2026届云南省昆明市官渡区第一中学数学高一第一学期期末统考试题含解析.doc

2026届云南省昆明市官渡区第一中学数学高一第一学期期末统考试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．的值为（　　）
A. B.
C. D.
2．已知与分别是函数与的零点，则的值为　　
A. B.
C.4 D.5
3．可以化简成（）
A. B.
C. D.
4．定义在上的偶函数的图象关于直线对称，当时，．若方程且根的个数大于3，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
5．设平面向量满足，且，则的最大值为
A.2 B.3
C. D.
6．下列四组函数中，表示同一函数的一组是（）
A.， B.，
C.， D.，
7．函数部分图像如图所示，则的值为（）

A. B.
C. D.
8．已知函数，则（）
A. B.
C. D.
9．已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，则（）
A.{－1} B.{0，1}
C.{－1，2，3} D.{－1，0，1，3}
10．已知角α的终边经过点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数，则满足的实数的取值范围是__
12．若，，且，则的最小值为________
13．已知函数，将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向右平移个单位，得到函数的解析式______
14．若是第三象限的角，则是第________象限角；
15．函数的最小正周期是_______
16．已知a，b，c是空间中的三条直线，α是空间中的一个平面
①若a⊥c，b⊥c，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；
③若a∥α，b⊥α，则a⊥b；④若a∥b，a∥α，则b∥α；
说法正确的序号是______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”.已知函数的定义域为且.
（Ⅰ）若，，求的定义域；
（Ⅱ）当时，若为“同域函数”，求实数的值；
（Ⅲ）若存在实数且，使得为“同域函数”，求实数的取值范围.
18．已知函数，.
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）若在区间上的最大值为3，求m的最小值.
19．已知，函数.
（Ⅰ）当时，解不等式；
（Ⅱ）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围；
（Ⅲ）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的和不大于，求的取值范围.
20．已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
21．已知函数
（1）若在区间上有最小值为，求实数m的值；
（2）若时，对任意的，总有，求实数m的取值范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】由诱导公式可得，故选B.
2、D
【解析】设，，由，互为反函数，其图象关于直线对称，作直线，分别交，的图象为A，B两点，点为A，B的中点，
联立方程得，由中点坐标公式得：，又，故得解
【详解】解：由，化简得，
设，，
由，互为反函数，其图象关于直线对称，
作直线，分别交，的图象为A，B两点，点为A，B的中点，

联立得；，
由中点坐标公式得：，
所以，
故选D
【点睛】本题考查了反函数、中点坐标公式及函数的零点等知识，属于难题.
3、B
【解析】根据指数幂和根式的运算性质转化即可
【详解】解：，
故选：B
4、D
【解析】由题设，可得解析式且为周期为4的函数，再将问题转化为与交点个数大于3个，讨论参数a判断交点个数，进而画出和的图象，应用数形结合法有符合题设，即可求范围.
【详解】由题设，，即，
所以是周期为4的函数，
若，则，故，
所以，
要使且根的个数大于3，即与交点个数大于3个，又恒过，
当时，在上，在上且在上递减，此时与只有一个交点，
所以.
综上，、的图象如下所示，

要使交点个数大于3个，则，可得.
故选：D
【点睛】关键点点睛：根据已知条件分析出的周期性，并求出上的解析式，将问题转化为两个函数的交点个数问题，结合对数函数的性质分析a的范围，最后根据交点个数情况，应用数形结合进一步缩小参数的范围.
5、C
【解析】设，
∵，且，
∴
∵，当且仅当与共线同向时等号成立，
∴的最大值为．选C
点睛：
由于向量，且，因此向量确定，这是解题的基础也是关键．然后在此基础上根据向量模的三角不等式可得的范围，解题时要注意等号成立的条件
6、C
【解析】分析每个选项中两个函数的定义域，并化简函数解析式，利用函数相等的概念可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，函数的定义域为，函数的定义域为，A选项中的两个函数不相等；
对于B选项，函数的定义域为，函数的定义域为，B选项中的两个函数不相等；
对于C选项，函数、的定义域均为，且，C选项中的两个函数相等；
对于D选项，对于函数，有，解得，
所以，函数的定义域为，函数的定义域为，D选项中的两个函数不相等.
故选：C.
7、C
【解析】根据的最值得出，根据周期得出，利用特殊点计算，从而得出的解析式，再计算.
【详解】由函数的最小值可知：，
函数的周期：，则，
当时，，
据此可得：，令可得：，
则函数的解析式为：，
.
故选：C.
【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，属于中档题.
8、B
【解析】由分段函数解析式及指数运算求函数值即可.
【详解】由题设，，
所以.
故选：B.
9、C
【解析】由交集与补集的定义即可求解.
【详解】解：因为集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，
所以，
又全集U＝{－1，0，1，23}，
所以，
故选：C.
10、D
【解析】由任意角三角函数的定义可得结果.
【详解】依题意得.
故选：D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】分别对，分别大于1，等于1，小于1的讨论，即可.
【详解】对，分别大于1，等于1，小于1讨论，当,解得
当，不存在，当时，，解得，故
x的范围为
【点睛】本道题考查了分段函数问题，分类讨论，即可，难度中等
12、4
【解析】应用基本不等式“1”的代换求最小值即可，注意等号成立的条件.
【详解】由题设，知：当且仅当时等号成立.
故答案为：4.
13、
【解析】根据三角函数图象的变换可得答案.
【详解】将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得，
再将得到的图象向右平移个单位得
故答案为：
14、一或三
【解析】根据的范围求得的范围，从而确定正确答案.
【详解】依题意，，
，
所以当为奇数时，在第三象限；当为偶数时，在第一象限.
故答案：一或三
15、
【解析】根据正弦函数的最小正周期公式即可求解
【详解】因为
由正弦函数的最小正周期公式可得
故答案为：
16、③
【解析】根据空间线面位置关系的定义，性质判断或举反例说明
【详解】对于①，若a，b为平面α的直线，c⊥α，则a⊥c，b⊥c，但a∥b不一定成立，故①错误；
对于②，若a∥α，b∥α，则a，b的关系不确定，故②错误；
对于③，不妨设a在α上的射影为a′，则a′⊂α，a∥a′，
由b⊥α可得b⊥a′，于是a⊥b，故③正确；
对于④，若b⊂α，显然结论不成立，故④错误.
故答案为③
【点睛】本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题，

