2025-2026学年湖南省邵东县第三中学数学高二第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析.doc

2025-2026学年湖南省邵东县第三中学数学高二第一学期期末教学质量检测模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，满足，则的最小值为（）
A.5 B.-3
C.-5 D.-9
2．已知等差数列前项和为，若，则的公差为（）
A.4 B.3
C.2 D.1
3．如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为

A. B.
C. D.
4．已知直线：与双曲线的两条渐近线分别相交于A、B两点，若C为直线与y轴的交点，且，则k等于（）
A.4 B.6
C. D.
5．已知，条件，条件，则是的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6．过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是
A. B.
C. D.
7．如图，某绿色蔬菜种植基地在A处，要把此处生产的蔬菜沿道路或运送到形状为四边形区域的农贸市场中去，现要求在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路运送蔬菜较近，则该界线所在曲线为（）

A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
8．已知F1(-5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|-|PF2|=2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别为( )
A.双曲线和一条直线 B.双曲线和一条射线
C.双曲线的一支和一条直线 D.双曲线的一支和一条射线
9．我们知道∶用平行于圆锥母线的平面（不过顶点）截圆锥，则平面与圆锥侧面的交线是抛物线一部分，如图，在底面半径和高均为2的圆锥中，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线的焦点到其准线的距离等于（）

A. B.
C. D.1
10．等差数列的公差，且，，则的通项公式是（）
A. B.
C. D.
11．已知函数（为自然对数的底数），若的零点为，极值点为，则（）
A. B.0
C.1 D.2
12．设函数在R上可导，则（）
A. B.
C. D.以上都不对
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知直线l的方向向量，平面的法向量，若，则______
14．已知函数，有且只有一个零点，则实数的取值范围是_______.
15．将某校全体高一年级学生期末数学成绩分为6组：[40，50)， [50，60)， [60，70)， [70，80)， [80，90)， [90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，现需要随机抽取60名学生进行问卷调查，采用按成绩分层随机抽样，则应抽取成绩不少于60分的学生人数为_______________.

16．如图，椭圆的中心在坐标原点，是椭圆的左焦点，分别是椭圆的右顶点和上顶点，当时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，则“黄金椭圆”的离心率___________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，已知平面，底面为正方形，，分别为的中点

（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值
18．（12分）已知曲线在处的切线方程为，且.
（1）求的解析式；
（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
19．（12分）已知椭圆的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设斜率为k的直线与椭圆C交于两点，O为坐标原点，若的面积为定值，判断是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，说明理由.
20．（12分）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，F，G分别是，的中点

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的大小
21．（12分）已知数列的前项和为，且，
（1）求的通项公式；
（2）求的最小值
22．（10分）如图，在四棱锥中，底面四边形为角梯形，，，，O为的中点，，.

（1）证明：平面；
（2）若，求平面与平面所成夹角的余弦值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解
【详解】解：作出可行域，如图内部（含边界），作直线，
在中，，当直线向下平移时，增大，因此把直线向上平移，当直线过点时，
故选：D

2、A
【解析】由已知，结合等差数列前n项和公式、通项公式列方程组求公差即可.
详解】由题设，，解得.
故选：A
3、D
【解析】设AA1=2AB=2，因为，所以异面直线A1B与AD1所成角，
，故选D.
4、D
【解析】先求出双曲线的渐近线方程，然后分别与直线联立，求出A、B两点的横坐标，再利用可求解.
【详解】由双曲线方程可知其渐近线方程为：，
当时，与联立，得，
同理得，
由，且可知，
所以有，解得.
故选：D
5、A
【解析】利用“1”的妙用探讨命题“若p则q”的真假，取特殊值计算说明“若q则p”的真假即可判断作答.
【详解】因为，由得：，
则，
当且仅当，即时取等号，因此，，
因，，由，取，则，，即，，
所以是的充分不必要条件.
故选：A
6、A
【解析】过圆外一点，
引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为，故选
7、C
【解析】设是界限上的一点，则，即，再根据双曲线的定义即可得出答案.
【详解】解：设是界限上的一点，
则，
所以，即，
在中，，
所以点的轨迹为双曲线，
即该界线所在曲线为双曲线.
故选：C.

8、D
【解析】由双曲线定义结合参数a的取值分类讨论而得.
【详解】依题意得，当时，，且，点P的轨迹为双曲线的右支；当时，，故点P的轨迹为一条射线.故选D.
故选：D
9、C
【解析】由圆锥的底面半径和高及E的位置可得，建立适当的平面直角坐标系，可得C的坐标，设抛物线的方程，将C的坐标代入求出抛物线的方程，进而可得焦点到其准线的距离
【详解】
设AB，CD的交点为，连接PO，由题意可得PO⊥面AB，所以PO⊥OB，由题意OB=OP=OC =2，因为E是母线PB的中点，所以，由题意建立适当的坐标系，以BP为y轴以OE为x轴，E为坐标原点，如图所示∶
可得∶，
设抛物线的方程为y2 = mx，将C点坐标代入可得，所以，所以抛物线的方程为∶，
所以焦点坐标为，准线方程为，
所以焦点到其准线的距离为
故选：C

