2025-2026学年上海市宝山区吴淞中学数学高二上期末达标检测模拟试题含解析.doc

2025-2026学年上海市宝山区吴淞中学数学高二上期末达标检测模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题的否定是（）
A. B.
C. D.
2．圆与圆的位置关系是（）
A.内含 B.相交
C.外切 D.外离
3．二项式的展开式中，各项二项式系数的和是（）
A.2 B.8
C.16 D.32
4．如图，直四棱柱的底面是菱形，，，M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）

A. B.
C. D.
5．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）

A. B.
C. D.
6．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，立夏当日日影长为2.5尺，则冬至当日日影长为（）
A.12.5尺 B.13尺
C.13.5尺 D.14尺
7．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为、，其中，.如果这时气球的高度，则河流的宽度BC为（）

A. B.
C. D.
8．1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》．他在书中收录了一些有意思的问题，其中有一个关于兔子繁殖的问题：如果1对兔子每月生1对小兔子（一雌一雄），而每1对小兔子出生后的第3个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，如果用Fn表示第n个月的兔子的总对数，则有(n＞2)，．设数列{an}满足：an＝，则数列{an}的前36项和为（　　）
A.11 B.12
C.13 D.18
9． “”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件
10．若实数满足约束条件，则最小值为（）
A.-2 B.-1
C.1 D.2
11．已知数列满足，且，，则（ ）
A. B.
C. D.
12．已知动直线的倾斜角的取值范围是，则实数m的取值范围是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．一个物体的运动方程为其中位移的单位是米，时间的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是__________米/秒
14．复数的实部为_________
15．已知椭圆，分别是椭圆的上、下顶点，是左顶点，为左焦点，直线与相交于点，则________
16．如图，在棱长为2的正方体中，E为BC的中点，点P在线段上，分别记四棱锥，的体积为，，则的最小值为______

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知圆，直线
（1）求证：直线与圆恒有两个交点；
（2）设直线与圆的两个交点为、，求的取值范围
18．（12分）已知点，直线：，直线m过点N且与垂直，直线m交圆于两点A，B.
（1）求直线m的方程；
（2）求弦AB的长.
19．（12分）已知函数的图像在处的切线斜率为，且时，有极值.
（1）求的解析式；
（2）求在上的最大值和最小值.
20．（12分）已知点和直线.
（1）求以为圆心，且与直线相切的圆的方程；
（2）过直线上一点作圆的切线，其中为切点，求四边形PAMB的面积的最小值.
21．（12分）已知数列的前项和为，已知，且当，时，
（1）证明数列是等比数列；
（2）设，求数列的前项和
22．（10分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
（1）求角C的大小；
（2）若，求△ABC面积的最大值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】根据含全称量词命题的否定可写出结果.
【详解】全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定是.
故选：C
2、C
【解析】分别求出两圆的圆心、半径，再求出两圆的圆心距即可判断作答.
【详解】圆的圆心，半径，
圆，即的圆心，半径，
则，即有，
所以圆与圆外切.
故选：C
3、D
【解析】根据给定条件利用二项式系数的性质直接计算作答.
【详解】二项式的展开式的各项二项式系数的和是.
故选：D
4、D
【解析】用向量分别表示,利用向量的夹角公式即可求解.
【详解】由题意可得，
故选：D
【点睛】本题主要考查用向量的夹角公式求异面直线所成的角，属于基础题.
5、D
【解析】原不等式等价于，根据的图象判断函数的单调性，可得和的解集，再分情况或解不等式即可求解.
【详解】由函数的图象可知：
在和上单调递增，在上单调递减，
所以当时，；当时，；
由可得，
所以或，
即或，解得：或，
所以原不等式的解集为：，
故选：D.
6、B
【解析】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，利用等差数列的性质即可求解.
【详解】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，则立春当日日影长为，立夏当日日影长为，故
所以冬至当日日影长为.
故选：B
7、D
【解析】由题意得，，，然后在和求出，从而可求出的值
【详解】如图，由题意得，，，
在中，，
在中，，
所以，
故选：D

