2025-2026学年重庆市西北狼联盟数学高二上期末质量检测试题含解析.doc

2025-2026学年重庆市西北狼联盟数学高二上期末质量检测试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，若，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
2．曲线y＝ln x在点M处的切线过原点，则该切线的斜率为（ ）
A.1 B.e
C.－1 D.
3．过点且斜率为的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
4．下列说法正确的是（）
A.“若，则，全为0”的否命题为“若，则，全不为0”
B.“若方程有实根，则”的逆命题是假命题
C.命题“，”的否定是“，”
D.“”是“直线与直线平行”的充要条件
5．直线与圆相交于点，点是坐标原点，若是正三角形，则实数的值为
A.1 B.-1
C. D.
6．在正方体的12条棱中任选3条，其中任意2条所在的直线都是异面直线的概率为（）
A. B.
C. D.
7．设拋物线的焦点为F，准线为l，P为拋物线上一点，，A为垂足．如果直线AF的斜率是，那么（ ）

A B.
C.16 D.8
8．若，则=（）
A.244 B.1
C. D.
9．已知向量，则“”是“”的（）
A充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
10．在直三棱柱中，，且，点是棱上的动点，则点到平面距离的最大值是（）
A. B.
C.2 D.
11．两圆与的公切线有（）
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
12．积分（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．两个人射击，互相独立．已知甲射击一次中靶概率是0.6，乙射击一次中靶概率是0.3，现在两人各射击一次，中靶至少一次就算完成目标，则完成目标的概率为_____________
14．已知抛物线C：的焦点为F，过M（4，0）的直线交C于A、B两点，设，的面积分别为、，则的最小值为______
15．已知双曲线的左、右焦点分别为，右顶点为，为双曲线上一点，且，线段的垂直平分线恰好经过点，则双曲线的离心率为_______
16．一个质地均匀的正四面体，其四个面涂有不同的颜色，抛掷这个正四面体一次，观察它与地面接触的颜色得到样本空间{红，黄蓝，绿}，设事件{红，黄}，事件{红，蓝}，事件{黄，绿}，则下列判断：①E与F是互斥事件；②E与F是独立事件；③F与G是对立事件；④F与G是独立事件．其中正确判断的序号是______（请写出所有正确判断的序号）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知是公差不为0的等差数列，其前项和为，，且，，成等比数列.
（1）求和；
（2）若，数列的前项和为，且对任意的恒成立，求实数的取值范围.
18．（12分）已知数列{}满足a1＝1，a3＋a7＝18，且（n≥2）
（1）求数列{}的通项公式；
（2）若＝·，求数列的前n项和
19．（12分）已知动圆过点，且与直线：相切
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）若过点且斜率的直线与圆心的轨迹交于两点，求线段的长度
20．（12分）已知斜率为的直线与椭圆：交于，两点
（1）若线段的中点为，求的值；
（2）若，求证：原点到直线的距离为定值
21．（12分）已知直线方程为
（1）若直线的倾斜角为，求的值；
（2）若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程
22．（10分）已知，.
（1）若，为假命题，求的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】根据题意，由为原点到直线上点的距离的平方，再根据点到直线垂线段最短，即可求得范围.
【详解】由，，
视为原点到直线上点的距离的平方，
根据点到直线垂线段最短，
可得，
所有的取值范围为，
故选：C.
2、D
【解析】设出点坐标，结合导数列方程，由此求得切点坐标并求得切线的斜率.
【详解】设切点为，，故在点的切线的斜率为，
所以，
所以切点为，切线的斜率为.
故选：D
3、B
【解析】利用点斜式可得出所求直线的方程.
【详解】由题意可知所求直线的方程为，即.
故选：B.
4、D
【解析A选项，全为0的否定是不全为0；B选项，先写出逆命题，再判断出真假；C选项，命题“，”的否定是“，”，D选项，根据直线平行，列出方程和不等式，求出，进而判断出充要条件.
【详解】“若，则，全为0”的否命题为“若，则，不全为0”，A错误；
若方程有实根，则的逆命题是若，则方程有实根，由得：，其中，所以若，则方程有实根是真命题，故B错误；
命题“，”的否定是“，”，C错误；
直线与直线平行，需要满足且，解得：，所以“”是“直线与直线平行”的充要条件，D正确；
故选：D
5、C
【解析】由题意得，直线被圆截得的弦长等于半径．圆的圆心坐标，设圆半径为，圆心到直线的距离为，则
由条件得整理得
所以，解得．选C
6、B
【解析】根据正方体的性质确定3条棱两两互为异面直线的情况数，结合组合数及古典概率的求法，求任选3条其中任意2条所在的直线是异面直线的概率.
【详解】如下图，正方体中如：中任意2条所在的直线都是异面直线，

∴这样的3条直线共有8种情况，
∴任选3条，其中任意2条所在的直线都是异面直线的概率为.
故选：B.
7、D
【解析】由题可得方程，进而可得点坐标及点坐标，利用抛物线定义即求
【详解】∵抛物线方程为，
∴焦点F(2,0)，准线l方程为x=−2，
∵直线AF的斜率为,直线AF的方程为，
由，可得，
∵PA⊥l，A为垂足，
∴P点纵坐标为，代入抛物线方程，得P点坐标为，
∴.
故选：D.
8、D
【解析】分别令代入已知关系式，再两式求和即可求解.
【详解】根据，
令时，整理得：
令x = 2时，整理得:
由①+②得，，所以.
故选：D.
9、A
【解析】根据得出，根据充分必要条件的定义可判断.
【详解】解：∵，向量，，
∴，即，
根据充分必要条件的定义可判断：
“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
10、D
【解析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，运用点到平面的距离公式，求出点到平面距离的最大值.
【详解】解：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标第

