2025-2026学年湖北省郧阳中学、恩施高中、随州二中三校数学高二上期末达标检测试题含解析.doc

2025-2026学年湖北省郧阳中学、恩施高中、随州二中三校数学高二上期末达标检测试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列关于抛物线的图象描述正确的是（）
A.开口向上，焦点为 B.开口向右，焦点为
C.开口向上，焦点为 D.开口向右，焦点为
2．直线的倾斜角为（ ）
A.-30° B.60°
C.150° D.120°
3．已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为（ ）
A. B.
C. D.
4．记不超过x的最大整数为，如，.已知数列的通项公式，则使的正整数n的最大值为（）
A.5 B.6
C.15 D.16
5．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的解集是（）

A. B.
C. D.
6．设，“命题”是“命题”的（）
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7．甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，飞行目标被雷达发现的概率为（）
A.0.72 B.0.26
C.0.7 D.0.98
8．已知两条异面直线的方向向量分别是，，则这两条异面直线所成的角满足（ ）
A. B.
C. D.
9．已知函数满足对于恒成立，设则下列不等关系正确是（）
A. B.
C. D.
10．函数在（0，e]上的最大值为（ ）
A.－1 B.1
C.0 D.e
11．已知、，则直线的倾斜角为（）
A. B.
C. D.
12．已知等边三角形的一个顶点在椭圆E上，另两个顶点位于E的两个焦点处，则E的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数是R上的单调递增函数，则a的取值范围是______
14．已知在△中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若△的面积为2，边上中线的长为．且，则△外接圆的面积为___________
15．若，满足约束条件，则的最大值为_____________
16．如图，椭圆左顶点为轴上一点满足，且线段与椭圆交于点是以为底边的等腰三角形，则椭圆离心率为__________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（1）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式：.
18．（12分）某城镇为推进生态城镇建设，对城镇的生态环境、市容市貌等方面进行了全面治理，为了解城镇居民对治理情况的评价和建议，现随机抽取了200名居民进行问卷并评分（满分100分），将评分结果制成如下频率分布直方图，已知图中a，b，c成等比数列，且公比为2

（1）求图中a，b，c的值，并估计评分的均值（各段分数用该段中点值作代表）；
（2）根据统计数据，在评分为“50～60”和“80～90”的居民中用分层抽样的方法抽取了6个居民．若从这6个居民中随机选择2个参加座谈，求所抽取的2个居民中至少有1个评分在“80～90”的概率
19．（12分）如图，四棱锥中，是边长为4的正三角形，为正方形，平面平面，、分别为、中点.

（1）证明：平面；
（2）求直线EP与平面AEF所成角的正弦值.
20．（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合，过点的直线与椭圆相交于、两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若以为直径的圆过坐标原点，求的值.
21．（12分）已知正项等差数列满足，
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和
22．（10分）已知函数
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】把化成抛物线标准方程，依据抛物线几何性质看开口方向，求其焦点坐标即可解决.
【详解】，即.则，即
故此抛物线开口向上，焦点为
故选：A
2、C
【解析】根据直线斜率即可得倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为
由已知得，
所以直线的斜率，
由于，

故选：C.
3、C
【解析】根据题意求得直线l的方程，设，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求得，再利用弦长公式即可得出答案.
【详解】由椭圆知，，所以
所以右焦点坐标为，则直线的方程为，
设，
联立，消y得，，
则，
所以.
即弦AB长为.
故选：C.
4、C
【解析】根据取整函数的定义，可求出的值，即可得到答案；
【详解】，，
，
，，
，
当时，，
使的正整数n的最大值为，
故选：C
5、C
【解析】先由图像分析出的正负，直接解不等式即可得到答案.
【详解】由函数的图象可知, 在区间上单调递减,在区间(0,2)上单调递增，即当时, ;当x∈(0,2)时, .
因为可化为或，解得：0
【详解】由，则或
所以“”可推出“或”
但“或”不能推出“”
故命题是命题充分且不必要条件
故选：A
【点睛】本题主要考查充分、必要条件的概念理解，属基础题.
7、D
【解析】利用对立事件的概率求法求飞行目标被雷达发现的概率.
【详解】由题设，飞行目标不被甲、乙发现的概率分别为、，
所以飞行目标被雷达发现的概率为.
故选：D
8、D
【解析】利用向量夹角余弦公式直接求解
【详解】解：两条异面直线的方向向量分别是，，
这两条异面直线所成的角满足：，
，
故选：D
9、A
【解析】由条件可得函数为上的增函数，构造函数，利用函数单调性比较的大小，再根据函数的单调性确定各选项的对错.
【详解】设，则，
∵，
∴，
∴ 函数在上为增函数，
∵ ，∴，故，所以，C错，
令()，则，
当时，，当时，
∴ 函数在区间上为增函数，在区间上为减函数，
又，∴ ，
∴ ，即，
∴ ，故，所以，D错，
，故，所以，A对，
，故，所以，B错，
故选：A.
10、A
【解析】对函数求导，然后求出函数的单调区间，从而可求出函数的最大值
【详解】由，得，
当时，，当，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，
故选：A
11、B
【解析】设直线的倾斜角为，利用直线的斜率公式求出直线的斜率，进而可得出直线的倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为，由斜率公式可得，
，因此，.
故选：B.
12、B
【解析】根据已知条件求得的关系式，从而求得椭圆的离心率.
【详解】依题意可知，
所以.
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】对求导，由题设有恒成立，再利用导数求的最小值，即可求a的范围.
【详解】由题设，，又在 R上的单调递增函数，
∴恒成立，令，则，
∴当时，则递减；当时，则递增.
∴，故.
故答案为：.
14、或
【解析】由已知，结合正弦定理边角关系及三角形内角的性质可得，再根据三角形面积公式、余弦定理列方程求边长b、c，应用余弦定理求边长a，根据正弦定理求外接圆半径，再用圆的面积公式求面积.
【详解】由题设及正弦定理边角关系有，又，
∴，
∴，
∴．又，
∴，即
又据题意，得，且，
∴或，故或，
∴△外接圆的半径或，
∴△外接圆的面积为或
故答案为：或
15、6
【解析】首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式，之后在图中画出直线，在上下移动的过程中，结合的几何意义，可以发现直线过B点时取得最大值，联立方程组，求得点B的坐标代入目标函数解析式，求得最大值.
【详解】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：

