青海省西宁市沛西中学2025-2026学年数学高二第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

青海省西宁市沛西中学2025-2026学年数学高二第一学期期末学业质量监测模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知两个向量，，且，则的值为（）
A.1 B.2
C.4 D.8
2．有7名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，取前3名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道7名同学成绩的（）
A.平均数 B.众数
C.中位数 D.方差
3．已知双曲线的一条渐近线方程为，它的焦距为2，则双曲线的方程为（）
A B.
C. D.
4．的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（）
A. B.
C. D.
5．一组“城市平安建设”的满意度测评结果，，…，的平均数为116分，则，，…，，116的（ ）
A.平均数变小 B.平均数不变
C.标准差不变 D.标准差变大
6．已知数列满足，，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
7．日常饮用水通常都是经过净化的，随若水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知水净化到纯净度为时所需费用单位：元为那么净化到纯净度为时所需净化费用的瞬时变化率是（）元/t.
A. B.
C. D.
8．△ABC两个顶点坐标A（-4，0），B（4，0），它的周长是18，则顶点C的轨迹方程是（）
A. B.（y≠0）
C. D.
9．如图，直四棱柱的底面是菱形，，，M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）

A. B.
C. D.
10．设AB是椭圆（）的长轴，若把AB一百等分，过每个分点作AB的垂线，交椭圆的上半部分于P1、P2、… 、P99 ，F1为椭圆的左焦点，则的值是（ ）
A. B.
C. D.
11．抛物线的焦点坐标是
A. B.
C. D.
12．设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（）
A.3 B.1
C.0 D.﹣1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，则密码被成功破译的概率_________
14．已知，用割线逼近切线的方法可以求得___________.
15．在不等边△ABC(三边均不相等)中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有，则角C的大小为________
16．函数是R上的单调递增函数，则a的取值范围是______
三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数
（1）求函数在区间上的最大值和最小值；
（2）求出方程的解的个数
18．（12分）已知动点到点的距离与点到直线的距离相等.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若过点且斜率为的直线与动点的轨迹交于、两点，求三角形AOB的面积.
19．（12分）等差数列前n项和为，且
（1）求通项公式；
（2）记，求数列的前n项和
20．（12分）在平面直角坐标系中，动点到点的距离等于点到直线的距离.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）记动点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线交于两点，在轴上是否存在一点，使若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
21．（12分）已知双曲线中心在原点，离心率为2，一个焦点
（1）求双曲线方程；
（2）设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若，求直线l的方程
22．（10分）已知三棱柱中，，，平面ABC，，E为AB中点，D为上一点

（1）求证：；
（2）当D为中点时，求平面ADC与平面所成角的正弦值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】由，可知，使，利用向量的数乘运算及向量相等即可得解.
【详解】∵，∴，使，得，解得：，所以
故选：C
【点睛】思路点睛：在解决有关平行的问题时，通常需要引入参数，如本题中已知，引入参数，使，转化为方程组求解；本题也可以利用坐标成比例求解，即由，得，求出m，n.
2、C
【解析】根据中位数的性质，结合题设按成绩排序7选3，即可知还需明确的成绩数据信息.
【详解】由题设，7名同学参加百米竞赛，要取前3名参加决赛，则成绩从高到低排列，确定7名同学成绩的中位数，即第3名的成绩便可判断自己是否能进入决赛.
故选：C.
3、B
【解析】根据双曲线的一条渐近线方程为，可得，再结合焦距为2和，求得，即可得解.
【详解】解：因为双曲线的一条渐近线方程为，
所以，即，
又因焦距为2，即，即，
因为，所以，所以，
所以双曲线的方程为.
故选：B.
4、D
【解析】利用正弦定理边化角，角化边计算即可.
【详解】由正弦定理边化角得，
，
再由正弦定理角化边得，即
故选：D.
5、B
【解析】利用平均数、方差的定义和性质直接求出，，…，，116的平均数、方差从而可得答案.
【详解】，，…，的平均数为116分，
则，，…，，116的平均数为
设，，…，的方差为
则
所以
则，，…，，116的方差为

所以，，…，，116的平均数不变，方差变小.标准差变小.
故选：B
6、C
【解析】采用叠加法求出，由可得，结合对勾函数性质分析在或6取到最小值，代值运算即可求解.
【详解】因为，所以，，，，式相加可得，
所以，，当且仅当取到，但，，所以时，当时，，，所以的最小值为.
故选：C
7、B
【解析】由题意求出函数的导函数，然后令即可求解
【详解】因为，
所以，
则，
故选：
8、D
【解析】根据三角形的周长得出，再由椭圆的定义得顶点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，去掉A，B，C共线的情况，可求得顶点C的轨迹方程.
【详解】因为，所以，
所以顶点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，去掉A，B，C共线的情况，即，
所以顶点C的轨迹方程是，
故选：D.
【点睛】本题考查椭圆的定义，由定义求得动点的轨迹方程，求解时，注意去掉不满足的点，属于基础题.
9、D
【解析】用向量分别表示,利用向量的夹角公式即可求解.
【详解】由题意可得，
故选：D
【点睛】本题主要考查用向量的夹角公式求异面直线所成的角，属于基础题.
10、D
【解析】根据椭圆的定义，写出，可求出的和，又根据关于纵轴成对称分布，得到结果
详解】设椭圆右焦点为F2，由椭圆的定义知，2，，，

