2025年湖南省长沙市明达中学高二数学第一学期期末统考试题含解析.doc

2025年湖南省长沙市明达中学高二数学第一学期期末统考试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在某次赛车中，名参赛选手的成绩（单位：）全部介于到之间（包括和），将比赛成绩分为五组：第一组，第二组，··· ，第五组，其频率分布直方图如图所示.若成绩在内的选手可获奖，则这名选手中获奖的人数为

A. B.
C. D.
2．某商场开通三种平台销售商品，五一期间这三种平台的数据如图1所示．该商场为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，用分层抽样的方法抽取了6%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图2所示．下列说法正确的是（ ）

A.样本中对平台一满意的消费者人数约700
B.总体中对平台二满意的消费者人数为18
C.样本中对平台一和平台二满意的消费者总人数为60
D.若样本中对平台三满意消费者人数为120，则
3．对于公差为1的等差数列，；公比为2的等比数列，，则下列说法不正确的是（ ）
A.
B.
C.数列为等差数列
D.数列的前项和为
4．设双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为（）
A.4 B.2
C. D.
5．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中随机地取一点，则该点恰好取自白色部分的概率为（）

A. B.
C. D.
6．过点且斜率为的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
7．设是定义在R上的可导函数，若（为常数），则（）
A. B.
C. D.
8．如图，已知最底层正方体的棱长为a，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，依此方法一直继续下去，则所有这些正方体的体积之和将趋近于（ ）

A. B.
C. D.
9．椭圆的短轴长为（ ）
A.8 B.2
C.4 D.
10．函数在上是单调递增函数，则的最大值等于（）
A.2 B.3
C.5 D.6
11．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：
①曲线围成的图形的面积是；
②曲线上的任意两点间的距离不超过；
③若是曲线上任意一点，则的最小值是
其中正确结论的个数为（）
A. B.
C. D.
12．若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，且（O为坐标原点）.若，则椭圆的离心率为________
14．命题，恒成立是假命题，则实数a取值范围是________________
15．在中，，，，则__________.
16．已知双曲线的渐近线方程为，，分别为C的左，右焦点，若动点P在C的右支上，则的最小值是______

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，已知双曲线，过向双曲线作两条切线，切点分别为，，且.

（1）证明：直线的方程为.
（2）设为双曲线的左焦点，证明：.
18．（12分）已知点，圆，点Q在圆上运动，的垂直平分线交于点P.
（1）求动点P的轨迹的方程；
（2）过点的动直线l交曲线C于A、B两点，在y轴上是否存在定点T，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由.
19．（12分）已知直线经过椭圆的右焦点，且椭圆C的离心率为

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）以椭圆的短轴为直径作圆，若点M是第一象限内圆周上一点，过点M作圆的切线交椭圆C于P，Q两点，椭圆C的右焦点为，试判断的周长是否为定值．若是，求出该定值
20．（12分）某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达、延迟5分钟内送达、延迟5至10分钟送达、其他延迟情况，分别评定为四个等级，各等级依次奖励3元、奖励0元、罚款3元、罚款6元.假定评定为等级的概率分别是.
（1）若某外卖员接了一个订单，求其不被罚款的概率；
（2）若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为3元的概率.
21．（12分）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，且，点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为

