重庆市第八中学校2025年高二上数学期末预测试题含解析.doc

重庆市第八中学校2025年高二上数学期末预测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．我国古代数学论著中有如下叙述：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯二百五十四．”思如下：一座7层塔共挂了254盏灯，且相邻两层下一层所挂灯数是上一层所挂灯数的2倍．下列结论不正确的是（ ）
A.底层塔共挂了128盏灯
B.顶层塔共挂了2盏灯
C.最下面3层塔所挂灯的总盏数比最上面3层塔所挂灯的总盏数多200
D.最下面3层塔所挂灯的总盏数是最上面3层塔所挂灯的总盏数的16倍
2．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
A.y=±2x B.y=
C. D.
3．下列命题中的假命题是(　　)
A.若log2x<2,则0判断中正确的是（）
A. B.
C. D.
6．若实数满足，则点不可能落在（）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
7．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能为（）

A. B.
C. D.
8．已知：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
9．已知分别是等差数列的前项和，且，则（ ）
A. B.
C. D.
10．接种疫苗是预防控制新冠疫情最有效的方法，我国自2021年1月9日起实施全民免费接种新冠疫苗并持续加快推进接种工作．某地为方便居民接种，共设置了A、B、C三个新冠疫苗接种点，每位接种者可去任一个接种点接种．若甲、乙两人去接种新冠疫苗，则两人不在同一接种点接种疫苗的概率为（）
A. B.
C. D.
11．如图，在三棱锥中，两两垂直，且，点E为中点，若直线与所成的角为，则三棱锥的体积等于（）

A. B.
C.2 D.
12．对于圆上任意一点的值与x，y无关，有下列结论：
①当时，r有最大值1；
②在r取最大值时，则点的轨迹是一条直线；
③当时，则.
其中正确的个数是（）
A.3 B.2
C.1 D.0
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知直线与直线平行，则实数______
14．设双曲线C: 的焦点为，点为上一点，，则为_____.
15．如图，在正四棱锥中，为棱PB的中点，为棱PD的中点，则棱锥与棱锥的体积之比为______

16．已知双曲线的左，右焦点分别为，P是该双曲线右支上一点，且（O为坐标原点），，则双曲线C的离心率为__________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）若分别是椭圆的左、右焦点，是该椭圆上的一个动点，且
（1）求椭圆的方程
（2）是否存在过定点的直线与椭圆交于不同的两点，使（其中为坐标原点）？若存在，求出直线的斜率；若不存在，说明理由
18．（12分）已知在时有极值0.
（1）求常数，的值；

（2）求在区间上的最值.
19．（12分）已知：，，：，，且为真命题，求实数的取值范围.
20．（12分）设函数
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若，为整数，且当时，恒成立，求的最大值．（其中为的导函数．）
21．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD，，，且，，点E为棱PC的动点.

（1）当点E是棱PC的中点时，求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
（2）若E为棱PC上任一点，满足，求二面角P-AB-E的余弦值.
22．（10分）如图，已知双曲线，过向双曲线作两条切线，切点分别为，，且.

（1）证明：直线的方程为.
（2）设为双曲线的左焦点，证明：.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】由题设易知是公比为2的等比数列，应用等比数列前n项和公式求，结合各选项的描述及等比数列通项公式、前n项和公式判断正误即可.
【详解】从上往下记每层塔所挂灯的盏数为，则数列是公比为2的等比数列，且，解得，
所以顶层塔共挂了2盏灯，B正确；底层塔共挂了盏灯，A正确
最上面3层塔所挂灯总盏数为14，最下面3层塔所挂灯的总盏数为224，C不正确，D正确
故选：C.
2、B
【解析】双曲线的离心率为，渐进性方程为，计算得，故渐进性方程为.
【考点定位】本小题考查了离心率和渐近线等双曲线的性质.
3、B
【解析】四个选项中需要分别利用对数函数的性质，向量共线的定义，等比数列的定义以及三角函数图像判断，根据题意结合知识点，即可得出结果.
【详解】选项A，由于此对数函数单调递增，并且结合对数函数定义域，即可求得结果，所以是真命题；
选项B，向量共线，夹角可能是或，所以是假命题；
选项C，将式子变形可得，符合等比数列定义，所以是真命题；
选项D，将点代入解析式，等号成立，所以是真命题；
故选B.
【点睛】本题考查命题真假的判定，根据题意结合各知识点即可判断真假，需要熟练掌握对数函数、等比数列、向量夹角以及三角函数的基本性质.
4、C
【解析】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.
5、D
【解析】通过凑配构造的方式，构造出新式子，且可以化简为整数，然后利用放缩思想得到S的范围.
【详解】解：，，，，，
；
，
.
故选：D
6、B
【解析】作出给定的不等式组表示的平面区域，观察图形即可得解.
【详解】因实数满足，作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分，

