2025-2026学年湖南省常德市临澧一中数学高二第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

2025-2026学年湖南省常德市临澧一中数学高二第一学期期末学业水平测试模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．甲烷是一种有机化合物，分子式为，其在自然界中分布很广，是天然气、沼气的主要成分．如图所示的为甲烷的分子结构模型，已知任意两个氢原子之间的距离（H-H键长相等，碳原子到四个氢原子的距离（C-H键长）均相等，任意两个H-C-H键之间的夹角为（键角）均相等，且它的余弦值为，即，若，则以这四个氢原子为顶点的四面体的体积为（）

A. B.
C. D.
2．如图已知正方体，点是对角线上的一点且，，则（ ）

A.当时，平面 B.当时，平面
C.当为直角三角形时， D.当的面积最小时，
3．已知双曲线离心率为2，过点的直线与双曲线C交于A，B两点，且点P恰好是弦的中点，则直线的方程为（）
A. B.
C. D.
4．已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的短轴的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
5．如图所示，在平行六面体中，，，，点是的中点，点是上的点，且，则向量可表示为（）

A. B.
C. D.
6．已知抛物线C：的焦点为F，过点P（-1，0）且斜率为的直线l与抛物线C相交于A，B两点，则（）
A. B.14
C. D.15
7．函数在区间上平均变化率等于（ ）
A. B.
C. D.
8．设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A.4 B.8
C.16 D.32
9．已知函数，若，则等于（　　）
A. B.1
C.ln2 D.e
10．已知点是抛物线的焦点，点为抛物线上的任意一点，为平面上点，则的最小值为
A.3 B.2
C.4 D.
11．设抛物线上一点到轴的距离是4，则点到该抛物线焦点的距离是（ ）
A.6 B.8
C.9 D.10
12．已知是等比数列，，，则（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若平面内两条直线，平行，则实数______
14．已知抛物线，则的准线方程为______.
15．过点作圆的两条切线，切点为A，B，则直线的一般式方程为___________.
16．已知对任意正实数m，n，p，q，有如下结论成立：若，则有成立，现已知椭圆上存在一点P，，为其焦点，在中，，，则椭圆的离心率为______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列的前项和，且
（1）证明：数列为等差数列；
（2）设，记数列的前项和为，若，对任意恒成立，求实数的取值范围
18．（12分）设等差数列的前项和为，已知.
（1）求数列的通项公式;
（2）当为何值时，最大，并求的最大值.
19．（12分）已知动点在椭圆：（）上，，为椭圆左、右焦点．过点作轴的垂线，垂足为，点满足，且点的轨迹是过点的圆
（1）求椭圆方程；
（2）过点，分别作平行直线和，设交椭圆于点，，交椭圆于点，，求四边形的面积的最大值
20．（12分）如图，在三棱锥中，，，为的中点

（1）证明：平面；
（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角正弦值.
21．（12分）已知动圆过点 且动圆内切于定圆： 记动圆圆心的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）若、是曲线上两点，点 满足 求直线的方程.
22．（10分）已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】利用余弦定理求得，计算出正四面体的高，从而计算出正四面体的体积.
【详解】设，则由余弦定理知：，解得，
故该正四面体的棱长均为
由正弦定理可知：该正四面体底面外接圆的半径，
高
故该正四面体的体积为
故选：A
2、D
【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得；
【详解】解：由题可知，如图令正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，因为，所以，所以，，，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以
对于A：若平面，则，则，解得，故A错误；
对于B：若平面，则，即，解得，故B错误；
当为直角三角形时，有，即，解得或（舍去），故C错误；
设到的距离为，则，
当的面积最小时，，故正确
故选：

3、C
【解析】运用点差法即可求解
【详解】由已知得，又，可得.
则双曲线C的方程为.设，，
则两式相减得，
即.
又因为点P恰好是弦的中点，所以，，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
经检验满足题意
故选：C
4、B
【解析】根据题意，点关于直线对称点的性质，以及椭圆的定义，即可求解.
【详解】根据题意，设点关于直线的对称点，
则，解得，即.
根据椭圆的定义可知，，
当、、三点共线时，长轴长取最小值，即，
由且，得，
因此椭圆C的短轴的最小值为.
故选：B.
5、D
【解析】根据空间向量加法和减法的运算法则，以及向量的数乘运算即可求解.
【详解】解：因为在平行六面体中，，，，点是的中点，点是上的点且，
所以，
故选：D.
6、C
【解析】设A、B两点的坐标分别为，，根据抛物线的定义求出，然后将直线的方程代入抛物线方程并化简，进而结合根与系数的关系求得答案.
【详解】设A、B两点坐标分别为，，直线的方程为，抛物线的准线方程为：，由抛物线定义可知：.联立方程，消去y后整理为，可得，，
.
故选：C.
7、C
【解析】根据平均变化率的定义算出答案即可.
【详解】函数在区间上的平均变化率等于
故选：C
8、B
【解析】因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.
【详解】
双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限
联立，解得
故
联立，解得
故

