2026届江西省南昌市进贤二中数学高二第一学期期末考试模拟试题含解析.doc

2026届江西省南昌市进贤二中数学高二第一学期期末考试模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．圆心，半径为的圆的方程是（）
A. B.
C. D.
2．若直线经过，,两点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
3．若圆与直线相切，则（）
A.3 B.或3
C. D.或
4．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，两数和为偶数的概率为（ ）
A. B.
C. D.
5．已知是定义在上的函数，且对任意都有，若函数的图象关于点对称，且，则（）
A. B.
C. D.
6．数列2，0，2，0，…的通项公式可以为（）
A. B.
C. D.
7．某班进行了一次数学测试，全班学生的成绩都落在区间内，其成绩的频率分布直方图如图所示，若该班学生这次数学测试成绩的中位数的估计值为，则的值为（ ）

A. B.
C. D.
8．设函数的导函数是，若，则（）
A. B.
C. D.
9．设，则曲线在点处的切线的倾斜角是（ ）
A. B.
C. D.
10．将点的极坐标化成直角坐标是(   )
A. B.
C. D.
11．在三棱锥中，平面；记直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）
A. B.
C. D.
12．已知，，则的最小值为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．直线与直线的夹角大小等于_______
14．在△ABC中，，AB=3，，则________
15．已知椭圆的右顶点为P，右焦点F与抛物线的焦点重合，的顶点与的中心O重合.若与相交于点A，B，且四边形为菱形，则的离心率为___________.
16．双曲线的右焦点到C的渐近线的距离为，则C渐近线方程为______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆的长轴长是，以其短轴为直径的圆过椭圆的左右焦点，.
（1）求椭圆E的方程；
（2）过椭圆E左焦点作不与坐标轴垂直的直线，交椭圆于M，N两点，线段MN的垂直平分线与y轴负半轴交于点Q，若点Q的纵坐标的最大值是，求面积的取值范围.
18．（12分已知椭圆的离心率为，且经过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知，经过点的直线与椭圆交于、两点，若原点到直线的距离为，且，求直线的方程.
19．（12分）已知函数，且
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最小值
20．（12分）已知空间中三点，，，设，
（1）求向量与向量的夹角的余弦值；
（2）若与互相垂直，求实数的值
21．（12分）为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西45°方向km处设立观测点A，在平台O的正东方向12km处设立观测点B，规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系

（1）试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离；
（2）某日经观测发现，在该平台O正南10km C处，有一艘轮船正以每小时km的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？
22．（10分）已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，记在区间的最大值为M，最小值为N，求的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】根据圆心坐标及半径，即可得到圆的方程.
【详解】因为圆心为，半径为，
所以圆的方程为:.
故选：D.
2、D
【解析】应用两点式求直线斜率得，结合及，即可求的范围.
【详解】根据题意，直线经过，,，
∴直线的斜率，又，
∴，即，又，
∴；
故选：D
3、B
【解析】根据圆与与直线相切，利用圆心到直线的距离等于半径求解.
【详解】圆的标准方程为：，
则圆心为，半径为，
因为圆与与直线相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，
即，
解得或，
故选：B
4、B
【解析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】从中任取个不同的数的方法有，共种，
其中和为偶数的有共种，
所以所求的概率为.
故选：B
【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，属于基础题.
5、D
【解析】令，代入可得，即得，再由函数的图象关于点对称，判断得函数的图象关于点对称，即，则化简可得，即函数的周期为，从而代入求解.
【详解】令，得，即，所以，
因为函数的图象关于点对称，
所以函数的图象关于点对称，即，
所以，
即，可得，
则，
故选：D.
第II卷（非选择题
6、D
【解析】举特例排除ABC，分和讨论确定D.
【详解】A.当时，，不符；
B.当时，，不符；
C.当时，，不符；
D.当时，，
当时，，符合.
故选：D.
7、A
【解析】根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求得结果.
【详解】由题意有，得，
又由，得，
解得，，有
故选：A.
8、A
【解析】求导后，令，可求得，再令可求得结果.
【详解】因为，所以，
所以，所以，
所以，所以.
故选：A
【点睛】本题考查了导数的计算，考查了求导函数值，属于基础题.
9、C
【解析】根据导数的概念可得，再利用导数的几何意义即可求解.
【详解】因为，
所以，则曲线在点处的切线斜率为，
故所求切线的倾斜角为.
故选：C
10、A
【解析】本题考查极坐标与直角坐标互化
由点M的极坐标，知
极坐标与直角坐标的关系为，所以的直角坐标为
即
故正确答案为A
11、A
【解析】先得到三棱锥的每一个面都是直角三角形，然后可得与平面所成的角，二面角的平面角，在直角三角形中算出他们的余弦值，利用向量法计算直线与直线所成的角为的余弦值，然后比较大小.
【详解】令，
由平面，且平面
，又，，
面
三棱锥的每一个面都是直角三角形.
与平面所成的角，
二面角的平面角，
由已知可得，
，
，
又，
则
所以，又均为锐角，

故选：A.

