2025-2026学年广东省河源市连平县忠信中学数学高二上期末考试模拟试题含解析.doc

2025-2026学年广东省河源市连平县忠信中学数学高二上期末考试模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数在处有极小值，则c的值为（ ）
A.2 B.4
C.6 D.2或6
2．在等比数列中，若，则公比（）
A. B.
C.2 D.3
3．若正三棱柱的所有棱长都相等，D是的中点，则直线AD与平面所成角的正弦值为
A. B.
C. D.
4．已知x＞0、y＞0，且1，若恒成立，则实数m的取值范围为（）
A.(1,9) B.(9,1)
C.[9,1] D.(∞,1)∪(9,+∞)
5．在数列中，已知，则“”是“是单调递增数列”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6．已知等差数列前项和为，若，则的公差为（）
A.4 B.3
C.2 D.1
7．已知椭圆的短轴长和焦距相等，则a的值为（ ）
A.1 B.
C. D.
8．已知点在平面α上，其法向量，则下列点不在平面α上的是（ ）
A. B.
C. D.
9．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为()
A. B.
C. D.
10．为调查参加考试的高二级1200名学生的成绩情况，从中抽查了100名学生的成绩，就这个问题来说，下列说法正确的是（）
A.1200名学生是总体 B.每个学生是个体
C.样本容量是100 D.抽取的100名学生是样本
11．将正整数1，2，3，4，…按如图所示的方式排成三角形数组，则第19行从左往右数第5个数是（ ）

A.381 B.361
C.329 D.400
12．已知椭圆的离心率为，则（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数是上的奇函数，，对，成立，则的解集为_________
14．如图，在矩形中，，，将沿BD所在的直线进行翻折，得到空间四边形.

给出下面三个结论：
①在翻折过程中，存在某个位置，使得；
②在翻折过程中，三棱锥的体积不大于；
③在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线与所成角45°.
其中所有正确结论的序号是___________.
15．已知数列的前项和为，且满足，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为____________.
16．在2021件产品中有10件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知抛物线的方程为，点，过点的直线交抛物线于，两点
（1）是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；
（2）若点是直线上的动点，且，求面积的最小值
18．（12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知，A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点A作斜率为的直线交椭圆于另一点E，连接EP并延长交椭圆于另一点F，记直线BF的斜率为．若，求直线EF的方程
19．（12分）公差不为零的等差数列中，已知其前n项和为，若，且成等比数列
（1）求数列的通项；
（2）当时，求数列的前n和
20．（12分）已知，：，：.
（1）若，为真命题，为假命题，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围
21．（12分）证明：是无理数．（我们知道任意一个有理数都可以写成形如（m，n互质，）的形式）
22．（10分）（1）求过点，且与直线垂直的直线方程；
（2）甲，乙，丙等7名同学站成一排，若甲和乙相邻，但甲乙二人都不和丙相邻，则共有多少种不同排法？
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】根据求出c，进而得到函数的单调性，然后根据极小值的定义判断答案.
【详解】由题意，，则，所以或.
若c=2，则，时，，单调递增，时，，单调递减，时，，单调递增.函数在处有极小值，满足题意；
若c=6，则，函数R上单调递增，不合题意.
综上：c=2.
故选：A.
2、C
【解析】由题得，化简即得解.
【详解】因为，
所以，
所以，
解得.
故选：C
3、A
【解析】建立空间直角坐标系，得到相关点的坐标后求出直线的方向向量和平面的法向量，借助向量的运算求出线面角的正弦值
【详解】取AC的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系