10、C
【解析】由于数列为等差数列，所以，再由可得可以看成一元二次方程的两个根，由可知，所以，从而可求出，可得到通项公式.
【详解】解：因为数列为等差数列，所以，
因为，所以可以看成一元二次方程的两个根，
因为，所以，
所以，解得，
所以
故选：C
【点睛】此题考查的是等差数列的通项公式和性质，属于基础题.
11、C
【解析】令可求得其零点，即的值，再利用导数可求得其极值点，即的值，从而可得答案
【详解】解：，
当时，，即，解得；
当时，恒成立，
的零点为
又当时，为增函数，故在，上无极值点；
当时，，，
当时，，当时，，
时，取到极小值，即的极值点，

故选：C
【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查函数的零点，考查分段函数的应用，突出分析运算能力的考查，属于中档题
12、B
【解析】根据极限的定义计算
【详解】由题意
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】由，可得∥，从而可得，代入坐标列方程可求出，从而可求出
【详解】因为直线l的方向向量，平面的法向量，，
所以∥，
所以存在唯一实数，使，
所以，所以，
解得，
所以，
故答案为：
14、
【解析】由题知方程，，有且只有一个零点，进而构造函数，利用导数研究函数单调性与函数值得变化情况，作出函数的大致图像，数形结合求解即可.
【详解】解：因为函数，，有且只有一个零点，
所以方程，，有且只有一个零点，
令，则，，
令，则
所以为上的单调递减函数，
因为，
所以当时，；当时，；
所以当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于，且，时，，
故的图像大致如图所示，

所以方程，，有且只有一个零点等价于或.
所以实数的取值范围是
故答案为：
15、48
【解析】根据频率分布直方图，求出成绩不少于分的频率，然后根据频数频率总数，即可求出结果
【详解】根据频率分布直方图，成绩不低于（分）的频率为，
由于需要随机抽取名学生进行问卷调查，利用样本估计总体的思想，则应抽取成绩不少于60分的学生人数为人
故答案为：
16、或
【解析】写出，，求出，根据以及即可求解，
【详解】由题意，，，
所以，，
因为，则，
即，即，
所以，即，
解得或（舍）.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面.
（2）利用直线的方向向量，平面的法向量，计算线面角的正弦值.
【详解】（1）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则
.
，
，所以
由于，所以平面.
（2），
，
设平面的法向量为，则
，令，则，所以.
设直线与平面所成角为，则
.

18、（1）；
（2）.
【解析】(1)根据导数的几何意义得，结合对数的运算性质求出m，利用直线的点斜式方程即可得出切线方程；
(2)由(1)将不等式变形为，利用导数研究函数在、、时的单调性，即可得出结果.
【小问1详解】
，∴，
，，
，，
切线方程为，即，
∴.
【小问2详解】
令，
，，
当时，，所以在上单调递增，
所以，即符合题意；
当时，设，
①当，，，所以在上单调递增，
，所以在上单调递增，
所以，故符合题意；
②当时，
所以在上递增，在上递减，且，
所以当时，，
则在上单调递减，且，
故，，舍去.
综上：
19、（1）
（2）是定值，定值为6
【解析】（1）根据题意条件，可直接求出的值，然后再利用条件中、的关系，借助即可求解出、的值，从而得到椭圆方程；
（2）根据已知条件设出、所在直线方程，然后与椭圆联立方程，分别表示出根与系数的关系，再表示出弦长关系，再计算点到直线的距离，把面积用和的式子表示出来，通过给出的面积的值，找到和的等量关系，将等量关系带入到利用跟与系数关系组合成的中即可得到答案.
【小问1详解】
由题意：，
由知：，
故椭圆C的标准方程为，
【小问2详解
设：，①
椭圆.②
联立①②得：，
，即
∴，
O到直线l的距离，
∴

，
∴，即，
∴
.
故为定值6.
20、（1）证明见解析
（2）
【解析】(1) 取中点连接，连接，证得四边形为平行四边形，，再证面，即可得到证明结果；（2）建立空间坐标系，求面和面的法向量，即可得到两个面的二面角的余弦值，进而得到二面角大小.
【小问1详解】

如上图，取中点连接，连接，均为线段中点，
且，又G是的中点，且
且四边形为平行四边形
为等腰直角三角形，为斜边中点，

面，面
面
又面 .
【小问2详解】

建立如图坐标系，

设面的法向量为
设面的法向量为
两个法向量的夹角余弦值为：，由图知两个面的二面角为钝角，故夹角为.
21、（1）
（2）
【解析】（1）由可求得的值，由可求得数列的通项公式；
（2）求得，利用二次函数的基本性质可求得的最小值.
【小问1详解】
解：由题意可得，解得，所以，.
当时，，
当时，，
也满足，故对任意的，.
【小问2详解】
解：，
所以，当或时，取得最小值，且最小值为.
22、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）连接，可通过证明，得平面；
（2）以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，通过向量的夹角公式可得答案.
【小问1详解】
如图，连接，在中，由可得.
因为，，
所以，，
因为，，，
所以，所以.
又因为，平面，，
所以平面.
【小问2详解】
由（1）可知，，，两两垂直，
以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，.
由，有，则，
设平面的法向量为，
由，，有，
取，则，，
可得平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，
由，，有，
取，则，，
可得平面的一个法向量为.
由，，，
可得平面与平面所成夹角的余弦值为
.