12、B
【解析】将代数式展开，然后利用基本不等式可求出该代数式的最小值.
【详解】，，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立
因此，的最小值为.
故选B.
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，在利用基本不等式时要注意“一正、二定、三相等”条件的成立，考查计算能力，属于中等题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、##
【解析】根据直线的倾斜角可得答案.
【详解】直线是与轴平行的直线，
直线的斜率为1，即与轴的夹角为角，
故直线与直线的夹角大小等于.
故答案为：.
14、3
【解析】计算得出，可得出，再利用平面向量数量积的运算性质可求得结果.
【详解】∵，，，
∴

故答案为：3.
15、
【解析】设抛物线的方程为得到，把代入椭圆的方程化简即得解.
【详解】
设抛物线的方程为.
由题得，代入椭圆的方程得，
所以，
所以，
所以
因为，
所以.
故答案为：
【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率常用的方法有：（1）公式法（根据已知求出代入离心率的公式即得解）；（2）方程法（直接由已知得到关于离心率的方程解方程即得解）.要根据已知条件灵活选择方法求解.
16、
【解析】根据给定条件求出双曲线渐近线，再用点到直线的距离公式计算作答
【详解】双曲线的渐近线为：，即，
依题意，，即，解得，
所以C渐近线方程为.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）
【解析】(1)根据给定条件结合列式计算即可作答.
(2)设出直线MN的方程，与椭圆方程联立并结合已知求出m的范围，
再借助韦达定理求出面积函数，利用函数单调性计算作答.
【小问1详解】
令椭圆半焦距为c，依题意，，解得，
所以椭圆E的方程为.
【小问2详解】
由(1)知，椭圆E左焦点为，设过椭圆E左焦点的直线为(存在且不为0)，
由消去x得，，设，
则，线段的中点为，
因此线段的垂直平分线为，由得的纵坐标为，
依题意，且，解得，由(1)知，，
，
令，在上单调递减，
当，即时，，当，即时，，
所以面积的取值范围.
【点睛】结论点睛：过定点的直线l：y=kxb交圆锥曲线于点，，则面积；
过定点直线l：x=ty+a交圆锥曲线于点，，则面积
18、（1）；（2）.
【解析】（1）由已知条件可得出关于、、的方程组，求出这三个量的值，由此可得出椭圆的标准方程；
（2）分析可知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，由点到直线的距离公式可得出，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由可得出，代入韦达定理求出、的值，由此可得出直线的方程.
【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，解得，
因此，椭圆的标准方程为；
（2）若直线斜率不存在，则直线过原点，不合乎题意.
所以，直线的斜率存在，设斜率为，设直线方程为，设、，
原点到直线的距离为，，即①.
联立直线与椭圆方程可得，
则，则，
由韦达定理可得，.
，则为线段的中点，所以，，
，得，，
所以，，整理可得，
解得，即，，
因此，直线的方程为或.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
（5）代入韦达定理求解.
19、（1）
（2）
【解析】（1）由题意，求出的值，然后根据导数的几何意义即可求解；
（2）根据导数与函数单调性关系，判断函数在区间上的单调性，从而即可求解.
【小问1详解】
解：由题意，，
因为，所以，解得，
所以，，
因为，，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
【小问2详解】
解：因为，，
所以时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即函数在区间上的最小值为.
20、（1）；（2）或.
【解析】（1）坐标表示出、，利用向量夹角的坐标表示求夹角余弦值；
（2）坐标表示出k＋、k－2，利用向量垂直的坐标表示列方程求的值.
【详解】由题设，＝(1,1,0)，＝(－1,0,2)
（1）cosθ＝，
所以和的夹角余弦值为.
（2）k＋＝k(1,1,0)＋(－10,2)＝(k－1,k,2)，k－2＝(k＋2,k,－4)，又(k＋)⊥(k－2)，
则(k－1,k,2)·(k＋2,k,－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝2k2＋k－10＝0，解得k＝－或2.
21、（1）；
（2）会驶入安全预警区，行驶时长为半小时
【解析】（1）先求出A，B的坐标，再由距离公式得出A，B之间的距离；
（2）由三点的坐标列出方程组得出经过三点的圆的方程，设轮船航线所在的直线为，再由几何法得出直线与圆截得的弦长，进而得出安全警示区内行驶时长.
【小问1详解】
由题意得，∴；
【小问2详解】
设圆的方程为，
因为该圆经过三点，∴，得到.
所以该圆方程为：，
化成标准方程为：.
设轮船航线所在的直线为，则直线的方程为：，
圆心（6，8）到直线的距离，
所以直线与圆相交，即轮船会驶入安全预警区.
直线与圆截得的弦长为，行驶时长小时.
即在安全警示区内行驶时长为半小时.
22、（1）答案见解析；
（2）.
【解析】（1）求得，对参数进行分类讨论，根据导函数函数值的正负即可判断的单调性；
（2）根据（1）中所求，求得，以及，再求其取值范围即可.
【小问1详解】
因为，故可得，
令，可得或；
当时，，此时在上单调递增；
当时，当时，，单调递增；当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，当时，，单调递增；当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，和单调递增，在单调递减；
当时，在和单调递增，在单调递减.
【小问2详解】
由（1）可知：当时，在单调递减，在单调递增
又，，故在单调递减，在单调递增.
则的最小值；
又，
当时，的最大值，
此时；
当时，的最大值，
此时，
令，则，
所以在上单调递减，所以，
所以；
所以的取值范围为.