（1）求点的位置；
（2）求点到平面的距离
22．（10分）已知函数的图像在（为自然对数的底数）处取得极值.
（1）求实数的值；
（2）若不等式在恒成立，求的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】先根据频率分布直方图确定成绩在内的频率，进而可求出结果.
【详解】由题意可得：成绩在内的频率为，
又本次赛车中，共名参赛选手，
所以，这名选手中获奖的人数为.
故选A
【点睛】本题主要考查频率分布直方图，会根据频率分布直方图求频率即可，属于常考题型.
2、C
【解析】根据扇形图和频率分布直方图判断.
【详解】对于A：样本中对平台一满意的人数为，故选项A错误；
对于B：总体中对平台二满意的人数约为，故选项B错误；
对于C：样本中对平台一和平台二满意的总人数为：，故选项C正确：
对于D：对平台三的满意率为，所以，故选项D错误
故选：C
3、B
【解析】由等差数列的通项公式判定选项A正确；利用等比数列的通项公式求出，即判定选项B错误；利用对数的运算和等差数列的定义判定选项C正确；利用错位相减法求和，即判定选项D正确.
【详解】对于A: 由条件可得，，
即选项A正确；
对于B：由条件可得，，
即选项B错误；
对于C：因为，所以，
则，
即数列是首项和公差均为的等差数列，
即选项C正确；
对于D：，设数列的前项和为，
则，
，
上面两式相减可得，
所以，
即选项D正确.
故选：B.
4、B
【解析】根据双曲线的定义及，求出，，，，再利用余弦定理计算可得；
【详解】解：依题意可知、，
又且，
所以，，，，
则，
且，
即，即，
所以离心率.
故选：B
5、A
【解析】设七巧板正方形边长为4，求出阴影部分的面积，再利用几何概型概率公式计算作答.
【详解】设七巧板正方形边长为4，则大阴影等腰三角形底边长为4，底边上的高为2，
可得小正方形对角线长为2，小正方形边长为，小阴影等腰直角三角形腰长为，
小白色等腰直角三角形底边长为2，则左上角阴影等腰直角三角形腰长为2，
因此，图中阴影部分面积，
而七巧板正方形面积，
于是得七巧板中白色部分面积为，
所以在此正方形中随机地取一点，则该点恰好取自白色部分的概率为.
故选：A
6、B
【解析】利用点斜式可得出所求直线的方程.
【详解】由题意可知所求直线的方程为，即.
故选：B.
7、C
【解析】根据导数的定义即可求解.
【详解】.
故选：C.
8、D
【解析】由已知可判断出所有这些正方体的体积构成首项为，公比为的等比数列，然后求和可得答案.
【详解】最底层上面第一个正方体的棱长为，其体积为，
上面第二个正方体的棱长为，其体积为，
上面第三个正方体的棱长为，其体积为，

所有这些正方体的体积构成首项为，公比为的等比数列，
其前项和为，
当，，
所以所有这些正方体的体积之和将趋近于.
故选：D.
9、C
【解析】根据椭圆的标准方程求出，进而得出短轴长.
【详解】由，可得，
所以短轴长为.
故选：C.
10、B
【解析】由f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数，得到在[1，+∞）上，恒成立，从而解得a≤3，故a的最大值为3
【详解】解：∵f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数
∴在[1，+∞）上恒成立
即a≤3x2，∵x∈[1，+∞）时，3x2≥3恒成立，
∴a≤3，∴a的最大值是3
故选：B
11、C
【解析】结合已知条件写出曲线的解析式，进而作出图像，对于①，通过图像可知，所求面积为四个半圆和一个正方形面积之和，结合数据求解即可；对于②，根据图像求出曲线上的任意两点间的距离的最大值即可判断；对于③，将问题转化为点到直线的距离，然后利用圆上一点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可求解.
【详解】当且时，曲线的方程可化为：；
当且时，曲线的方程可化为：；
当且时，曲线的方程可化为：；
当且时，曲线的方程可化为：，
曲线的图像如下图所示：

由上图可知，曲线所围成的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形的面积之和，
从而曲线所围成的面积，故①正确；
由曲线的图像可知，曲线上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，即，故②错误；
因为到直线的距离为，
所以，
当最小时，易知在曲线的第一象限内的图像上，
因为曲线的第一象限内的图像是圆心为，半径为的半圆，
所以圆心到的距离，
从而，即，故③正确，
故选：C.
12、D
【解析】由题可知，曲线表示一个半圆，结合半圆的图像和一次函数图像即可求出的取值范围.
【详解】由得，画出图像如图：

当直线与半圆O相切时，直线与半圆O有一个公共点，此时，，所以，由图可知，此时，所以
当直线如图过点A、B时，直线与半圆O刚好有两个公共点，此时，
由图可知，当直线介于与之间时，直线与曲线有两个公共点，所以.
故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、##
【解析】由向量的数量积得，从而得，利用勾股定理和椭圆的定义可得的等式，从而求得离心率
【详解】，
所以，又，所以是直角三角形，，
，
又，，所以，，
，
所以
故答案为：
14、
【解析】由命题为假命题可得命题为真命题，由此可求a范围.
【详解】∵命题，恒成立是假命题，
∴，，
∴，，
又函数在为减函数，
∴，
∴，
∴实数a的取值范围是,
故答案为：.
15、
【解析】由已知在中利用余弦定理可得的值，可求，可得，即可得解的值
【详解】解：因为在中，，，，
所以由余弦定理可得，
所以，即，
则
故答案为：
16、
【解析】首先根据双曲线的渐近线方程和焦点坐标，求出双曲线的标准方程；设，根据双曲线的定义可知，从而利用基本不等式即可求出的最小值.
【详解】因为双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为，，
所以，即，所以双曲线方程为.
设，则，且，
，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）证明见解析