设三棱柱的棱长为2，则，
∴
设为平面的一个法向量，
由故
令，得
设直线AD与平面所成角为，
则，
所以直线AD与平面所成角的正弦值为
故选A
【点睛】空间向量的引入为解决立体几何问题提供了较好的方法，解题时首先要建立适当的坐标系，得到相关点的坐标后借助向量的运算，将空间图形的位置关系或数量关系转化为向量的运算处理．在解决空间角的问题时，首先求出向量夹角的余弦值，然后再转化为所求的空间角．解题时要注意向量的夹角和空间角之间的联系和区别，避免出现错误
4、B
【解析】应用基本不等式“1”的代换求的最小值，注意等号成立条件，再根据题设不等式恒成立有，解一元二次不等式求解集即可.
【详解】由题设，，当且仅当时等号成立，
∴要使恒成立，只需，故，
∴.
故选：B.
5、C
【解析】分别求出当、“是单调递增数列”时实数的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】已知，若，即，解得.
若数列是单调递增数列，对任意的，，即，
所以，对任意的恒成立，故，
因此，“”是“是单调递增数列”充要条件.
故选：C.
6、A
【解析】由已知，结合等差数列前n项和公式、通项公式列方程组求公差即可.
详解】由题设，，解得.
故选：A
7、A
【解析】由题设及椭圆方程可得，即可求参数a的值.
【详解】由题设易知：椭圆参数，即有，可得
故选：A
8、D
【解析】根据法向量的定义，利用向量垂直对四个选项一一验证即可.
【详解】
对于A：记,则.
因为，所以点在平面α上
对于B：记,则.
因为，所以点在平面α上
对于C：记,则.
因为，所以点在平面α上
对于D：记,则.
因为，所以点不在平面α上.
故选：D
9、A
【解析】根据双曲线渐近线方程得a和b的关系，根据焦点在抛物线准线上得c的值，结合a、b、c关系即可求解.
【详解】∵双曲线的一条渐近线方程是，
∴，
∵准线方程是，∴，
∵，∴，，
∴双曲线标准方程为：.
故选：A.
10、C
【解析】根据总体、个体、样本容量、样本的定义，结合题意，即可判断和选择.
【详解】根据题意，总体是名学生的成绩；个体是每个学生的成绩；
样本容量是，样本是抽取的100名学生的成绩；故正确的是C.
故选：C.
11、C
【解析】观察规律可知，从第一行起，每一行最后一个数是连续的完全平方数，据此容易得出答案.
【详解】由图中数字排列规律可知：
第1行从左往右最后1个数是，第2行从左往右最后1个数是，第3行从左往右最后1个数是，……第18行从左往右最后1个数为，第19行从左往右第5个数是
故选：C.
12、D
【解析】由离心率及椭圆参数关系可得，进而可得.
【详解】因为，则，所以.
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据题意可以设，求其导数可知在上的单调性，由是上的奇函数，可知的奇偶性，进而可知在上的单调性，
由可知的零点，最后分类讨论即可.
【详解】设，则对，，
则在上为单调递增函数，
∵函数是上的奇函数，∴，
∴，

∴偶函数，∴在上为单调递减函数，
又∵，∴，由已知得，
所以当时，；当时，；
当时，；当时，；
若，则；
若，则或，解得或或；
则的解集为.
故答案为：.
14、②③
【解析】在矩形中，过点作的垂线，垂足分别为，对于①，连接，假设存在某个位置，使得，则可得到，进而得矛盾，可判断；对于②在翻折过程中，当平面平面时，三棱锥的体积取得最大值，再根据几何关系计算即可；对于③，由题知，，设平面与平面所成的二面角为，进而得，进而得异面直线与所成角的余弦值的范围为，即可判断.
【详解】解：如图1，在矩形中，过点作的垂线，垂足分别为，
则在在翻折过程中，形成如图2的几何体，
故对于①连接，假设存在某个位置，使得，由于，，
所以平面，所以，这与图1中的与不垂直矛盾，故错误；
对于②在翻折过程中，当平面平面时，三棱锥的体积取得最大值，此时，体积为，故三棱锥的体积不大于，故正确；
对于③，，，由②的讨论得，
所以，
所以
，
设翻折过程中，平面与平面所成的二面角为，
所以，故，
由于要使直线与为异面直线，所以，
所以，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值的范围为，
由于，
所以在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线与所成角为45°.
故答案为：②③