面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
9、D
【解析】求导，由得出.
【详解】，
故选：D
10、A
【解析】作垂直准线于点，根据抛物线的定义，得到，当三点共线时，的值最小，进而可得出结果.
【详解】如图，作垂直准线于点，由题意可得，
显然，当三点共线时，的值最小；
因为，，准线，
所以当三点共线时，，所以.
故选A

【点睛】本题主要考查抛物线上任一点到两定点距离的和的最值问题，熟记抛物线的定义与性质即可，属于常考题型.
11、A
【解析】计算抛物线的准线，根据距离结合抛物线的定义得到答案.
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，
到轴的距离是4，故到准线的距离是，故点到该抛物线焦点的距离是.
故选：A.
12、D
【解析】由，，可求出公比，从而可求出等比数的通项公式，则可求出，得数列是一个等比数列，然后利用等比数的求和公式可求得答案
【详解】由题得.
所以，
所以.
所以，所以数列是一个等比数列.
所以=.
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、-1或2
【解析】根据两直线平行，利用直线平行的条件列出方程解得答案.
【详解】∵，∴，解得或，
经验证都符合题意，
故答案为：-1或2
14、##
【解析】根据抛物线的方程求出的值即得解.
【详解】解：因为抛物线，所以，
所以的准线方程为.
故答案为：
15、
【解析】已知圆的圆心，点在以为直径的圆上，两圆相减就是直线的方程.
【详解】，圆心，
点在以为直径的圆上，，所以圆心是，
以为直径的圆的圆的方程是，
直线是两圆相交的公共弦所在直线，所以两圆相减就是直线的方程，
，
所以直线的一般式方程为.
故答案为：
【点睛】结论点睛：过圆外一点引圆的切线，那么以圆心和圆外一点连线段为直径的圆与已知圆相减，就是切点所在直线方程，或是两圆相交，两圆相减，就是公共弦所在直线方程.
16、
【解析】根据正弦定理，结合题意，列出方程，代入数据，化简即可得答案.
详解】由题意得：，
所以，所以，
解得.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）利用可得答案；
（2）利用错位相减可得，转化为对任意，恒成立，求出的最大值可得答案
小问1详解】
当时，由，得或（舍去），
由，得，①
当时，，②
由①－②，得，
整理得，
因为，所以
所以是首项为1，公差为1的等差数列
【小问2详解】
由（1）可得，
所以，③
，④
由③－④，得
，
即，
由得，所以，即，
该式对任意恒成立，因此，
所以的取值范围是
18、（1）
（2）n为6或7；126
【解析】（1）设等差数列的公差为d，利用等差数列的通项公式求解；
（2）由，利用二次函数的性质求解.
【小问1详解】
解：设等差数列的公差为d，
因为.
所以，
解得，
所以；
【小问2详解】
，
当或7时，最大，的最大值是126.
19、（1）；（2）
【解析】(1)设点和，由题意可得点的轨迹方程，将点Q的坐标代入T的方程计算出即可；
(2)设的方程，和，联立椭圆方程并消元得到关于y的一元二次方程，根据韦达定理得到，进而求出和，根据平行线间的距离公式可得与的距离，得出所求四边形面积的表达式，结合换元法和基本不等式化简求值即可.
【详解】解：（1）设点，，
则点，，，
∵，∴，∴，
∵点在椭圆上，
∴，即为点的轨迹方程
又∵点的轨迹是过的圆，
∴，解得，
所以椭圆的方程为
（2）由题意，可设的方程为，
联立方程，得
设，，
则，且，
所以，
同理，
又与的距离为，
所以，四边形的面积为，
令，则，
且，
当且仅当，即时等号成立
所以，四边形的面积最大值为
20、（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论；
（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果
【详解】（1）因为，为的中点，所以，且
连结
因为，
所以为等腰直角三角形，
且

由知
由知平面
（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系

由已知得
取平面的法向量
设，则
设平面的法向量为
由得 ，
可取
所以 ．由已知得
所以 ．解得(舍去)，
所以
又 ，所以
所以与平面所成角的正弦值为
【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”
21、（1）；（2）.
【解析】（1）根据两圆内切，以及圆过定点列式求轨迹方程；（2）利用重心坐标公式可知，，再设直线的方程为与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求解直线方程.
【详解】（1）由已知可得，两式相加可得 则点的轨迹是以 、 为焦点， 长轴长为的椭圆，则 因此曲线的方程是
(2)因为， 则点是的重心， 易得直线的斜率存在， 设直线的方程为，

联立 消 得：

且 ①
②
由①②解得 则直线的方程为 即
【点睛】本题考查直线与椭圆的问题关系，本题的关键是根据求得，.
22、见解析
【解析】将代入式子，得到，，进而进行化简，最后通过基本不等式证明问题.
【详解】∵，，，∴，
.∴＝，
当且仅当，即时取“＝”