由，可得，
画出直线，将其上下移动
结合的几何意义，可知当直线在y轴截距最大时，z取得最大值，
由，解得，
此时，故答案为6.
点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.
16、##
【解析】根据题设条件可得坐标，代入椭圆方程后可求椭圆的离心率.
【详解】因为，故，，
且在轴的正半轴上，则在第二象限中，
故，代入椭圆方程有：
即，故
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）答案见解析.
【解析】（1）由题设可得，进而可知在恒成立，即可求参数范围.
（2）题设不等式等价于，讨论的大小并根据一元二次不等式的解法求解集即可.
【小问1详解】
当时，得，即.
由，则，
∴，即，
∴，即，
∴实数的取值范围是.
【小问2详解】
由，即，即.
①当时，不等式解集为；
②当时，不等式的解集为；
③当时，不等式的解集为.
综上，当时﹐不等式的解集为；当时，不等式的解集为﹔当时，不等式的解集为.
18、（1），，，均值为65.6
（2）
【解析】（1）根据a，b，c成等比数列且公比为2，得到a，b，c的关系，利用频率之和为1，求出a，b，c，估计评分的均值；（2）利用列举法得到基本事件，求出相应的概率.
【小问1详解】
由题意得，，，
有，
所以，即，
解得，于是，
评分在40～50，50～60，60～70，70～80，80～90，90～100的概率分别为0.15，0.20，0.30，0.20，0.10，0.05，则均分估计值为
【小问2详解】
评分在“50～60”和“80～90”分别有40人和20人
则所抽取的6个居民中，评分在“80～90”一组有2人，记为A1，A2，评分在“50～60”一组4人，记为B1，B2，B3，B4
从这6人中选取2人的所有基本事件有：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4），共15个
其中至少有1个评分在“80～90”的基本事件有9个
则所求的概率，
即抽取的2个居民中至少有1个评分在“80～90”的概率为
19、（1）见解析 （2）
【解析】（1）连接，证明，即可证明平面；
（2）取的中点，连接，由平面平面，得平面，建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法即可求得答案.
【小问1详解】
证明：连接，
是正方形，是的中点，是的中点，
是的中点，，
平面，平面，平面；
【小问2详解】
取的中点，连接，则，
因为是边长为4的正三角形，所以，
因为平面平面，且平面平面，
所以平面，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的法向量，
则有，可取，
则，
所以直线EP与平面AEF所成角的正弦值为.

20、 (1) ；(2)
【解析】（1）由离心率得到，由椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合，得到，进而可求出结果；
（2）先由题意，得直线的斜率存在，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，设，根据韦达定理，得到，，再由以为直径的圆过坐标原点，得到，进而可求出结果.
详解】(1)由题意知，
∴，即 ，
又双曲线的焦点坐标为，椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合，
所以，∴，
故椭圆的方程为.
(2)解：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为
由得：
由得：
设，则，，
∴
因为以为直径的圆过坐标原点，
所以，

.满足条件
故.
【点睛】本题主要考查椭圆的方程，以及椭圆的应用，熟记椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质即可，解决此类问题时，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、判别式等求解，属于常考题型.
21、（1）；（2）.
【解析】（1）设数首项为，公差为，由，，列出方程组，求得，，即可求出数列的通项公式；
（2），利用列项相消求和法即可得出答案.
【详解】（1）设数首项为，公差为，
由题得.
解得，，（负值舍去）
所以；
（2）由（1）得
则
.
22、（1）
（2）
【解析】（1）先求导，由到数值求出斜率，最后根据点斜式求出方程即可；
（2）采用分离常数法，转化为求新函数的值域即可.
【小问1详解】
时，，
，则，，
所以在点处的切线方程为，即
【小问2详解】
对任意的，恒成立，
即，对任意的，
令，即，
则，
因为，，
所以当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，
则，所以