西藏拉萨市2025年数学高二上期末调研试题含解析.doc

西藏拉萨市2025年数学高二上期末调研试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A.至少有一个黑球与都是黑球
B.至少有一个黑球与至少有一个红球
C.恰好有一个黑球与恰好有两个黑球
D.至少有一个黑球与都是红球
2．一组“城市平安建设”的满意度测评结果，，…，的平均数为116分，则，，…，，116的（ ）
A.平均数变小 B.平均数不变
C.标准差不变 D.标准差变大
3． “”是“方程表示椭圆”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4．已知，若，则（ ）
A. B.
C. D.
5．我国新冠肺炎疫情防控进入常态化，各地有序进行疫苗接种工作，下面是我国甲、乙两地连续11天的疫苗接种指数折线图，根据该折线图，下列说法不正确的是（ ）

A.这11天甲地指数和乙地指数均有增有减
B.第3天至第11天，甲地指数和乙地指数都超过80%
C.在这11天期间，乙地指数的增量大于甲地指数的增量
D.第9天至第11天，乙地指数的增量大于甲地指数的增量
6．某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图.则下列说法：①；②若抽取100人，则平均用时13.75小时；③若从每周使用时间在，，三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在内的学生中选取的人数为3.其中正确的序号是（ ）

A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
7．如图，P是椭圆第一象限上一点，A，B，C是椭圆与坐标轴的交点，O为坐标原点，过A作AN平行于直线BP交y轴于N，直线CP交x轴于M，直线BP交x轴于E.现有下列三个式子：①；②；③.其中为定值的所有编号是（ ）

A.①③ B.②③
C.①② D.①②③
8．在四棱锥中，底面是正方形，为的中点，若，则（）

A B.
C. D.
9．已知直线与直线平行，且直线在轴上的截距比在轴上的截距大，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
10．在正方体中，AC与BD的交点为M.设则下列向量与相等的向量是 （ ）
A. B.
C. D.
11．已知是椭圆上的一点，则点到两焦点的距离之和是（）
A.6 B.9
C.14 D.10
12．过点且垂直于的直线方程为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知双曲线C的方程为，，，双曲线C上存在一点P，使得，则实数a的最大值为___________.
14．已知数列都是等差数列，公差分别为，数列满足，则数列的公差为__________
15．某班学号的学生铅球测试成绩如下表：
学号
1
2
3
4
5
6
7
8
成绩
9.1
7.9
8.4
6.9
5.2
7.1
8.0
8.1
可以估计这8名学生铅球测试成绩的第25百分位数为___________.
16．设，分别是椭圆C：左、右焦点，点M为椭圆C上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则M的坐标为___________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若对，恒成立，求的取值范围.
18．（12分）已知等比数列的前项和为，且，.
（1）求的通项公式；
（2）求.
19．（12分）在等差数列{an}中，a3＋a4＝15，a2a5＝54，公差d<0.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)求数列的前n项和Sn的最大值及相应的n值
20．（12分）设函数
（1）求在处的切线方程；
（2）求在上的最大值与最小值
21．（12分）如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，点E，F分别在棱，上，且，

（1）证明：点在平面BEF内；
（2）若，，，求直线与平面BEF所成角的正弦值
22．（10分）已知：对任意，都有；：存在，使得
（1）若“且”为真，求实数的取值范围；
（2）若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，逐项判断.
【详解】A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，这两个事件不是互斥事件，故错误；
B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，故错误；
C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，两个事件是互斥事件但不是对立事件，故正确
D：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，
这两个事件是对立事件，故错误；
故选：C
2、B
【解析】利用平均数、方差的定义和性质直接求出，，…，，116的平均数、方差从而可得答案.
【详解】，，…，的平均数为116分，
则，，…，，116的平均数为
设，，…，的方差为
则
所以
则，，…，，116的方差为

所以，，…，，116的平均数不变，方差变小.标准差变小.
故选：B
3、B
【解析】根据方程表示椭圆，且2，再判断必要不充分条件即可.
【详解】解：方程表示椭圆满足 ，解得，且2
所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.
故选：B
4、B
【解析】先求出的坐标，然后由可得，再根据向量数量积的坐标运算求解即可.
【详解】因为，，所以，
因为，所以，即，解得.
故选：B
5、C
【解析】由折线图逐项分析得到答案.
【详解】对于选项A，从折线图中可以直接观察出甲地和乙地的指数有增有减，故选项A正确；
对于选项B，从第3天至第11天，甲地指数和乙地指数都超过80%，故选项B正确；
对于选项C，从折线图上可以看出这11天甲的增量大于乙的增量，故选项C错误；
对于选项D，从折线图上可以看出第9天至第11天，乙地指数的增量大于甲地指数的增量，故D正确；
故选：C.
6、B
【解析】根据频率分布直方图中小矩形的面积和为1可求出，再求出频率分布直方图的平均值，即为抽取100人的平均值的估计值，再利用分层抽样可确定出使用时间在内的学生中选取的人数为3.
【详解】，故①正确；
根据频率分布直方图可估计出平均值为，所以估计抽取100人的平均用时13.75小时，②的说法太绝对，故②错误；
每周使用时间在，，三组内的学生的比例为，用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在内的学生中选取的人数为，故③正确.
故选：B.
7、D
【解析】根据斜率的公式，可以得到的值是定值，然后结合已知逐一判断即可.
【详解】设，所以有，，
因此，
所以有，，，，