由题意知，，，关于轴成对称分布，

又，
故所求的值为
故选：D
11、D
【解析】根据抛物线的焦点坐标为可知，抛物线即的焦点坐标为，故选D.
考点：抛物线的标准方程及其几何性质.
12、C
【解析】线性规划问题，作出可行域后根据几何意义求解
【详解】作出可行域如图所示，，数形结合知过时取最小值

故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，进而由对立事件的概率性质分析可得答案
【详解】解：根据题意，甲乙两人能成功破译的概率分别是，，
则密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码概率，
故该密码被成功破译的概率
故答案为：
14、
【解析】根据导数的定义直接计算即可
【详解】因为，
所以

，
故答案为：
15、
【解析】由正弦定理可得,又,,
,,,
在三角形中,.
考点：1正弦定理;2正弦的二倍角公式.
16、
【解析】对求导，由题设有恒成立，再利用导数求的最小值，即可求a的范围.
【详解】由题设，，又在 R上的单调递增函数，
∴恒成立，令，则，
∴当时，则递减；当时，则递增.
∴，故.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）f(x)的最大值为7，最小值为－33；
（2）见解析.
【解析】(1)求函数f(x)的导数，列表求其单调性即可；
(2)求出函数f(x)的极值即可.
【小问1详解】

0

2

3

+

-

+

f(－2)＝－33
↗
f(0)＝7
↘
f(2)＝－1
↗
f(3)＝7
∴f(x)的最大值为7，最小值为－33；
【小问2详解】

0

2

+

-

+

↗
f(0)＝7
↘
f(2)＝－1
↗
当a＜－1或a＞7时，方程有一个根；
当a＝－1或7时，方程有两个根；
当－1＜a＜7时，方程有三个根.
18、（1）
（2）
【解析】小问1：由抛物线的定义可求得动点的轨迹方程；
小问2：可知直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出的值，利用抛物线的定义可求得的值，结合面积公式即可求解
小问1详解】
由题意点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以，则，
所以动点的轨迹方程是.
【小问2详解】
由已知直线的方程是，设、，
由得，，
所以，则，故
，
19、（1）；
（2）.
【解析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件求，利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式.
（2）求得，利用裂项相消法即可求得.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，由，解得，
所以，故数列的通项公式；
【小问2详解】
由（1）得：，
所以，
所以.
20、（1）；
（2）存在，.
【解析】（1）利用抛物线的定义即求；
（2）由题可设直线的方程为，利用韦达定理法结合条件可得，即得.
【小问1详解】
因为动点到点的距离等于点到直线的距离，
所以动点到点的距离和它到直线的距离相等，
所以点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，
设抛物线方程为，
由，得，
所以动点的轨迹方程为.
【小问2详解】
由题意可知，直线的斜率不为0，
故设直线的方程为，.
联立，得，
恒成立，
由韦达定理，得，，
假设存在一点，满足题意，
则直线的斜率与直线的斜率满足，
即，
所以，
所以
解得，
所以存在一点，满足，点的坐标为.
21、（1）
（2）或
【解析】（1）依题意设所求的双曲线方程为，则，再根据离心率求出，即可求出，从而得到双曲线方程；
（2）依题意可得直线的斜率存在，设，即可得到的坐标，依题意可得或，分两种情况分别求出的坐标，再根据的双曲线上，代入曲线方程，即可求出，即可得解；
【小问1详解】
解：设所求的双曲线方程为（，），则，，
∴，又则，∴所求的双曲线方程为
【小问2详解】
解：∵直线l与y轴相交于M且过焦点，
∴l的斜率一定存在，则设．令得，
∵且M、Q、F共线于l，∴或
当时，，，∴，
∵Q在双曲线上，∴，∴，
当时，，代入双曲线可得：
，∴
综上所求直线l的方程为：或
22、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）利用线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理即证；
（2）利用坐标法即求.
【小问1详解】
∵，E为AB中点，
∴，
∵平面ABC，平面ABC，
∴，又，，
∴平面，平面，
∴；
【小问2详解】
以C点为坐标原点，CA，CB，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设，则

平面的法向量为，
设平面ADC法向量为，
则，∴，即，
令，则
∴平面ADC与平面所成角的余弦值为
，
所以平面ADC与平面所成角的正弦值.