安徽省六安市金安区第一中学2025-2026学年高二上数学期末统考试题含解析.doc

安徽省六安市金安区第一中学2025-2026学年高二上数学期末统考试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．向量，向量，若，则实数（）
A. B.1
C. D.
2．如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，圆锥PO的轴截面PAE是边长为2的等边三角形，是底面圆的内接正三角形．则（）

A. B.
C. D.
3．设等比数列的前项和为，若，，则（）
A.66 B.65
C.64 D.63
4．函数的定义域为，其导函数的图像如图所示，则函数极值点的个数为（）

A.2 B.3
C.4 D.5
5．设,则是的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6．若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（）
A B.
C. D.
7．已知双曲线的两个焦点为，，是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是（）
A. B.
C. D.
8．命题“，均有”的否定为（）
A.，均有 B.，使得
C.，使得 D.，均有
9．已知，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.充要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
10．已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为
A. B.
C. D.
11．已知，则a，b，c的大小关系为（）
A. B.
C. D.
12．若方程表示圆，则实数m的取值范围为（）
A B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．圆和圆的公切线的条数为______
14．从1，2，3，4，5中任取两个不同的数，其中一个作为对数的底数a，另一个作为对数的真数b.则的概率为______.
15．直线过抛物线的焦点F，且与C交于A，B两点，则___________.
16．已知等差数列的公差，等比数列的公比q为正整数，若，，且是正整数，则______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）为让“双减”工作落实到位，某中学积极响应上级号召，全面推进中小学生课后延时服务，推行课后服务“”模式，开展了内容丰富、形式多样、有利于学生身心成长的活动.该中学初一共有700名学生其中男生400名、女生300名.为让课后服务更受欢迎，该校准备推行体育类与艺术类两大类活动于2021年9月在初一学生中进行了问卷调查.
（1）调查结果显示：有的男学生和的女学生愿意参加体育类活动，其他男学生与女学生都不愿意参加体育类活动，请完成下边列联表.并判断是否有的把握认为愿意参加体育类活动与学生的性别相关？
愿意参加体育活动情况
性别
愿意参加体育类活动
不愿意参加体育类活动
合计
男学生

女学生

合计

（2）在开展了两个月活动课后，为了了解学生的活动课情况，在初一年级学生中按男女比例分层抽取7名学生调查情况，并从这7名学生中随机选择3名学生进行展示，用X表示选出进行展示的3名学生中女学生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.

0.100
0.050
0.025
0.010

2.706
3.841
5.024
6.635
参考公式：，其中.
18．（12分）如图1是一张长方形铁片，，，，分别是，中点，，分别在边，上，且，将它卷成一个圆柱的侧面图2，使与重合，与重合.

（1）求证：平面；
（2）求几何体的体积.
19．（12分）在等差数列{an}中，a3＋a4＝15，a2a5＝54，公差d<0.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)求数列的前n项和Sn的最大值及相应的n值
20．（12分）设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|2-a≤x≤1+2a}，其中a∈R.
（1）若“x∈A”是“x∈B”充分条件，求a的取值范围；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围.
21．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，PA=2AD=4，且PC=.点E在PC上.

（1）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（2）若E为PC的中点，求直线PC与平面AED所成的角的正弦值.
22．（10分）求下列函数导数：
（1）；
（2）；
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】由空间向量垂直的坐标表示列方程即可求解.
【详解】因为向量，向量，若，
则，解得：，
故选：C.
2、B
【解析】先求出，再利用向量的线性运算和数量积计算求解.
【详解】解：由题得, ,

故选：B

3、B
【解析】根据等比数列前项和的片段和性质求解即可.
【详解】解：由题知：，，
，
所以，，成等比数列，即5，15，成等比数列，
所以，解得.
故选：B.
4、C
【解析】根据给定的导函数的图象，结合函数的极值的定义，即可求解.
【详解】如图所示，设导函数的图象与轴的交点分别为，
根据函数的极值的定义可知在该点处的左右两侧的导数符号相反，
可得为函数的极大值点，为函数的极小值点，
所以函数极值点的个数为4个.
故选：C.

5、B
【解析】,，所以是必要不充分条件，故选B.
考点：1.指、对数函数的性质；2.充分条件与必要条件.
6、A
【解析】求得圆心到直线的距离，根据题意列出的不等关系式，即可求得的范围.
【详解】因为圆心到直线的距离，
故要满足题意，只需，解得.
故选：A.
7、A
【解析】由，可得进一步求出，由此得到，则该双曲线的方程可求
【详解】，
即，

