2025-2026学年湖北省恩施高级中学、十堰一中、十堰二中等高二数学第一学期期末联考试题含解析.doc

2025-2026学年湖北省恩施高级中学、十堰一中、十堰二中等高二数学第一学期期末联考试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．用数学归纳法时，从“k到”左边需增乘的代数式是（）
A. B.
C. D.
2．已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
3．下列双曲线中，以为一个焦点，以为一个顶点的双曲线方程是（ ）
A. B.
C. D.
4．下列曲线中，与双曲线有相同渐近线是（）
A. B.
C. D.
5．在等差数列中，为其前n项和，，则（ ）
A.55 B.65
C.15 D.60
6．的二项展开式中，二项式系数最大的项是第（）项.
A.6 B.5
C.4和6 D.5和7
7．已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（）
A B.
C. D.
8．下列命题中的假命题是(　　)
A.若log2x<2,则012
12．若函数在区间单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．当曲线与直线有两个不同的交点时，实数k的取值范围是____________
14．某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）与时间t（单位：s）之间的关系为，则当s时，弹簧振子的瞬时速度为_________ mm/s.
15．若满足约束条件，则的最大值为_____________
16．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：其中，所有正确结论的序号是____________
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；
③曲线C所围城的“心形”区域的面积小于3

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过点，；
（2）长轴长是短轴长的3倍，且经过点
18．（12分）在四面体ABCD中，CB=CD，，且E，F分别是AB，BD的中点，
求证：（I）直线；
（II）．
19．（12分）已知函数
（1）若在点处的切线与轴平行，求的值；
（2）当时，求证：；
（3）若函数有两个零点，求的取值范围
20．（12分）已知命题p：实数x满足（其中）；命题q：实数x满足
（1）若，为真命题，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的充分条件，求实数的取值范围
21．（12分）在空间直角坐标系Oxyz中，O为原点，已知点，，，设向量，.
（1）求与夹角的余弦值；
（2）若与互相垂直，求实数k的值.
22．（10分）求满足下列条件的圆锥曲线方程的标准方程.
（1）经过点，两点的椭圆；
（2）与双曲线－＝1有相同的渐近线且经过点 的双曲线.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】分别求出n＝k时左端的表达式，和n＝k+1时左端的表达式，比较可得“n从k到k+1”左端需增乘的代数式
【详解】当n＝k时，左端＝（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），
当n＝k+1时，左端＝（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），
∴左边需增乘的代数式是
故选：C
【点睛】本题考查用数学归纳法证明等式，分别求出n＝k时左端的表达式和n＝k+1时左端的表达式，是解题的关键
2、D
【解析】求出直线的斜率，利用斜截式可得出直线的方程.
【详解】直线的斜率为，由题意可知，所求直线的方程为.
故选：D.
3、C
【解析】设出双曲线方程，根据题意，求得，即可选择.
【详解】因为双曲线的一个焦点是，故可设双曲线方程为，
且；
又为一个顶点，故可得，解得，
则双曲线方程为：.
故选：.
4、B
【解析】求出已知双曲线的渐近线方程，逐一验证即可.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
而双曲线的渐近线方程为，
双曲线的渐近线方程为，
双曲线的渐近线方程为，
双曲线的渐近线方程为.
故选：B
5、B
【解析】根据等差数列求和公式结合等差数列的性质即可求得.
【详解】解析：因为为等差数列，所以，即，.
故选:B
6、A
【解析】由二项展开的中间项或中间两项二项式系数最大可得解.
【详解】因为二项式展开式一共11项，其中中间项的二项式系数最大，
易知当r＝5时最大，即二项展开式中，二项式系数最大的为第6项.
故选：A
7、C
【解析】设，用表示出，求得的表达式，结合二次函数的性质求得当时，取得最小值，从而求得点的坐标.
【详解】设，则＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，
＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
所以＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝.
所以当λ＝时，取得最小值，此时＝＝，
即点Q的坐标为.
故选：C
8、B
【解析】四个选项中需要分别利用对数函数的性质，向量共线的定义，等比数列的定义以及三角函数图像判断，根据题意结合知识点，即可得出结果.
【详解选项A，由于此对数函数单调递增，并且结合对数函数定义域，即可求得结果，所以是真命题；
选项B，向量共线，夹角可能是或，所以是假命题；
选项C，将式子变形可得，符合等比数列定义，所以是真命题；
选项D，将点代入解析式，等号成立，所以是真命题；
故选B.
【点睛】本题考查命题真假的判定，根据题意结合各知识点即可判断真假，需要熟练掌握对数函数、等比数列、向量夹角以及三角函数的基本性质.
9、B
【解析】由空间向量内容知，构成基底的三个向量不共面，对选项逐一分析
【详解】对于A：，因此A不满足题意；
对于B：根据题意知道，，不共面，而和显然位于向量和向量所成平面内，与向量不共面，因此B正确；
对于C：，故C不满足题意；
对于D：显然有，选项D不满足题意.
故选：B
10、C
【解析】根据椭圆定义，和条件列式，再通过变形计算求解.
【详解】由条件可知，
，
即，解得：.
故选：C
【点睛】本题考查椭圆的定义，焦点三角形的性质，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.
11、B
【解析】根据椭圆的定义可得：，所以的周长等于
【详解】因为，，所以，故的周长为
故选：B
12、A
【解析】函数在区间上单调递增，转化为导函数在该区间上大于等于0恒成立，进而求出结果.
【详解】由题意得：在区间上恒成立，而，所以.
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】求出直线恒过的定点，结合曲线的图象，数形结合，找出临界状态，即可求得的取值范围.
【详解】因为，故可得，
其表示圆心为，半径为的圆的上半部分；
因为，即，
其表示过点，且斜率为的直线.
在同一坐标系下作图如下：

