山西省忻州市第一中学2026届数学高二上期末统考模拟试题含解析.doc

山西省忻州市第一中学2026届数学高二上期末统考模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知正方体的棱长为1，且满足则的最小值是（ ）
A. B.
C. D.
2．若某群体中成员只用现金支付的概率为，既用现金支付也用非现金支付的概率为，则不用现金支付的概率为（）
A. B.
C. D.
3．设是等差数列的前项和，已知，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
4．已知函数，则下列判断正确的是（）
A.直线与曲线相切
B.函数只有极大值，无极小值
C.若与互为相反数，则的极值与的极值互为相反数
D.若与互为倒数，则的极值与的极值互为倒数
5．已知双曲线左右焦点为，，过的直线与双曲线的右支交于P，Q两点，且，若为以Q为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
6．空气质量指数大小分为五级指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大，指数范围在：，，，，分别对应“优”、“良”、“轻中度污染”、“中度重污染”、“重污染”五个等级，如图是某市连续14天的空气质量指数趋势图，下面说法错误的是（）.

A.这14天中有4天空气质量指数为“良”
B.从2日到5日空气质量越来越差
C.这14天中空气质量的中位数是103
D.连续三天中空气质量指数方差最小是9日到11日
7．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点、，交其准线于点，若，且，则的值为（ ）

A. B.
C. D.
8．在空间直角坐标系中，已知，，则MN的中点P到坐标原点О的距离为（ ）
A. B.
C.2 D.3
9．函数的图象的大致形状是（）
A. B.
C. D.
10．如图，，是平面上两点，且，图中的一系列圆是圆心分别为，的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，A，B，C，D，E是图中两组同心圆的部分公共点.若点A在以，为焦点的椭圆M上，则（ ）

A.点B和C都在椭圆M上 B.点C和D都在椭圆M上
C.点D和E都在椭圆M上 D.点E和B都在椭圆M上
11．已知抛物线的焦点为，在抛物线上有一点，满足，则的中点到轴的距离为（）
A. B.
C. D.
12．下列事件：
①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点；
②某人买彩票中奖；
③从集合中任取两个不同元素，它们的和大于2；
④在标准大气压下，水加热到90℃时会沸腾.
其中是随机事件的个数是（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知球的表面积是，则该球的体积为________.
14．若椭圆：的长轴长为4，焦距为2，则椭圆的标准方程为______.
15．已知圆锥的高为，体积为，则以该圆锥的母线为半径的球的表面积为______________.
16．已知圆柱轴截面是边长为4的正方形，则圆柱的侧面积为______________ .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，抛物线的顶点在原点，圆的圆心恰是抛物线的焦点.

（1）求抛物线的方程；
（2）一条直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于、、、四点，求的值.
18．（12分）我们知道，装同样体积的液体容器中，如果容器的高度一样，那么侧面所需的材料就以圆柱形的容器最省.所以汽油桶等装液体的容器大都是圆柱形的，某卧式油罐如图1所示，它垂直于轴的截面如图2所示，已知截面圆的半径是1米，弧的长为米表示劣弧与弦所围成阴影部分的面积.