8、B
【解析】由奇数+奇数＝偶数，奇数+偶数＝奇数可知，数列{Fn}中F3，F6，F9，F12，，F3n为偶数，其余项都为奇数，再根据an＝，即可求出数列{an}的前36项和
【详解】由奇数+奇数＝偶数，奇数+偶数＝奇数可知，数列{Fn}中F3，F6，F9，F12，，F3n为偶数，其余项都为奇数，
∴前36项共有12项为偶数，
∴数列{an}的前36项和为12×1+24×0＝12.
故选：B
9、D
【解析】根据充分条件、必要条件的判定方法，结合不等式的性质，即可求解.
【详解】由，可得，即，
当时，，但的符号不确定，所以充分性不成立；
反之当时，也不一定成立，所以必要性不成立，
所以是的即不充分也不必要条件.
故选：D.
10B
【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案
【详解】由约束条件作出可行域如图，

联立，解得，
由，得，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，
有最小值为
故选：B
11、A
【解析】由已知两个不等式，利用“两边夹”思想求得，然后利用累加法可求得
【详解】∵，∴，∴，又，∴，即，
∴
故选：A
【点睛】本题考查数列的递推式，由递推式的特征，采用累加法求得数列的项．解题关键是利用“两边夹”思想求解
12、B
【解析】根据倾斜角与斜率的关系可得，即可求m的范围.
【详解】由题设知：直线斜率范围为，即，可得.
故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、5
【解析】，
14、
【解析】复数，其实部为.
考点：复数的乘法运算、实部.
15、##
【解析】先求出顶点和焦点坐标，求出直线直线与的斜率，利用到角公式求出的正切值，进而求出正弦值.
【详解】由可得：，所以，，，，故，由到角公式得：，其中，所以.
故答案为：
16、
【解析】设，用参数表示目标函数，利用均值不等式求最值即可.
【详解】取线段AD中点为F，连接EF、D1F，过P点引于M，于N，
则平面，平面，
则，
∴，
设，
则，，
即，，
∴，
当且仅当时，等号成立，
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）根据直线的方程可得直线经过定点，而点到圆心的距离小于半径，故点在圆的内部，由此即可证明结果
（2）由圆的性质可知，当过圆心时，取最大值，当和过的直径垂直时，取最小值，由此即可求出结果.
【小问1详解】
证明：由于直线，即
令，解得，
所以恒过点，所以，
所以点在圆内，所以直线与圆恒有两个交点；
【小问2详解】
解：当过圆心时，取最大值，即圆的直径，
由圆的半径，所以的最大值为；
当和过的直径垂直时，取最小值，
此时圆心到的距离，
所以，故的最小值为
综上，的取值范围.
18、（1）
（2）
【解析】（1）求出斜率，用点斜式求直线方程；
（2）利用垂径定理求弦长.
【小问1详解】
因为直线：，所以直线的斜率为.
因为直线m过点N且与垂直，所以直线的斜率为，
又过点，所以直线：，即
【小问2详解】
直线与圆相交，则圆心到直线的距离为：，
圆的半径为，所以弦长
19、（1）；
（2）最大值为，最小值为.
【解析】（1）由题得①，②，解方程组即得解；
（2）令解得或，再列表得解.
【小问1详解】
解：求导得，
因为在出的切线斜率为，则，即①
因为时， 有极值，则.即②
由①②联立得 ，所以.
【小问2详解】
解：由（1），令解得或，
列表如下：

极大值

极小值

所以，在［－3，2］上的最大值为，最小值为.
20、（1）
（2）
【解析】（1）利用到直线的距离求得半径，由此求得圆的方程.
（2）结合到直线的距离来求得四边形面积的最小值.
【小问1详解】
圆的半径，
圆的方程为.
【小问2详解】
由四边形的面积知，当时，面积最小.
此时.
.
.
21、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）消去，只保留数列的递推关系，根据题干提示来证明，注意证明首项不是零；（2）利用裂项求和来解决.
【小问1详解】
证明：由题意，当时，
即，，
整理，得，，，，数列是以2为首项，2为公比的等比数列
【小问2详解】
解：由（1）知，，
则，，，，，
各项相加，可得，当n=1成立
，
故

22、（1）
（2）
【解析】（1）对，利用正弦定理和诱导公式整理化简得到，即可求出；
（2）先由正弦定理求出c，再由余弦定理和基本不等式求出ab的最大值为1，代入面积公式求面积.
【小问1详解】
对于.
由正弦定理知：
即.
所以.
所以.
所以
因为，，所以.
所以.
因为，所以.
【小问2详解】
因为，由正弦定理知：.
由余弦定理知：，
所以.当且仅当时，等号成立，所以ab的最大值为1.
所以，
即面积的最大值为.