不妨设点，直线斜率为，且过点与圆相切的直线斜率为
数形结合可知：要使得曲线与直线有两个不同的交点，
只需即可.
容易知：；
不妨设过点与相切的直线方程为，
则由直线与圆相切可得：，解得，
故.
故答案为：.
14、0
【解析】根据题意得，进而根据导数几何意义求解时的导函数值即可得答案.
【详解解：因为，
所以求导得，
所以根据导数的几何意义得该振子在时的瞬时速度为,
故答案为：.
15、
【解析】由下图可得在处取得最大值，即.

考点：线性规划.
【方法点晴】本题考查线性规划问题，灵活性较强，属于较难题型.考生应注总结解决线性规划问题的一般步骤（1）在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域；（2）将目标函数变形为；（3）作平行线：将直线平移，使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标；（4）求出最优解：将（3）中求出的坐标代入目标函数，从而求出的最大（小）值.
16、①②
【解析】根据题意，先判断曲线关于轴对称，由基本不等式的性质对方程变形，得到，可判定①正确；当时，，得到曲线右侧部分的点到原点的距离都不超过，再根据曲线的对称性，可判定②正确；由轴的上方，图形的面积大于四点围成的矩形的面积，在轴的下方，图形的面积大于三点围成的三角形的面积，可判断③不正确.
【详解】根据题意，曲线，
用替换曲线方程中的，方程不变，所以曲线关于轴对称，
对于①中，当时，，即为，
可得，所以曲线经过点，
再根据对称性可知，曲线还经过点，故曲线恰好经过6个整点，所以①正确；
对于②中，由①可知，当时，，即曲线右侧部分的点到原点的距离都不超过，再根据曲线的对称性可知，曲线上任意一点到原点的距离都不超过，所以②正确；
对于③中，因为在轴的上方，图形的面积大于四点围成的矩形的面积，在轴的下方，图形的面积大于三点围成的三角形的面积，所以曲线所围城的“心形”区域的面积大于3，所以③不正确.
故选：①②

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）或.
【解析】（1）由已知可得，，且焦点在轴上，进而可得椭圆的标准方程；
（2）由已知可得，，此时焦点在轴上，或，，此时焦点在轴上，进而可得椭圆的标准方程；
【小问1详解】
解：椭圆经过点，，，
，，且焦点在轴上，
椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
解：长轴长是短轴长的3倍，且经过点，
当点在长轴上时此时焦点在轴上，
此时椭圆的标准方程为；
当点在短轴上时，，，此时焦点在轴上，
此时椭圆的标准方程.
综合得椭圆的方程为或.
18、（I）证明见解析
（II）证明见解析
【解析】证明：（I）E，F分别为AB，BD的中点

（II），又，
所以
19、（1）；
（2）证明见解析； （3）.
【解析】（1）由可求得实数的值；
（2）利用导数分析函数的单调性，求得，即可证得结论成立；
（3）分析可知在上存在唯一的极值点，且，可得出，构造函数，分析函数的单调性，求得的取值范围，再构造，分析函数的单调性，求出的范围，即可得出的取值范围.
【小问1详解】
解：因为的定义域为，.
由题意可得，解得.
【小问2详解】
证明：当时，，该函数的定义域为，，
令，其中，则，故函数在上递减，
因为，，
所以，存在，使得，则，且，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以，，
所以，当时，.
【小问3详解】
解：函数的定义域为，.
令，其中，则，所以，函数单调递减，
因为函数有两个零点，等价于函数在上存在唯一的极值点，且为极大值点，且，
即，所以，，
令，其中，则，
故函数在上单调递增，
又因为，由，可得，
构造函数，其中，则，所以，函数在上单调递增，
故，因此，实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
20、（1）
（2）
【解析】（1）由得命题p：，然后由为真命题求解；
（2）由得，再根据是的充分条件求解.
小问1详解】
当时，，解得：，
由为真命题，
，解得；
【小问2详解】
由（其中）可得，
因为是的充分条件，则，
解得：
21、（1）
（2）
【解析】（1）由向量的坐标先求出，，，由向量的夹角公式可得答案.
（2）由题意可得，从而求出参数的值
【小问1详解】
由题，，，
故，，，
所以
故与夹角余弦值为.
【小问2详解】
由与的互相垂直知，
，，即
22、（1）；
（2）
【解析】（1）由题意可得，，从而可求出椭圆的标准方程，
（2）由题意设双曲线的共渐近线方程为,再将的坐标代入方程可求出的值，从而可求出双曲线方程
【小问1详解】
因为，
所以P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上，
所以，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
设与双曲线共渐近线的方程为,
代入点，解得m=2,
所以双曲线的标准方程为