（1）请写出函数表达式；
（2）用求导的方法证明.
19．（12分）已知是等差数列，其n前项和为，已知
（1）求数列的通项公式：
（2）设，求数列的前n项和
20．（12分）已知点A（，0），点C为圆B：（B为圆心）上一动点，线段AC的垂直平分线与直线BC交于点G
（1）设点G的轨迹为曲线T，求曲线T的方程；
（2）若过点P（m，0）（）作圆O：的一条切线l交（1）中的曲线T于M、N两点，求△MNO面积的最大值
21．（12分）已知函数.
（1）判断的单调性.
（2）证明：.
22．（10分）为了符合国家制定的工业废气排放标准，某工厂在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用新工艺，对其排放的废气中的二氧化硫转化为一种可利用的化工产品．已知该工厂每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化硫得到可利用的化工产品价值为200元
（1）该工厂每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该工厂每月能否获利？如果获利，求出最大利润：如果不获利，则国家每月至少应补贴多少元才能使工厂不亏损？
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】由空间向量共面定理可得点四点共面，从而将求的最小值转化为求点到平面的距离，再根据等体积法计算.
【详解】因为，由空间向量的共面定理可知，点四点共面，即点在平面上，所以的最小值为点到平面的距离，由正方体棱长为，可得是边长为的等边三角形，则，，由等体积法得，，所以，所以的最小值为.
故选：C
【点睛】共面定理的应用：设是不共面的四点，则对空间任意一点，都存在唯一的有序实数组使得，说明：若，则四点共面.
2、A
【解析】利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】由对立事件概率公式可知，该群体中的成员不用现金支付的概率为.
故选：A.
3、C
【解析】依题意有，解得，所以.
考点：等差数列的基本概念.
【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念.在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算
4、C
【解析】求出函数的导函数，通过在某点处的导数为该点处切线的斜率，求出切线方程，并且判断出极值，通过结合与互为相反数，若与互为倒数，分别判断的极值与的极值是否互为相反数，以及是否互为倒数.
【详解】，，令，得，所以，
因为，，所以曲线在点处的切线方程为，故A错；
当时，存在使，且当时，；
当时，，即有极小值，无极大值，故B错误；
设为的极值点，则，且，
所以，，当时，
；当时，，
故C正确，D错误.
5、C
【解析】由双曲线的定义得出中各线段长（用表示），然后通过余弦定理得出的关系式，变形后可得离心率
【详解】由题意，
又，所以，从而，，，
中，，
中．，
所以，，所以，
故选：C
6、C
【解析】根据题图分析数据，对选项逐一判断
【详解】对于A，14天中有1，3，12，13共4日空气质量指数为“良”，故A正确
对于B，从2日到5日空气质量指数越来越高，故空气质量越来越差，故B正确
对于C，14个数据中位数为：，故C错误
对于D，观察折线图可知D正确
故选：C
7、B
【解析】分别过点、作准线的垂线，垂足分别为点、，设，根据抛物线的定义以及直角三角形的性质可求得，结合已知条件求得，分析出为的中点，进而可得出，即可得解.
【详解】如图，分别过点、作准线的垂线，垂足分别为点、，

设，则由己知得，由抛物线的定义得，故，
在直角三角形中，，，
因为，则，从而得，
所以，，则为的中点，从而.
故选：B.
8、A
【解析】利用中点坐标公式及空间中两点之间的距离公式可得解.
【详解】，，由中点坐标公式，得，
所以.
故选：A
9、B
【解析】对A，根据当时，的值即可判断；对B，根据函数在上的单调性即可判断；对C，根据函数的奇偶性即可判断；对D，根据函数在上的单调性即可判断.
【详解】解：对A，当时，，故A错误；
对B，的定义域为，
且，
故为奇函数；
，
当时，当时，，
即，
又，
，
故存在，
故在单调递增，单调递减，单调递增，故B正确；
对C，为奇函数，故C错误；
对D，函数在上不单调，故D错误.
故选：B.
10、C
【解析】根据椭圆的定义判断即可求解.
【详解】因为，
所以椭圆M中，
因为，,
,,
所以D，E在椭圆M上.
故选：C
11、A
【解析】设点，利用抛物线的定义求出的值，可求得点的横坐标，即可得解.
【详解】设点，易知抛物线的焦点为，由抛物线的定义可得，得，
所以，点的横坐标为，故点到轴的距离为.
故选：A.
12、B
【解析】因为随机事件指的是在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，只需逐一判断4个事件哪一个符合这种情况即可
【详解】解：连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点这一事件可能发生也可能不发生，①是随机事件
某人买彩票中奖这一事件可能发生也可能不发生，②是随机事件
从集合，2，中任取两个元素，它们的和必大于2，③是必然事件
在标准大气压下，水加热到时才会沸腾，④是不可能事件
故随机事件有2个，
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】设球的半径为r，代入表面积公式，可解得，代入体积公式，即可得答案.
【详解】设球的半径为r，则表面积，
解得，
所以体积，
故答案为：
【点睛】本题考查已知球的表面积求体积，关键是求出半径，再进行求解，考查基础知识掌握程度，属基础题.
14、
【解析】由焦距可得c，长轴长得到a，再根据可得答案.
【详解】因为椭圆的长轴长为4，则，焦距为2，
由，得，
则椭圆的标准方程为：.
故答案为：.
15、
【解析】利用圆锥体积公式可求得圆锥底面半径，利用勾股定理可得母线长；根据球的表面积公式可求得结果.
【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，
圆锥体积，，，
以为半径的球的表面积.
故答案为：.
16、
【解析】由圆柱轴截面的性质知：圆柱体的高为，底面半径为，根据圆柱体的侧面积公式，即可求其侧面积.
【详解】由圆柱的轴截面是边长为4的正方形，
∴圆柱体的高为，底面半径为，
∴圆柱的侧面积为.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）圆 的圆心坐标为，
即抛物线的焦点为,……………………3分
∴ ∴抛物线方程为……………………6分
由题意知直线AD的方程为…………………7分即代入得=0
设，则，
……………………11分
∴
【解析】（1）设抛物线方程为,由题意求出其焦点坐标，进而可求出结果；
（2）先由题意得出直线的方程，联立直线与抛物线方程，求出，再由为圆的直径，即可求出结果.
【详解】（1）设抛物线方程为，
圆的圆心恰是抛物线的焦点，∴.
抛物线方程为：；
（2）依题意直线的方程为
设，，则，得，
，.