，，故，，.
故选：D
【点睛】关键点睛：利用斜率公式得到之间的关系是解题的关键.
8、C
【解析】由为的中点，根据向量的运算法则，可得，即可求解.
【详解】由底面是正方形，E为的中点，且，
根据向量的运算法则，可得

.
故选：C.
9、A
【解析】分析可知直线不过原点，可设直线的方程为，其中且，利用斜率关系可求得实数的值，化简可得直线的方程.
【详解】若直线过原点，则直线在两坐标轴上的截距相等，不合乎题意，
设直线的方程为，其中且，
则直线的斜率为，解得，
所以，直线的方程为，即.
故选：A.
10、C
【解析】根据空间向量的运算法则，推出的向量表示，可得答案.
【详解】，
故选：C.
11、A
【解析】根据椭圆的定义，可求得答案.
【详解】由可知：，
由是椭圆上的一点，
则点到两焦点的距离之和为 ，
故选：A
12、B
【解析】求出直线l的斜率，再借助垂直关系的条件即可求解作答.
【详解】直线的斜率为，而所求直线垂直于直线l，则所求直线斜率为，
于是有：，即，
所以所求直线方程为.
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2
【解析】设出，根据条件推出在圆上运动，根据题意要使双曲线和圆有交点，则得答案.
【详解】设点 ，由得：，
所以，化简得：，
即满足条件的点在圆上运动，
又点存在于上，故双曲线与圆有交点，
则 ,即实数a的最大值为2，
故答案为：2
14、##
【解析】利用等差数列的定义即得.
【详解】∵数列都是等差数列，公差分别为，数列满足，
∴.
故答案为：.
15、
【解析】利用百分位数的计算方法即可求解.
【详解】将以上数据从小到大排列为，，，，，，，；
%，则第25百分位数第项和第项的平均数，即为.
故答案为：.
16、
【解析】先计算出,所以,利用余弦定理求出，即可求出,即得到M的横坐标为，代入椭圆C：求出.
【详解】椭圆C：,所以.
因为M在椭圆上,.
因为M在第一象限,故.
为等腰三角形,则,所以,

由余弦定理可得.

过M作MA⊥x轴于A,则
所以,即M的横坐标为.
因为M为椭圆C：上一点且在第一象限，
所以，解得：
所以M的坐标为.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）极小值为，无极大值；（2）.
【解析】（1）对函数进行求导、列表、判断函数的单调性，最后根据函数极值的定义进行求解即可；
（2）对进行常变量分离，然后构造新函数，对新函数进行求导，判断其单调性，进而求出新函数的最值，最后根据题意求出的取值范围即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
当时，.由，得.
当变化时，，的变化情况如下表

-
0
+

单调递减
极小值
单调递增
所以在上单调递减，上单调递增，
所以函数的极小值为，无极大值.
（2）对，恒成立，即对，恒成立.
令，则.由得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，因此.
所以的取值范围是.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，考查了构造函数法、常变量分离法，考查了数学运算能力和分类讨论思想.
18、（1）
（2）
【解析】（1）设的公比为，根据题意求得的值，即可求得的通项公式；
（2）由（1）求得，得到，利用等比数列的求和公式，即可求解.
【小问1详解】
解：设的公比为，
因为，，则，
又因为，解得，
所以的通项公式为.
【小问2详解】
解：由，可得，
则，
所以.
19、（1）；（2）当或11时，最大值为55.
【解析】（1）根据等差数列的通项公式得方程组，解这个方程组得公差和首项，从而得数列的通项公式n.
（2）等差数列的前项和是关于的二次式，将这个二次式配方即可得最大值.
【详解】（1）由题设，故（舍，此时）或.
故，故.
（2）由（1）可得，
因为，对称方程为，故当或时，取最大值，
此时最大值为.
20、（1）
（2），
【解析】（1）对函数求导，然后求出，，运用点斜式即可求出切线方程；
（2）利用导数研究出函数在区间的单调性，即可求出函数在区间上的最大值与最小值
【小问1详解】
，，，
所以在点处的切线方程为，
即.
【小问2详解】
，
因为，所以与同号，
令则，
由，得，此时为减函数，
由，得，此时为增函数，
则，
故，在单调递增，
所以，
21、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）设、、、AC与BD的交点为O，由直四棱柱的性质构建空间直角坐标系，确定、的坐标可得，即可证结论.
（2）由题设，求出、、的坐标，进而求得面BEF的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示求直线与平面BEF所成角的正弦值
【小问1详解】
由题意，，设，，，设AC与BD的交点为O，
以O为坐标原点，分别以BD，AC所在直线为x，y轴建立如下空间直角坐标系，

则，，，，
所以，，得，即，
因此点在平面BEF内
【小问2详解】
由（1）及题设，，，，，
所以，，
设为平面BEF的法向量，则，令，即
设直线与平面BEF所成角为，则
22、（1）.
（2）.
【解析】（1）由已知得，均为真命题，分别求得为真命题，为真命题时，实数的取值范围，再由集合的交集运算求得答案；
（2）由已知得，一真一假，建立不等式组，求解即可.
【小问1详解】
解：因为“且”为真命题，所以，均为真命题
若为真命题，则，解得；
若为真命题，则，当且仅当，即时，等号成立，此时
故实数的取值范围是；
【小问2详解】
解：若“或”为真，“且”为假，则，一真一假
当真，假时，则得；当假，真时，则得
故实数的取值范围为