则,,,
设点,
故，，.
设设平面的法向量为，
则即，取，则.
所以点到平面距离 .
当，即时，距离有最大值为 .
故选:D.
【点睛】本题考查空间内点到面的距离最值问题，属于中档题.
11、D
【解析】求得圆心坐标分别为，半径分别为，根据圆圆的位置关系的判定方法，得出两圆的位置关系，即可求解.
【详解】由题意，圆与圆，
可得圆心坐标分别为，半径分别为，
则，
所以，可得圆外离，
所以两圆共有4条切线.
故选：D.
12、B
【解析】根据定积分的几何意义求值即可.
【详解】由题设，定积分表示圆在x轴的上半部分，
所以.
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、72
【解析】利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】由题意可知，若甲、乙两个各射击1次，至少有一人命中目标的概率为.
故答案为：
14、
【解析】设直线的方程为，，与抛物线的方程联立整理得，由三角形的面积公式求得，再根据基本不等式可得答案.
【详解】解：由抛物线C：得焦点，又直线交C于A、B两点，所以直线的斜率不为0，
则设直线的方程为，，联立，整理得，则，
又，，
所以，
又，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
15、
【解析】在中求出，再在中求出，即可得到的齐次式，化简即可求出离心率
【详解】设双曲线：，，不妨设为双曲线右支上一点
因为线段的垂直平分线恰好经过点，且，所以，
在中，，所以，，
在中，，所以，，
因此，，化简得，，即，而，解得
故答案为：
16、②③
【解析】由对立和互斥事件的定义判断①③；由独立事件的性质判断②④.
【详解】{红}，则E与F不是互斥事件；且，则F与G是对立事件；，则E与F是独立事件；，，则F与G不是独立事件
故答案为：②③

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），；（2）.
【解析】（1）求出，即得数列的和；
（2）由题得，再利用分组求和求出，得到，令，判断函数的单调性得解.
【详解】（1）设数列的公差为，由已知得，，
即，整理得，
又，，
；

（2）由题意：，

，，
令，
则，
即对任意的恒成立，
是单调递增数列，
，
只需，
所以.
【点睛】方法点睛：求数列的最值，常用数列的单调性求解，求数列的单调性，一般利用定义法作差或作商判断.
18、（1）；（2）
【解析】（1）由等差中项可知数列是等差数列，根据已知可求得其公差，从而可得其通项公式；
（2）分析可知应用错位相减法求数列的和
【详解】（1）由知，数列是等差数列，
设其公差为，
则，
所以，
，
即数列的通项公式为
（2），

，
，
两式相减得：，
整理得：，
所以
19、（1）；（2）.
【解析】（1）由题意分析圆心符合抛物线定义，然后求轨迹方程；
（2）直接联立方程组，求出弦长.
【详解】解：（1）圆过点，且与直线相切
点到直线的距离等于
由抛物线定义可知点的轨迹是以为焦点、以为准线的抛物线，
依题意，设点的轨迹方程为，则，解得，
所以，动圆圆心的轨迹方程是
（2）依题意可知直线，设
联立，得，则，
所以，线段的长度为
【点睛】（1）待定系数法、代入法可以求二次曲线的标准方程；
（2）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.
20、（1）；
（2）证明见解析.
【解析】（1）设出两点的坐标，利用点差法即可求出的值；
（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，写韦达；根据，求出，从而可证明原点到直线的距离为定值
【小问1详解】
设，则，，
两式相减，得，即，
所以，即，
又因为线段的中点为，所以，即；
【小问2详解】
设斜率为的直线为，，
由，得，
所以，
，
因为，所以，
即，所以，
所以，即，
所以，
原点到直线的距离为.
所以原点到直线的距离为定值.
21、（1）；
（2）面积的最小值为，此时直线的方程为.
【解析】（1）由直线的斜率和倾斜角的关系可求得的值；
（2）求出点、的坐标，根据已知条件求出的取值范围，求出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求得面积的最小值，利用等号成立的条件可求得的值，即可得出直线的方程.
【小问1详解】
解：由题意可得.
【小问2详解】
解：在直线的方程中，令可得，即点，
令可得，即点，
由已知可得，解得，
所以，
，
当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即.
22、（1）
（2）
【解析】（1）分别求出命题、为真时参数的取值范围，依题意、都为假命题，求出的取值范围，即可得解；
（2）依题意可得是的必要不充分条件，则真包含于，即可得到不等式组，解得即可；
【小问1详解】
由，解得，即，
由，可得，所以，
当时，解得，即，
因为为假命题，则、都为假命题，
当为假命题时：或
当为假命题时：或
故当、都为假命题，或
综上可得；
【小问2详解】
因为是的必要不充分条件，
由（1）可知，，
所以真包含于，
所以，解得，即