数；
（2）平均数：频率分布直方图中每个小长方形的中点乘以对应的长方形面积之和；
【小问1详解】
设图中从左到右前3个组的频率分别为3x，8x，19x
依题意，得
所以．所以第一组数据的频率为，
设调查中随机抽取了n名学生的课外活动时间，则，得，
所以调查中随机抽取了50名学生的课外活动时间
小问2详解】
由题意，这组数据的平均数(分钟)
21、x-y-4=0或x-y+1="0."
【解析】假设存在，并设出直线方程y＝x＋b，然后代入圆的方程得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理得到根的关系，最后利用OA⊥OB即x1x2＋y1y2＝0，得到参数b的方程求解即可
试题解析：
设直线l的方程为y＝x＋b①
圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0．②
联立①②消去y，得
2x2＋2（b＋1）x＋b2＋4b－4＝0
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则有③
因为以AB为直径的圆经过原点，所以OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝0，
而y1y2＝（x1＋b）（x2＋b）＝x1x2＋b（x1＋x2）＋b2，所以2x1x2＋b（x1＋x2）＋b2＝0，
把③代入：b2＋4b－4－b（b＋1）＋b2＝0，
即b2＋3b－4＝0， 解得b＝1或b＝－4，
故直线l存在，方程是x－y＋1＝0，或x－y－4＝0
考点：存在性问题
【方法点睛】存在性问题，首先应假设存在，然后去求解．对本题来说具体是：设出直线方程y＝x＋b，然后分析几何性质得到OA⊥OB即得到关于参数b方程求解即可．解该类问题最容易出错的的地方是，忽视对参数范围的考虑，即直线方程与圆的方程联立求解后应得到，即求出的b值必须满足b的范围，否则无解
22、（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】（1）根据直棱柱的性质、平行四边形的性质，结合三角形中位线定理、线面平行的判定定理进行证明即可；
（2）根据直棱柱的性质、菱形的判定定理和性质，结合线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理进行证明即可.
【小问1详解】
在直三棱柱中，，
且四边形平行四边形，又，
则为的中点，又为的中点，
故，即：，且平面，平面，
所以平面；
【小问2详解】
在直三棱柱中，平面，平面，
则，且，，平面，
故平面，因为平面，所以，
又在平行四边形中，，
则四边形菱形，所以，且，
平面，故平面，因为平面，
所以平面平面.