安徽省黄山市屯溪区第一中学2025年数学高二第一学期期末质量检测模拟试题含解析.doc

安徽省黄山市屯溪区第一中学2025年数学高二第一学期期末质量检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若、、为空间三个单位向量，，且与、所成的角均为，则（ ）
A.5 B.
C. D.
2．若（为虚数单位），则复数在复平面内的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3．已知抛物线的焦点坐标是，则抛物线的标准方程为
A. B.
C. D.
4．若，则下列不等式①；②；③；④中，正确的不等式有（ ）
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
5．等比数列中，，，则（ ）
A. B.
C. D.
6．人教A版选择性必修二教材的封面图案是斐波那契螺旋线，它被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等．斐波那契螺旋线的画法是:以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．下图为该螺旋线在正方形边长为1，1，2，3，5，8的部分，如图建立平面直角坐标系（规定小方格的边长为1），则接下来的一段圆弧所在圆的方程为（ ）

A. B.
C. D.
7．函数在区间上平均变化率等于（ ）
A. B.
C. D.
8．等轴双曲线渐近线是（）
A. B.
C. D.
9．过双曲线的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为M，且FM的中点A在双曲线上，则双曲线离心率e等于（ ）
A. B.
C. D.
10．已知集合，，则
A. B.
C. D
11．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生数为（）
A.10 B.15
C.20 D.30
12．三棱锥D－ABC中，AC＝BD，且异面直线AC与BD所成角为60°，E、F分别是棱DC、AB的中点，则EF和AC所成的角等于( )
A.30° B.30°或60°
C.60° D.120°
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某古典概型的样本空间，事件，则___________.
14．已知抛物线的焦点为，定点，若直线与抛物线相交于、两点（点在、中间），且与抛物线的准线交于点，若，则的长为______.
15．已知函数，___________.
16．给定点、、与点，求点到平面的距离______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知点在抛物线（）上，过点A且斜率为1直线与抛物线的另一个交点为B
（1）求p的值和抛物线的焦点坐标；
（2）求弦长
18．（12分）已知集合，设
（1）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
（2）若¬q是¬p的必要不充分条件，求实数a的取值范围
19．（12分）在等差数列中，
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和.
20．（12分）如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，.

（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由.
21．（12分）如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，E为PD的中点.

（1）证明：PB∥面AEC；
（2）设AP＝1，AD＝，三棱锥P－ABD的体积V＝，求点A到平面PBC的距离.
22．（10分）平行六面体，

（1）若，，，，，，求长；
（2）若以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60°，则AC与所成角的余弦值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】先求的平方后再求解即可.
【详解】
，
故，
故选：C
2、A
【解析】根据复数运算法则求出z＝a＋bi形式，根据复数的几何意义即可求解.
【详解】，
z对应的点在第一象限.
故选：A
3、D
【解析】根据抛物线的焦点坐标得到2p=4,进而得到方程.
【详解】抛物线的焦点坐标是,即p=2,2p=4,故得到方程为.
故答案为D.
【点睛】这个题目考查了抛物线的标准方程的求法，题目较为简单.
4、C
【解析】由条件，可得，利用不等式的性质和基本不等式可判断①、②、③、④中不等式的正误，得出答案.
【详解】因为，所以.
因此，且，且②、③不正确.
所以，所以①正确，
由得、均为正数，所以，（由条件，所以等号不成立），所以④正确.
故选：C.
5、D
【解析】设公比为，依题意得到方程，即可求出，再根据等比数列通项公式计算可得；
【详解】解：设公比为，因为，，所以，即，解得，所以；
故选：D
6、C
【解析】由题意可知图中每90°的圆弧半径符合斐波那契数1，1，2，3，5，8，…，从而可求出下一段圆弧的半径为13，由于每一个圆弧为四分之一圆，从而可求出下一段圆弧所以圆的圆心，进而可得其方程
【详解】解：由题意可知图中每90°的圆弧半径符合斐波那契数1，1，2，3，5，8，…，从而可求出下一段圆弧的半径为13，
由题意可知下一段圆弧过点，
因为每一段圆弧的圆心角都为90°，
所以下一段圆弧所在圆的圆心与点的连线平行于轴，
因为下一段圆弧半径为13，
所以所求圆的圆心为，
所以所求圆的方程为，
故选：C
7、C
【解析】根据平均变化率的定义算出答案即可.
【详解】函数在区间上的平均变化率等于
故选：C
8、A
【解析】对等轴双曲线的焦点的位置进行分类讨论，可得出等轴双曲线的渐近线方程.
【详解】因为，若双曲线的焦点在轴上，则等轴双曲线的渐近线方程为；
若双曲线的焦点在轴上，则等轴双曲线的渐近线方程为.
综上所述，等轴双曲线的渐近线方程为.
故选：A.
9、A
【解析】根据题意可表示出渐近线方程，进而可知的斜率，表示出直线方程，求出的坐标进而求得A点坐标，代入双曲线方程整理求得和的关系式，进而求得离心率
【详解】：
由题意设相应的渐近线：，
则根据直线的斜率为，则的方程为 ，
联立双曲线渐近线方程求出，
则，，则的中点，
把中点坐标代入双曲线方程中，即，
整理得 ，即 ，求得，即离心率为，
故答案为：
10、B
【解析】由交集定义直接求解即可.
【详解】集合，，则.
故选B.
【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.
11、C
【解析】根据抽取比例乘以即可求解.
【详解】由题意可得应从高三年级抽取的学生数为，
故选：C.
12、B
【解析】取AD中点为G，连接GF、GE，易知△EFG为等腰三角形，且∠EGF为异面直线AC和BD所成角或其补角，据此可求∠FEG大小，从而得EF和AC所成的角的大小
【详解】如图，

