河北省邢台市内丘中学等五校2025年数学高二上期末统考试题含解析.doc

河北省邢台市内丘中学等五校2025年数学高二上期末统考试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知a、b是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）
A.若a∥α，a∥b，则b∥α B.若a∥α，a∥β，则α∥β
C.若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β D.若a⊥α，b⊥α，则a∥b
2．关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为
A. B.
C. D.
3．已知点，和直线，若在坐标平面内存在一点P，使，且点P到直线l的距离为2，则点P的坐标为（）
A.或 B.或
C.或 D.或
4．若数列是等差数列，其前n项和为，若，且，则等于（ ）
A. B.
C. D.
5．在等比数列中，是和的等差中项，则公比的值为（ ）
A.－2 B.1
C.2或－1 D.－2或1
6．已知点为双曲线的左顶点，点和点在双曲线的右分支上，是等边三角形，则的面积是
A. B.
C. D.
7．已知，，且，则向量与的夹角为（）
A. B.
C. D.
8．已知数列中，且满足，则（ ）
A.2 B.﹣1
C. D.
9．若是函数的一个极值点，则的极大值为（ ）
A. B.
C. D.
10．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴广交会的四个不同地方服务，不同的分配方案有（ ）种
A.· B.·
C. D.
11．函数，则不等式的解集是（）
A. B.
C. D.
12．函数，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知直线与双曲线交于两点，则该双曲线的离心率的取值范围是______
14．已知函数，若有两个零点，则的范围是______
15．在等比数列中，已知，则__________
16．若，，，四点中恰有三点在椭圆上，则椭圆C的方程为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，点，分别在棱，上

（1）求点到直线的距离
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
18．（12分）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.
19．（12分）已知椭圆过点，且离心率，为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）判断是否存在直线，使得直线与椭圆相交于两点，直线与轴相交于点，且满足，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
20．（12分）如图，在长方体中，底面是正方形，O是的中点，

（1）证明：
（2）求直线与平面所成角的正弦值
21．（12分）如图，在三棱锥中，已知△ABC和△PBC均为正三角形，D为BC的中点

（1）求证：平面；
（2）若，，求三棱锥的体积
22．（10分）已知函数 ，且 a > 0
（1）当a =1 时，求函数 f (x ) 的单调区间；
（2）记函数 ，若函数有两个零点，
①求实数 a 的取值范围；
②证明：
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】根据空间线、面的位置关系有关定理，对四个选项逐一分析排除，由此得出正确选项.
【详解】对于A选项，直线有可能平面内，故A选项错误.
对于B选项，两个平面有可能相交，平行于它们的交线，故B选项错误.
对于C选项，可能相交，故C选项错误.
根据线面垂直的性质定理可知D选项正确.
故选:D.
2、B
【解析】设， 解集为 所以二次函数图像开口向下，且与 交点为，由韦达定理得 所以 的解集为 ，故选B.
3、C
【解析】设点的坐标为，根据，点到直线的距离为，联立方程组即可求解.
【详解】解：设点的坐标为，线段的中点的坐标为，
，
∴的垂直平分线方程为，即，
∵点在直线上，
∴，
又点到直线：的距离为，
∴，即，
联立可得、或、，
∴所求点的坐标为或，
故选：C
4、B
【解析】由等差数列的通项公式和前项和公式求出的首项和公差，即可求出.
【详解】设等差数列的公差为，
则解得：，
所以.
故选：B.
5、D
解析】由题可得，即求.
【详解】由题意，得，
所以，因为，
所以，解得或.
故选：D.
6、C
【解析】设点在轴上方，由是等边三角形得直线斜率.
又直线过点，故方程为 .
代入双曲线方程，得点的坐标为 .
同理可得，点的坐标为.
故的面积为,选C.
7、B
【解析】先求出向量与的夹角的余弦值，即可求出与的夹角.
【详解】，
所以，
∴，∴，
∴，
又∵，
∴与的夹角为.
故选：B.
8、C
【解析】首先根据数列的递推公式求出数列的前几项，即可得到数列的周期性，即可得解；
【详解】解：因为且，所以，，，所以是周期为的周期数列，所以，
故选：C
9D
【解析】先对函数求导，由已知，先求出，再令，并判断函数在其左右两边的单调性，从而确定极大值点，然后带入原函数即可完成求解.
【详解】因为，，所以，
所以，，
令，解得或，
所以当，，单调递增；
时，，单调递减；
当，，单调递增，
所以的极大值为
故选：D
10、B
【解析】先按要求分为四组，再四个不同地方，四个组进行全排列.
【详解】两个组各2人，两个组各1人，属于部分平均分组，要除以平均分组的组数的全排列，
故分组方案有种，再将分得的4组，分配到四个不同地方服务，
则不同的分配方案有种.
故选：B
11、A
【解析】利用导数判断函数单调递增，然后进行求解.
【详解】对函数进行求导：，因为，，所以，
因为，所以f(x)是奇函数,所以在R上单调递增，
又因为，所以的解集为.
故选：A
12、B
【解析】求出函数的导数，代入求值即可.
【详解】函数,故，
所以，
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】分析可知，由可求得结果.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
由题意可知，.
故答案为：.
14、
【解析】利用导数求出函数的最小值，结合函数的图象列式可求出结果.
【详解】,
当时，，在上为增函数，最多只有一个零点，不符合题意；
当时，令，得，令，得，
所以在上为减函数在上为增函数，
所以在时取得极小值为，也是最小值，
因为当趋近于正负无穷时，都是趋近于正无穷，
所以要使有两个零点，只要，即就可以了.
所以的范围是
故答案为：.
15、32
【解析】根据已知求出公比即可求出答案.
【详解】设等比数列的公比为，则，则，
所以.
故答案为：32.
16、
【解析】由于，关于轴对称，故由题设知C经过，两点，C不经过点，然后求出a，b，即可得到椭圆的方程.
【详解】解：由于，关于轴对称，故由题设知经过，两点，所以.
又由知，不经过点，所以点在上，所以.
因此，故方程为.
故答案为：.
【点睛】求椭圆的标准方程有两种方法：
①定义法：根据椭圆的定义，确定，的值，结合焦点位置可写出椭圆方程
②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出，；若焦点位置不明确，则需要分焦点在轴上和轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）.
【解析】（1）由直棱柱的性质及勾股定理求出△各边长，应用余弦定理求，进而可得其正弦值，再求边上的高即可.
（2）以为原点，，，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，然后求出两个平面的法向量，然后可算出答案.
【小问1详解】
如图，连接，由题设，，，，
由直棱柱性质及，在中，在中，
在中，在中，
所以在△中，，则，
所以到直线的距离.
【小问2详解】
以为原点，，，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系