【解析】（1）设出切线方程，联立后用韦达定理及根的判别式进行表达出A的横坐标与纵坐标，进而表达出直线的方程，化简即为结果；（2）再第一问的基础上，利用向量的夹角公式表达出夹角的余弦值，进而证明出结论.
【小问1详解】
显然直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立得，则，化简得.
因为方程有两个相等实根，故切点A的横坐标
，得，则，
故，则，即.
【小问2详解】
同理可得，又与均过，
所以.
故，，
，
又因为，所以，
则，
，
故，故.
【点睛】圆锥曲线中证明角度相关的问题，往往需要转化为斜率或向量进行求解.
18、（1）；
（2）存在，T(0，1)﹒
【解析】(1)根据椭圆的定义，结合即可求P的轨迹方程；
(2)假设存在T(0，t)，设AB方程为，联立直线方程和椭圆方程，代入＝0即可求出定点T.
【小问1详解】
由题可知，，
则，
由椭圆定义知P的轨迹是以F1、为焦点，且长轴长为的椭圆，
∴，∴，
∴P的轨迹方程为C：；
【小问2详解】
假设存在T(0，t)满足题意，易得AB的斜率一定存在，否则不会存在T满足题意，设直线AB的方程为，
联立，化为，易知恒成立，
∴(*)
由题可知，

将(*)代入可得：
即
∴，解，
∴在y轴上存在定点T(0，1)，使以AB为直径的圆恒过这个点T.
19、（1）
（2）周长是定值，且定值为4
【解析】（1）首先求出直线与轴的交点，即可求出，再根据离心率求出，最后根据求出，即可得解；
（2）：设直线的方程为、、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，即可表示出弦的长，再根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即可得到，再求出、，最后根据计算即可得解；
【小问1详解】
解：因为经过椭圆的右焦点，令，则，所以椭圆的右焦点为，可得：，
又，可得：，由，所以，
∴椭圆的标准方程为 ；
【小问2详解】
解：设直线的方程为，
由得：，
所以，
设，，则：
，
所以

.
因为直线与圆相切，所以，即，
所以，
因为，

又，
所以，
同理.
所以
，
即的周长是定值，且定值为4
20、（1）
（2）
【解析】（1）利用互斥事件的概率公式，即可求解；
（2）由条件可知两单共获得的奖励为3元即事件，同样利用互斥事件和的概率，即可求解.
【小问1详解】
设事件分别表示“被评为等级”，
由题意，事件两两互斥，
所以，
又“不被罚款”，
所以.
因此“不被罚款”概率为；
【小问2详解】
设事件表示“第单被评为等级”，，
则“两单共获得的奖励为3元”即事件，
且事件彼此互斥，
又，
所以.
21、（1）为棱中点
（2）
【解析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的方程，结合求出的值，即可得出点的位置；
（2）利用空间向量法可求得点到平面的距离
【小问1详解】
解：因为平面，底面为正方形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、，
设，其中，
则，
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，
由题意可得，
整理可得，因为，解得，
因此，点为棱的中点.
【小问2详解】
解：由（1）知为棱中点，即，则，
又，设平面的法向量为，
由，取，可得，
因为，所以，点到平面的距离为.
22、（1）
（2）
【解析】（1）由求得的值.
（2）由分离常数，通过构造函数法，结合导数求得的取值范围.
【小问1详解】
因为，所以，
因为函数的图像在点处取得极值，
所以，，
经检验，符合题意，所以；
【小问2详解】
由（1）知，，
所以在恒成立，即对任意恒成立.
令，则.
设，易得是增函数，
所以，
所以，
所以函数在上为增函数，
则，所以.