15、
【解析】先求出，然后当时，由，得，两式相减可求出，再验证，从而可得数列为等比数列，进而可求出，再将问题转化为在上恒成立，所以，从而可求出实数的取值范围
【详解】当时，，得，
当时，由，
得，
两式相减得，得，满足此式，
所以，
因为，
所以数列是以为公比，为首项的等比数列，
所以，
所以对于任意的，不等式恒成立，可转化为对于任意的，恒成立，
即在上恒成立，
所以，解得或，
所以实数的取值范围为
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查数列通项公的求法，等比数列求和公式的应用，考查不等式恒成立问题，解题的关键是求出数列的通项公式后求得，再将问题转化为在上恒成立求解即可，考查数学转化思想，属于较难题
16、
【解析】设抽到的次品的个数为，则，求出对应的概率即得解.
【详解】解：设抽到的次品的个数为，则，
所以
所以抽到次品个数的数学期望的值是
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）是,；（2）
【解析】（1）由题意设出所在直线方程，与抛物线方程联立，化为关于的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得为定值；
（2）当的斜率为0时，求得三角形的面积为；当的斜率不为0时，由弦长公式求解，再由点到直线的距离公式求到的距离，代入三角形面积公式，利用函数单调性可得三角形的面积大于，由此可得面积的最小值
【详解】（1）由题意知，直线斜率存在，不妨设其方程为，
联立抛物线的方程可得，
设，，则，，
所以，，
所以
，
所以是定值
（2）当直线的斜率为0时，，
又，，
此时
当直线的斜率不力0时，
，
又因为，且直线的斜率不为0，
所以，即，
所以点到直线的距离，
此时，
因为，所以，
综上，面积的最小值为
18、（1）
（2）
【解析】（1）由离心率得关系，短轴求出，结合关系式解出，可得椭圆的标准方程；
（2）设，，过EF的方程为，联立直线与椭圆方程得韦达定理，结合斜率定义和化简得，由在椭圆上代换得，联立韦达定理可求，进而得解；
【小问1详解】
由题意可得，，，
又，解得所以椭圆的标准方程为；
【小问2详解】
由1）得，，显然直线EF的斜率存在且不为0，设，，则，都不为和0
设直线EF的方程为，由消去y得，显然，则，
因为，所以，
等式两边平方得①
又因为，在椭圆上，所以，②
将②代入①可得，即，
所以，即，解得或（舍去，此时）
所以直线EF的方程为
19、（1）
（2）
【解析】（1）根据等差数列的性质，结合题意，可求得值，根据成等比数列，即可求得d值，代入等差数列通项公式，即可得答案；
（2）由（1）可求得，即可得表达式，根据裂项相消求和法，即可得答案.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
由等差数列性质可得，解得，
又成等比数列，
所以，整理得，
因为，
所以，
所以
【小问2详解】
由（1）可得，则，
所以，
所以

20、（1）
（2）
【解析】(1)化简命题p，将m=3代入求出命题q，再根据或、且连接的命题真假确定p，q真假即可得解；
(2)由给定条件可得p是q的必要不充分条件，再列式计算作答.
【小问1详解】
依题意，：，
：，得：.
当时，：，
因为真命题，为假命题，则与一真一假，
当真假时，即或，无解，
当假真时，即或，解得或，
综上得：或，
所以实数x的取值范围是；
【小问2详解】
因是的充分不必要条件，则p是q的必要不充分条件，
于是得，解得，
所以实数m的取值范围是
21、详见解析
【解析】利用反证法，即可推得矛盾.
【详解】假设有理数，则，则，
为整数，的尾数只能是0,1,4,5,6,9，的尾数只能是0,1,4,5,6,9，
则的尾数是0,2,8，由得，尾数为0，则的尾数是0，而的尾数为0或5，
这与为最简分数，的最大公约数是1，相矛盾，
所以假设不正确，是无理数.
22、（1）；（2）960
【解析】（1）根据题意，设要求直线为，将点的坐标代入，求出的值，即可得答案；
（2）根据题意，分2步进行分析：先将除甲乙丙之外的4人全排列，再将甲乙看成一个整体，与丙一起安排在4人的空位中，由分步计数原理计算可得答案
【详解】解：（1）根据题意，设所求直线为，
又由所求直线经过点，即，则，
即所求直线；
（2）根据题意，分2步进行分析：
先将除甲乙丙之外的4人全排列，有种排法，
再将甲乙看成一个整体，与丙一起安排在4人的空位中，有种排法，
则有种排法