易知：，，，则，
因为平面，所以平面的一个法向量为
设平面的法向量为，则，取，则，
所以，即平面与平面的夹角的余弦值为
18、（1）40；（2）a至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.
【解析】（1）设每件定价为x元,可得提高价格后的销售量，根据销售的总收入不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价；
（2）依题意，x >25时，不等式有解，等价于x >25时, 有解,利用基本不等式,可以求得a.
【详解】（1）设每件定价为t元,依题意得,整理得,解得：25≤t≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.
（2）依题意知：当x>25时,不等式有解，等价于
x>25时,有解.
由于,当且仅当,即x=30时等号成立,所以a≥10.2.
当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.
19、（1）；
（2）存在，方程为和.
【解析】（1）根据椭圆上的点、离心率和关系可构造方程求得，由此可得椭圆方程；
（2）设，与椭圆方程联立可得韦达定理形式，根据共线向量可得，代入韦达定理中可构造关于的方程，解方程可求得，进而得到直线方程.
【小问1详解】
由题意得：，解得：，椭圆的方程为；
【小问2详解】
由题意知：直线斜率存在且不为零，可设，，，
由得：，则；
，，，
，，
解得：，，
满足条件的直线存在，方程为和.
20、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）以A为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，令，可得的坐标，再求数量积可得答案；
（2）求出平面的法向量、的坐标，由线面角的向量求法可得答案.
【小问1详解】
在长方体中，以A为坐标原点的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
不妨令，则，
，
因为，所以
【小问2详解】
由（1）可知，，
，
设平面的法向量，
则令，得，
设直线与平面所成的角，
则.
21、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】【小问1详解】
因为△ABC和△PBC为正三角形，D为BC的中点，
所以,
又,
所以平面
【小问2详解】
因为△ABC和△PBC为正三角形，且，
所以,
又，
所以正三角形的面积为，
所以.
22、（1）函数 f (x ) 在区间 (0，+¥ ) 上单调递减
（2）① ；②证明见解析
【解析】（1）求导，求解可得导函数恒小于等于0,即得证；
（2）①分析函数的单调性，由有两个实数根可求解；
②由（1）得2ln x> x−，再利用其放缩可得，由此有，问题得证.
【小问1详解】
当a =1 时，函数
因为
所以函数 f (x ) 在区间 (0，+¥ ) 上单调递减；
【小问2详解】
（i）由已知可得方程 有两个实数根
记 ，则 ．当 时， ，函数 k (x ) 是增函数；
当时，，函数 k (x ) 是减函数，
所以 ，故
（ii）易知，当 x >1 时，，故 ．由（1）可知，当 0 x−
由 ，得 ，所以
因为 ，所以