【点睛】本题主要考查抛物线的方程，以及直线与抛物线的位置关系；由抛物线的焦点坐标可直接求出抛物线的方程；联立直线与抛物线方程，结合韦达定理和抛物线定义可求出弦长，进而可求出结果，属于常考题型.
18、（1），
（2）证明见解析
【解析】（1）由弧长公式得，根据即可求解；

（2）利用导数判断出在上单调递增，即可证明.
【小问1详解】
由弧长公式得，
于是，
【小问2详解】
cos，
显然在上单调递增，
于是.
19、（1）；
（2）.
【解析】（1）利用等差数列的基本量，结合已知条件，列出方程组，求得首项和公差，即可写出通项公式；
（2）根据（1）中所求，结合裂项求和法，即可求得.
【小问1详解】
因为是等差数列，其n前项和为，已知，设其公差为，
故可得：，，解得，
又，故.
【小问2详解】
由（1）知，，又，
故.
即.
20、（1）
（2）1
【解析】（1）可由题意，点G在线段AC的垂直平分线上，可利用椭圆的定义，得到点G的轨迹为椭圆，然后利用已知的长度关系求解出椭圆方程；
（2）可通过设l的方程，利用l是圆O的切线，通过点到直线的距离得到一组等量关系，然后将直线与椭圆联立方程，计算弦长，表示出△MNO面积的表达式，将上面得到的等量关系代入利用基本不等式即可求解出最值.
【小问1详解】
依题意有，，
即G点轨迹是以A，B为焦点的椭圆，设椭圆方程为
由题意可知，，则，，
所以曲线T的方程为
【小问2详解】
设，，设直线l的方程为，
因为直线l与圆相切，所以，即，
联立直线l与椭圆的方程，整理得，
，
由韦达定理可得，，
所以，
又点O到直线l的距离为1，
所以

当且仅当，即时，取等号，
所以的面积的最大值为1
21、（1）在R上单调递增，无单调递减区间；
（2）证明见解析.
【解析】（1）对求导，令并应用导数求最值，确定的符号，即可知的单调性.
（2）利用作差法转化证明的结论，令结合导数研究其单调性，最后讨论的大小关系判断的符号即可证结论.
【小问1详解】
由题设，.
令，则.
当时，单调递减；当时，单调递增
故，即，则在R上单调递增，无单调递减区间.
【小问2详解】
.
令，则.
令，则，显然在R上单调递增，且，
∴当时，单调递减；当时，单调递增.
故，即，在R上单调递增，又，
∴当时，，；当时，，；当时，.
综上，，即.
【点睛】关键点点睛：第二问，应用作差法有，构造中间函数并应用导数研究单调性，最后讨论的大小证结论.
22、（1）600吨
（2）该工厂不获利，且需要国家每月至少补贴52500元才能使工厂不亏损
【解析】（1）设该工厂每吨平均处理成本为z，，利用基本不等式求最值可得答案；
（2）设该工厂每月的利润为，利用配方求最值可得答案.
【小问1详解】
设该工厂每吨平均处理成本为z，
，
∴，
当且仅当，即时取等号，
当时，每吨平均处理成本最低.
【小问2详解】
设该工厂每月的利润为，
则，
∴，
当时，，
所以该工厂不获利，且需要国家每月至少补贴52500元才能使工厂不亏损.