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【解析】（Ⅰ）当，时，解出不等式组即可；
（Ⅱ）当时，，分、两种情况讨论即可；
（Ⅲ）分、且、且三种情况讨论即可.
【详解】（Ⅰ）当，时，由题意知：，解得：.
∴的定义域为；
（Ⅱ当时，，
（1）当，即时，的定义域为，值域为，
∴时，不是“同域函数”.
（2）当，即时，当且仅当时，为“同域函数”.
∴.
综上所述，的值为.
（Ⅲ）设的定义域为，值域为.
（1）当时，，此时，，，从而，
∴不是“同域函数”.
（2）当，即，
设，则的定义域.
①当，即时，的值域.
若为“同域函数”，则，
从而，，
又∵，∴的取值范围为.
②当，即时，的值域.
若为“同域函数”，则，
从而，
此时，由，可知不成立.
综上所述，的取值范围为
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解清楚题意，能够分情况求出的定义域和值域.
18、（1）；单调递减区间是；2）.
【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果
（2）由（1）知，由的取值范围，求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：（1）由己知，有

，
所以的最小正周期：.
由，
得的单调递减区间是.
（2）由（1）知，因为，
所以.
要使在区间上最大值为3.
即在区间的最大值为1.
所以.即
所以m的最小值为.
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题
19、（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）.
【解析】（Ⅰ）当时，利用对数函数的单调性，直接解不等式即可；
（Ⅱ）化简关于的方程，通过分离变量推出的表达式，通过解集中恰有一个元素，利用二次函数的性质，即可求的取值范围；
（Ⅲ）在上单调递减利用复合函数的单调性求解函数的最值，令，化简不等式，转化求解不等式的最大值，然后 推出的范围.
【详解】（Ⅰ）当时，，
∴，整理得，解得．所以原不等式的解集为.
（Ⅱ）方程，即为，
∴，∴，
令，则，
由题意得方程在上只有一解, 令,,
转化为函数与的图象在上只有一个交点.
则分别作出函数与的图象，如图所示

结合图象可得，当或时，直线y=a和的图象只有一个公共点，即方程只有一个解
所以实数范围为.
Ⅲ）因为函数在上单调递减，
所以函数定义域内单调递减，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为，
所以
由题意得，
所以恒成立，
令，
所以恒成立，
因为在上单调递增，
所以∴，解得，
又，∴
所以实数的取值范围是.
【点睛】解答此类题时注意以下几点：
（1）对于复合函数的单调性，可根据“同增异减”的方法进行判断；
（2）已知方程根的个数（函数零点的个数）求参数范围时，可通过解方程的方法求解，对于无法解方程的，可通过分离、构造函数的方法转化为函数图象公共点个数的问题处理
（3）解不等式的恒成立问题时，通常采取分离参数的方法，将问题转化为求函数的最值的问题
20、
【解析】根据给定条件可得AÜB，再借助集合的包含关系列式计算作答.
【详解】因“”是“”的充分不必要条件，于是得AÜB，而集合，，
因此，或，解得或，即有，
所以实数a的取值范围为.
21、（1）或；（2）.
【解析】（1）可知的对称轴为，讨论对称轴的范围求出最小值即可得出；
（2）不等式等价于，求出最大值和最小值即可解出.
【详解】（1）可知的对称轴为，开口向上，
当，即时，，
解得或（舍），∴
当，即时，，
解得，∴
综上，或
（2）由题意得，对，
∵，，
∴，
∴，
解得，∴
【点睛】本题考查含参二次函数的最值问题，属于中档题.