则
．即
，
则该双曲线的方程是：
故选：A
【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的方程，常用待定系数法，先定式（根据已知确定焦点所在的坐标轴，设出曲线的方程），再定式（根据已知建立方程组解方程组得解）.
8、C
【解析】全称命题的否定是特称命题
【详解】根据全称命题的否定是特称命题，所以命题“，均有”的否定为
“，使得”
故选 ：C
9、B
【解析】求得中的取值范围，由此确定充分、必要条件.
【详解】，
，
所以“”是“”的充要条件.
故选：B
10、A
【解析】若△AF1B的周长为4,
由椭圆的定义可知,,
,,
，
所以方程为，故选A.
考点：椭圆方程及性质
11A
【解析】根据给定条件构造函数，再探讨其单调性并借助单调性判断作答.
【详解】令函数，求导得，当时，，
于是得在上单调递减，而，则，即，
所以，
故选：A
12、D
【解析】根据，解不等式即可求解.
【详解】由方程表示圆，
则，
解得.
所以实数m的取值范围为.
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、3
【解析】判断出两个圆的位置关系，由此确定公切线的条数.内含关系0条公切线，内切关系1条公切线，相交关系2条公切线，外切关系3条公切线，外离关系4条公切线。
【详解】由题知圆：的圆心，半径，
圆：的圆心，半径，
所以，，所以两圆外切，
所以两圆共有3条公切线.
故答案为：3
14、##
【解析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式以及对数的知识求得正确答案.
【详解】的所有可能取值为，
，共种，
满足的为，，共种，
所以的概率为.
故答案为：
15、8
【解析】由题意，求出，然后联立直线与抛物线方程，由韦达定理及即可求解.
【详解】解：因为抛物线的焦点坐标为，
又直线过抛物线的焦点F，
所以，抛物线的方程为，
由，得，所以，
所以.
故答案为：8.
16、
【解析】由已知等差、等比数列以及，，是正整数，可得，结合q为正整数，进而求.
【详解】由，，令，
其中m为正整数，有又为正整数，所以
当时，解得，当时，解得不是正整数，
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）详见解析；
（2）详见解析.
【解析】（1）根据初一男生数和女生数，结合有的男学生和的女学生，愿意参加体育类活动求解；计算的值，再与临界值表对照下结论；
（2）根据这7名学生中男生有4名，女生有3名，随机选择3名由抽到女学生的人数X可能为0,1,2,3，分别求得其概率，列出分布列，再求期望.
【小问1详解】
解：因为初一共有700名学生其中男生400名、女生300名，且有的男学生和的女学生，
所以愿意参加体育类活动的男生有300名，女生有200名，
则列联表如下：
愿意参加体育活动情况
性别
愿意参加体育类活动
不愿意参加体育类活动
合计
男学生
300
100
400
女学生
200
100
300
合计
500
200
700
，
所以有的把握认为愿意参加体育类活动与学生的性别相关；
【小问2详解】
这7名学生中男生有4名，女生有3名，随机选择3名学生进行展示，
抽到女学生的人数X可能为0,1,2,3，
所以，
,
所以随机变量X分布列如下：
X
0
1
2
3
p

18、（1）证明见解析.
（2）.
【解析】（1）根据线面垂直的性质和判定可得证；
（2）作圆柱的母线，由平面几何知识可得四边形为平行四边形，利用等体积法可求得，由几何体的体积，可求得答案.
【小问1详解】
证明：∵是直径，∴，
∵平面，平面，∴，
∵平面，平面，，
∴平面；
【小问2详解】
如图，作圆柱的母线，

则，且，
∴四边形是平行四边形，
∴，且 ①
又依题知，，，为底面圆的四等分点，
∴，且 ②
由①②知四边形为平行四边形，得，且，
∴，∵到面的距离为，
∴，
所以几何体的体积.
19、（1）；（2）当或11时，最大值为55.
【解析】（1）根据等差数列的通项公式得方程组，解这个方程组得公差和首项，从而得数列的通项公式n.
（2）等差数列的前项和是关于的二次式，将这个二次式配方即可得最大值.
【详解】（1）由题设，故（舍，此时）或.
故，故.
（2）由（1）可得，
因为，对称方程为，故当或时，取最大值，
此时最大值为.
20、（1）
（2）
【解析】（1）由“”是“”的充分条件，可得，从而可得关于的不等式组，解不等式组可得答案；
（2）“”是“”的必要条件，可得，然后分和两种情况求解即可
【小问1详解】
由题意得到A＝[1，5]，
由“x∈A”是“x∈B”的充分条件可得A⊆B，
则，解得，
故实数a的取值范围是.
【小问2详解】
由“x∈A”是“x∈B”的必要条件可得B⊆A，
当时，2-a＞1+2a，即a＜时，满足题意，
当时，即a≥时，则，
解得≤a≤1.
综上a≤1，
故实数a的取值范围是.
21、（1）证明见解析；
（2）
【解析】（1）根据题意可判断出ABCD是正方形，从而可得，再根据，由线面垂直的判定定理可得平面PAC，然后由面面垂直的判定定理即可证出；
（2）由、、两两垂直可建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出直线PC与平面AED所成的角的正弦值.
【小问1详解】
因为PA⊥底面ABCD，PA=2AD=4，PC=，所以，，即ABCD是正方形，所以，而PA⊥底面ABCD，所以，又，所以平面PAC，而平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC
【小问2详解】
由题可知、、两两垂直，建系如图，

，0，，，2，，，0，，，2，，，1，，
，，，，1，，，2，，
设平面的一个法向量为，则，，
即，取，0，，
所以直线与平面所成的角的正弦值为
22、（1）；（2）
【解析】根据基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则计算可得；
【详解】解：（1）因为
所以，即
（2）因为
所以，即