湖南邵阳市第二中学2026届数学高二上期末考试试题含解析.doc

湖南邵阳市第二中学2026届数学高二上期末考试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，，若，则xy的最小值是（）
A. B.
C. D.
2．设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（）
A. B.
C. D.
3．为了防控新冠病毒肺炎疫情，某市疾控中心检测人员对外来入市人员进行核酸检测，人员甲、乙均被检测.设命题为“甲核酸检测结果为阴性”，命题为“乙核酸检测结果为阴性”，则命题“至少有一位人员核酸检测结果不是阴性”可表示为（ ）
A. B.
C. D.
4．知点分别为圆上的动.点，为轴上一点，则的最小值（ ）
A. B.
C. D.
5．已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（）
A.虚轴长为4 B.焦距为
C.焦点到渐近线的距离为4 D.渐近线方程为
6．已知斜三棱柱所有棱长均为2，点、满足，，则（ ）

A. B.
C.2 D.
7．（ ）
A.-2 B.0
C.2 D.3
8．已知命题：，命题：，则是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9．的展开式中的系数是（）
A.1792 B.
C.448 D.
10．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与抛物线的一个交点，若，则（）
A. B.3
C. D.2
11．已知直线与直线，若，则（）
A.6 B.
C.2 D.
12．如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（）

A.在内是增函数
B.在内是增函数
C.在时取得极大值
D.在时取得极小值
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，则满足实数的取值范围是__
14．已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线左支上点满足，则的面积为_________
15．已知P是椭圆的上顶点，过原点的直线l交C于A，B两点，若的面积为，则l的斜率为____________
16．在递增等比数列中，其前项和，若，，则_________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是的中点

（1）求证：；
（2）已知二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值
18．（12分）如图，在多面体中，和均为等边三角形，D是的中点，.

（1）证明：；
（2）若，求多面体的体积.
19．（12分）设等差数列的前项和为
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和
20．（12分）已知为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆的上顶点，以为圆心且过的圆与直线相切.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线交椭圆于两点.
（ⅰ）若直线的斜率等于，求面积的最大值；
（ⅱ）若，点在上，.证明：存在定点，使得为定值.
21．（12分）已知集合，设
（1）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
（2）若¬q是¬p的必要不充分条件，求实数a的取值范围
22．（10分）已知分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的一点，且的面积为1.
（1）求椭圆的短轴长；
（2）过原点的直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的一点，若为等边三角形，求的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】对使用基本不等式，这样得到关于的不等式，解出xy的最小值
【详解】因为，，由基本不等式得：，所以，解得：，当且仅当，即，时，等号成立
故选：C
2、D
【解析】由抛物线的焦点可求得直线的方程为，即得直线的斜率为，再根据双曲线的渐近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程
【详解】由题可知，抛物线焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，
又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得
故选：
【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题
3、D
【解析】表示出和，直接判断即可.
【详解】命题为“甲核酸检测结果为阴性”，则命题为“甲核酸检测结果不是阴性”；
命题为“乙核酸检测结果为阴性”，则命题为“乙核酸检测结果不是阴性”.
故命题“至少有一位人员核酸检测结果不是阴性”可表示为.
故选D.
4、B
【解析】求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标，以及半径，然后求解圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出的最小值.
【详解】圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，圆的圆心坐标为，半径为1，
∴若与关于x轴对称，则，即，
当三点不共线时，
当三点共线时，
所以
同理(当且仅当时取得等号)
所以
当三点 共线时，
当三点不共线时，
所以
∴的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，
∴.
故选：B.

5、D
【解析】根据双曲线的性质逐一判断即可.
【详解】在双曲线中，焦点在轴上，，，，
所以虚轴长为6，故A错误；
焦距为，故B错误；
渐近线方程为，故D正确；
焦点到渐近线的距离为故C错误；
故选：D.
6、D
【解析】以向量为基底向量，则，根据条件由向量的数量积的运算性质，两边平方可得答案.
【详解】以向量为基底向量，

所以

所以
故选：D
7、C
【解析】根据定积分公式直接计算即可求得结果
【详解】由
故选：C
8、B
【解析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】因为命题：或 ，命题：，
所以是的必要不充分条件，
故选：B
9、D
【解析】根据二项式展开式的通项公式计算出正确答案.
【详解】的展开式中，含的项为.
所以的系数是.
故选：D
10、D
【解析】根据抛物线的定义求得，由此求得的长.