取AD中点为G，连接GF、GE，
易知FG∥BD，GE∥AC，且FG＝，GE＝AC，
故FG＝GE，∠EGF为异面直线AC和BD所成角或其补角，
故∠EGF＝60°或120°
故EF和AC所成角为∠FEG或其补角，
当∠EGF＝60°时，∠FEG＝60°，
当∠EGF＝120°时，∠FEG＝30°，
∴EF和AC所成的角等于30°或60°
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、##0.5
【解析】根据定义直接计算得到答案.
【详解】.
故答案为：.
14、
【解析】分别过点、作、垂直于抛物线的准线于、，则，求出直线的方程，可求得抛物线的焦点的坐标，可得出抛物线的标准方程，再将直线的方程与抛物线的方程联立，求出点的纵坐标，利用抛物线的定义可求得线段的长.
【详解】如图，分别过点、作、垂直于抛物线的准线于、，则，

由得，所以，，又，
所以，直线的方程为，所以，，则，
则抛物线的方程为，
设点的纵坐标为，由，得或，
因为点在、之间，则，
所以，.
故答案为：.
15、
【解析】直接利用分段函数的解析式即可求解.
【详解】因为，
所以，
所以.
故答案为：-1
16、
【解析】先求出平面的法向量，再利用点到面的距离公式计算即可.
【详解】设平面的法向量为，点到平面的距离为，
，
，即，
令，得

故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），焦点坐标
（2）
【解析】（1）将点的坐标代入抛物线的方程，可求得的值，进而可得抛物线的焦点坐标；
（2）写出直线的方程，联立直线与抛物线方程求得交点坐标，利用两点之间的距离公式即可求解.
【小问1详解】
因为点在抛物线上，所以，即
所以抛物线的方程为，焦点坐标为；
【小问2详解】
由已知得直线方程为，即
由得，解得或
所以，则
18、（1）
（2）
【解析】（1）先解出集合A、B，然后根据p是q的充分不必要条件列出不等式组求解.
（2）¬q是¬p的必要不充分条件可知q是p的充分不必要条件，然后求解.
【小问1详解】
解：由题意得：
，
p是q的充分不必要条件，所以集合A是集合B的真子集
∴，即，所以实数a的取值范围.
【小问2详解】
¬q是¬p的必要不充分条件
p是q的必要不充分条件，即q是p的充分不必要条件
集合B是集合A的真子集
∴，故实数a的取值范围为
19、（1）
（2）
【解析】（1）根据等差数列条件列方程，即可求通项公式；
（2）先由等比数列通项公式求出，解得，分组求和即可.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
则，
∴，
由，
∴，
∴数列的通项公式为.
【小问2详解】
∵数列是首项为1，公比为2的等比数列，
∴，即，
∴，
∴

.
20、（1）；（2）存在，为上靠近点的三等分点
【解析】（1）分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
求出的坐标以及平面的一个法向量，计算即可求解；
（2）假设线段上存在点符合题意，设可得，
求出平面的法向量和平面的法向量，利用即可求出的值，即可求解.
【详解】（1）分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示：

则，
，，.
不妨设平面的一个法向量,
则有，即，取.
设直线与平面所成的角为，则
,
所以直线与平面所成角的正弦值为；
（2）假设线段上存在点，使得二面角的余弦值.
设，则,
从而，，.
设平面的法向量,
则有，即，取.
设平面的法向量,
则有，即，取.
,
解得：或（舍）,
故存在点满足条件，为上靠近点的三等分点
【点睛】求空间角的常用方法：
（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.
21、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】(1)设BD交AC于点O，连结EO，根据三角形中位线证明BP∥EO即可；
(2)根据三棱锥P－ABD的体积求出AB长度，过A作AH⊥BP于H，可证AH即为要求的距离，根据直角三角形等面积法即可求AH长度.
【小问1详解】
设BD交AC于点O，连结EO.

∵ABCD为矩形，
∴O为BD的中点.
又E为PD的中点，∴EO∥PB，
又EO平面AEC，PB平面AEC，∴PB∥平面AEC.
【小问2详解】
，又V＝，可得AB＝2.
在面PAB内过点A作交于.

由题设易知平面，
∴故平面，
由等面积法得：，
∴点A到平面的距离为.
22、（1）；
（2）.
【解析】(1)由，可得，再利用数量积运算性质即可得出；
(2)以为一组基底，设与所成的角为，由求解.
【小问1详解】
，，，
，
∴
，
；
【小问2详解】
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵＝8，∴，
设与所成的角为，则.