观察图形知，阴影区域不过第二象限，即点不可能落在第二象限.
故选：B
7、D
【解析】根据的图象可得的单调性，从而得到在相应范围上的符号和极值点，据此可判断的图象.
【详解】由的图象可知，在上为增函数，
且在上存在正数，使得在上为增函数，
在为减函数，
故在有两个不同的零点，且在这两个零点的附近，有变化，
故排除A，B.
由在上为增函数可得在上恒成立，故排除C.
故选：D.
【点睛】本题考查导函数图象的识别，此类问题应根据原函数的单调性来考虑导函数的符号与零点情况，本题属于基础题.
8、C
【解析】由是的充分不必要条件，则是的充分不必要条件，再根据对应集合的包含关系可得答案.
【详解】由，即，设,
由是的充分不必要条件，则是的充分不必要条件
所以Ü，则
故选：C
9、D
【解析】利用及等差数列的性质进行求解.
【详解】分别是等差数列的前项和，故，且，故，
故选：D
10、C
【解析】利用古典概型的概率公式可求出结果
【详解】由题知,基本事件总数为
甲、乙两人不在同一接种点接种疫苗的基本事件数为
由古典概型概率计算公式可得所求概率
故选:
11、D
【解析】由题意可证平面，取BD的中点F，连接EF，则为直线与所成的角，利用余弦定理求出，根据三棱锥体积公式即可求得体积
【详解】如图，

∵，点为的中点，
∴，，
∵，，两两垂直，，
∴平面，取BD的中点F，连接EF，
∴为直线与所成的角，且，
由题意可知，，设，连接AF，
则，
在中，由余弦定理，得，
即，解得，即
∴三棱锥的体积
故选：
12B
【解析】可以看作点到直线与直线距离之和的倍，的取值与，无关，这个距离之和与点在圆上的位置无关，圆在两直线内部，则，的距离为，则，，对于①，当时，r有最大值1，得出结论；对于②在r取最大值时，则点的轨迹是一条平行与，的直线，得出结论；对于③当时，则得出结论.
【详解】设，
故可以看作点到直线与直线距离之和的倍，
的取值与，无关，
这个距离之和与点在圆上的位置无关，
可知直线平移时，
点与直线，的距离之和均为，的距离，
即此时圆在两直线内部，
，的距离为，则，对于①，当时，r有最大值1，正确；对于②在r取最大值时，则点的轨迹是一条平行与，的直线，正确；对于③当时，则即，
解得或，故错误.
故正确结论有2个，
故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】分类讨论，两种情况，结合直线平行的知识得出实数.
【详解】当时，直线与直线垂直；
当时，，则且，解得.
故答案为：
14、14
【解析】利用双曲线的定义求解即可
【详解】由，得，则，
因为点为上一点，
所以，
因为，所以，
解得或（舍去），
故答案为：14
15、
【解析】根据图形可求出与棱锥的体积之比，即可求出结果
【详解】如图所示：