【详解】过作，垂足为，设与轴交点为.根据抛物线的定义可知.由于，所以，所以，所以，所以.
故选：D

【点睛】本小题主要考查抛物线定义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
11、A
【解析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可；
【详解】解：因为直线与直线，且，所以，解得；
故选：A
12、B
【解析】根据图象判断的单调性，由此求得的极值点，进而确定正确选项.
【详解】由图可知，在区间上,单调递减；
在区间上,单调递增.
所以不是的极值点，是的极大值点.
所以ACD选项错误，B选项正确.
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】分别对，分别大于1，等于1，小于1的讨论，即可.
【详解】对，分别大于1，等于1，小于1的讨论，当,解得
当，不存在，当时，，解得，故
x的范围为
点睛】本道题考查了分段函数问题，分类讨论，即可，难度中等
14、3
【解析】由双曲线方程可得，利用双曲线定义，以及直角三角形的勾股定理可得，由此求得答案.
【详解】由双曲线的左、右焦点分别为，双曲线左支上点满足，
可得: ，
则 ，且 ，
故，
所以，
故 ，
故答案为：3
15、
【解析】设出直线AB的方程，联立椭圆方程得到A点横坐标满足，再利用，解方程即可得到答案.
【详解】设直线AB的方程为：，，
由，得，
所以，又
所以，解得.
故答案为：
16、
【解析】根据等比数列下标和性质得到，从而解出、，即可求出公比，从而求出，，即可得解；
【详解】解：因为，所以，因为，所以、为方程的两根，所以或，因为为递增的等比数列，所以，所以所以或（舍去），所以，，所以
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）由菱形及线面垂直的性质可得、，再根据线面垂直的判定、性质即可证结论.
（2）构建空间直角坐标系，设，结合已知确定相关点坐标，进而求面、面的法向量，结合已知二面角的余弦值求出参数t，再根据空间向量夹角的坐标表示求与平面所成角的正弦值
【小问1详解】
由平面，平面，则，
又是菱形，则，又，
所以平面，平面
所以E.
【小问2详解】
分别以，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系，
设，则，
由（1）知：平面的法向量为，
令面的法向量为，则，令，可得，
因为二面角的余弦值为，则，
可得，则，
设与平面所成的角为，又，，
所以.

18、（1）见详解（1）.
（2）16
【解析】（1）证线面垂直从而证线线垂直.
（2）把面体看成两个锥体，由已知线面垂直得高，并进一步可求锥体底面边长，从而得解.
【小问1详解】
因为，所以共面，连接、,

因为和均为等边三角形，D是的中点，
所以，，，
所以面平，平面，
【小问2详解】
因为，，
四边形是平行四边形，
和均为等边三角形，D是的中点，
所以，,
平行四边形是正方形形，，
.
19、（1）；
（2）.
【解析】（1）根据等差数列前n项和求和公式求出首项和公差，进而求出通项公式；
（2）结合（1）求出，再令得出数列的正数项和负数项，进而结合等差数列求和公式求得答案.
【小问1详解】
设等差数列的首项和公差分别为和，
∴，解得：
所以.
【小问2详解】
，所以.
当；当，
当，时，，
当时，
.
综上：.
20、（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）.
【解析】（1）求出后可得椭圆的标准方程.
（2）（ⅰ）设直线的方程为：，，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理、弦长公式可求面积表达式，利用基本不等式可求面积的最大值.
（ⅱ）利用韦达定理化简可得，从而可得的轨迹为圆，故可证存在定点，使得为定值.
【详解】（1）由题意知：，，
又，则以为圆心且过的圆的半径为，
故，所以椭圆的标准方程为：.
（2）（ⅰ）设直线的方程为：，
将代入得：，
所以且，
故.
又，
点到直线的距离，
所以，
等号当仅当时取，即当时，的面积取最大值为.
（ⅱ）显然直线的斜率一定存在，
设直线的方程为：，，
由（ⅰ）知
所以，
所以，
解得，，直线过定点或，
所以D在以OZ为直径的圆上，该圆的圆心为或，半径等于，
所以存在定点或，使得为定值.
【点睛】方法点睛：求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.
21、（1）
（2）
【解析】（1）先解出集合A、B，然后根据p是q的充分不必要条件列出不等式组求解.
（2）¬q是¬p的必要不充分条件可知q是p的充分不必要条件，然后求解.
【小问1详解】
解：由题意得：
，
p是q的充分不必要条件，所以集合A是集合B的真子集
∴，即，所以实数a的取值范围.
【小问2详解】
¬q是¬p的必要不充分条件
p是q的必要不充分条件，即q是p的充分不必要条件
集合B是集合A的真子集
∴，故实数a的取值范围为
22、（1）2（2）
【解析】（1）根据题意表示出的面积，即可求得结果；
（2）分类讨论直线斜率情况，然后根据是等边三角形，得到，联立直线和椭圆方程，用点的坐标表示上述关系式，化简即可得答案.
【小问1详解】
因为，所以，
又因为，所以，
，
所以，则椭圆的短轴长为2.
【小问2详解】
若为等边三角形，应有，即.
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，且，
此时若为等边三角形，则点应为长轴顶点，且，即.
当直线的斜率为0时，直线的方程为，且，
此时若为等边二角形，则点应为短轴顶点，
此时,不为等边三角形.
当直线的斜率存在且不为0时，设其方程为，则直线的方程为.
由得,
同理.
因为，所以，
解得.
因为，所以，则，即.
综上，的取值范围是.