棱锥可看成正四棱锥减去四个小棱锥的体积得到，
设正四棱锥的体积为，为PB的中点，为PD的中点，
所以，而，
同理，
故棱锥的体积的为，
即棱锥与棱锥的体积之比为
故答案为：.
16、
【解析】由已知及向量数量积的几何意义易知，根据双曲线的性质可得，再由双曲线的定义及勾股定理构造关于双曲线参数的齐次方程求离心率.
【详解】∵，
∴△为等腰三角形且，又，
∴，
∴．又，，
∴，则，可得，
∴双曲线C的离心率为
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）存在；
【解析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程.
（2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，利用列方程，化简求得直线的斜率.
【小问1详解】
依题意，得椭圆的方程为
【小问2详解】
存在．理由如下：显然当直线的斜率不存在，即时，不满足条件
故由题意可设的方程为．由是直线与椭圆的两个不同的交点，设，
由消去y，并整理，得，则
，解得，由根与系数的关系得，，即
存在斜率的直线与椭圆交于不同的两点，使
18、（1），；（2）最小值为0，最大值为4.
【解析】（1）对求导，根据在时有极值0，得到，再求出，的值；
（2）由（1）知，，然后判断的单调性，再求出的值域
【详解】解：（1），由题知：
联立（1）、（2）有(舍)或.当时在定义域上单调递增，故舍去；所以，，经检验，符合题意
（2）当，时，故方程有根或由，得或由得，函数的单调增区间为：，，减区间为：.函数在取得极大值，在取极小值；经计算，，，，所以最小值为0，最大值为4.
19、
【解析】由，为真，可得对任意的恒成立，从而分和求出实数的取值范围，再由，，可得关于的方程有实根，则有，从而可求出实数的取值范围，然后求交集可得结果
【详解】解：可化为.
若：，为真，
则对任意的恒成立.
当时，不等式可化为，显然不恒成立，
当时，有且，
所以.①
若：，为真，
则关于的方程有实根，
所以，即，
所以或.②
又为真命题，故，均为真命题.
所以由①②可得的取值范围为.
20、（Ⅰ）答案见解析；Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）的定义域为，，分和两种情况解不等式和即可得单调递增区间和单调递减区间；
（Ⅱ）由题意可得对于恒成立，分离可得，令，只需，利用导数求最小值即可求解.
【详解】（Ⅰ）函数的定义域为，
当时，对于恒成立，此时函数在上单调递增；
当时，由可得；由可得；
此时在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，函数的单调递增区间为，
当时，单调递减区间为，单调递增区间为，
（Ⅱ）若，由可得，
因为，所以，
所以
所以对于恒成立，
令，则，
，
令，则对于恒成立，
所以在单调递增，
因为，，
所以在上存在唯一零点，
即，可得：，
当时，，则，
当时，，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，所以的最大值为.
【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：
（1）确定函数的定义域；求导函数，由（或）解出相应的的范围，对应的区间为的增区间（或减区间）；
（2）确定函数的定义域；求导函数，解方程，利用的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论的正负，由符号确定在子区间上的单调性.
21、（1）
（2）
【解析】（1）由题意可得两两垂直，所以以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，
（2）设，表示出点的坐标，然后根据求出的值，从而可得点的坐标，然后利用空间向量求二面角
【小问1详解】
因为底面ABCD，平面，
所以
因为，
所以两两垂直，所以以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，，点E为棱PC的动点，
所以，
所以,，
设平面的法向量为，则
，令，则
设直线BE与平面PBD所成角为，则
，
所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为，
【小问2详解】
，
因为E为棱PC上任一点，所以设，
所以，
因为，
所以，解得，
所以，
设平面的法向量为，则
，令，则，
取平面的一个法向量为，
设二面角P-AB-E的平面角为，由图可知为锐角，则
，
所以二面角P-AB-E余弦值为

22、（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】（1）设出切线方程，联立后用韦达定理及根的判别式进行表达出A的横坐标与纵坐标，进而表达出直线的方程，化简即为结果；（2）再第一问的基础上，利用向量的夹角公式表达出夹角的余弦值，进而证明出结论.
【小问1详解】
显然直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立得，则，化简得.
因为方程有两个相等实根，故切点A的横坐标
，得，则，
故，则，即.
【小问2详解】
同理可得，又与均过，
所以.
故，，
，
又因为，所以，
则，
，
故，故.
【点睛】圆锥曲线中证明角度相关的问题，往往需要转化为斜率或向量进行求解.