广西南宁市2025-2026学年数学高二第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

广西南宁市2025-2026学年数学高二第一学期期末学业水平测试模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知正方形的四个顶点都在椭圆上，若的焦点F在正方形的外面，则的离心率的取值范围是（）
A. B.
C. D
2．下列命题错误的是（）
A，
B.命题“”的否定是“”
C.设，则“且”是“”的必要不充分条件
D.设，则“”是“”的必要不充分条件
3．等差数列的首项为正数，其前n项和为.现有下列命题，其中是假命题的有（）
A.若有最大值，则数列的公差小于0
B.若，则使的最大的n为18
C.若，，则中最大
D.若，，则数列中的最小项是第9项
4．已知点P在抛物线上，点Q在圆上，则的最小值为（）
A. B.
C. D.
5．双曲线型自然通风塔外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为米，上口半径为米，下口半径为米，高为24米，则该双曲线的离心率为（

A.2 B.
C. D.
6．运行如图所示程序后，输出的结果为（）

A.15 B.17
C.19 D.21
7．已知命题对任意，总有；
是方程的根
则下列命题为真命题的是
A. B.
C. D.
8．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
9．已知奇函数是定义在R上的可导函数，的导函数为，当时，有，则不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
10．在中，角、、的对边分别是、、，若．则的大小为（）
A. B.
C. D.
11．在平面直角坐标系xOy中，双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点M是双曲线右支上一点，，且，则双曲线的离心率为（）
A. B.
C. D.
12．已知E、F分别为椭圆的左、右焦点，倾斜角为的直线l过点E，且与椭圆交于A，B两点，则的周长为
A.10 B.12
C.16 D.20
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．2021年7月，某市发生德尔塔新冠肺炎疫情，市卫健委决定在全市设置多个核酸检测点对全市人员进行核酸检测.已知组建一个小型核酸检测点需要男医生1名，女医生3名，每小时可做200人次的核酸检测，组建一个大型核酸检测点需要男医生3名，女医生3名.每小时可做300人次的核酸检测.某三甲医院决定派出男医生10名、女医生18名去做核酸检测工作，则这28名医生需要组建________个小型核酸检测点和________个大型核酸检测点，才能更高效的完成本次核酸检测工作.
14．若双曲线的渐近线与圆相切，则该双曲线的实轴长为______
15．空间四边形中，，，，，，，则与所成角的余弦值等于___________
16．抛物线的准线方程为_____
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知等差数列}的公差为整数，为其前n项和，，
（1）求{}的通项公式：
（2）设，数列的前n项和为，求
18．（12分）已知，命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得不等式成立；
（1）若p为真命题，求a的取值范围；
（2）若为真命题，求a的取值范围
19．（12分）红铃虫是棉花的主要害虫之一，也侵害木棉、锦葵等植物．为了防治虫害，从根源上抑制害虫数量．现研究红铃虫的产卵数和温度的关系，收集到7组温度和产卵数的观测数据于表Ⅰ中．根据绘制的散点图决定从回归模型①与回归模型②中选择一个来进行拟合
表Ⅰ
温度x/℃
20
22
25
27
29
31
35
产卵数y/个
7
11
21
24
65
114
325
（1）请借助表Ⅱ中的数据，求出回归模型①的方程：
表Ⅱ（注：表中）

189
567
25.27
162
78106

11.06
3040
41.86
825.09

（2）类似的，可以得到回归模型②的方程为，试求两种模型下温度为时的残差；
（3）若求得回归模型①的相关指数，回归模型②的相关指数，请结合（2）说明哪个模型的拟合效果更好
参考数据：.
附：回归方程中，
相关指数.
20．（12分）已知抛物线C：上一点到焦点F的距离为2
（1）求实数p的值；
（2）若直线l过C的焦点，与抛物线交于A，B两点，且，求直线l的方程
21．（12分）已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：.
22．（10分）有三个条件：①数列的任意相邻两项均不相等，，且数列为常数列，②，③，，中，从中任选一个，补充在下面横线上，并回答问题
已知数列的前n项和为，______，求数列的通项公式和前n项和
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】如图由题可得，进而可得，即求.
【详解】如图根据对称性，点D在直线y=x上，可设，则，

∴，
可得，
，即，又
解得.
故选：C.
2、C
【解析】根据题意，对四个选项一一进行分析，举出例子当时，，即可判断A选项；根据特称命题的否定为全称命题，可判断B选项；根据充分条件和必要条件的定义，即可判断CD选项.
【详解】解：对于A，当时，，，故A正确；
对于B，根据特称命题的否定为全称命题，
得“”的否定是“”，故B正确；
对于C，当且时，成立；
当时，却不一定有且，如，
因此“且”是“”的充分不必要条件，故C错误；
对于D，因为当时，有可能等于0，当时，必有，
所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确.
故选：C.
3、B
【解析】由有最大值可判断A；由，可得，，利用可判断BC；，得，，
可判断D.
【详解】对于选项A，∵有最大值，∴ 等差数列一定有负数项，
∴等差数列为递减数列，故公差小于0，故选项A正确；
对于选项B，∵，且，
∴，，
∴，，
则使的最大的n为17，故选项B错误；
对于选项C，∵，，
∴，，
故中最大，故选项C正确；
对于选项D，∵，，
∴，，
故数列中的最小项是第9项，故选项D正确.
故选：B.
4、C
【解析】先计算抛物线上的点P到圆心距离的最小值，再减去半径即可.
【详解】设，由圆心，得，
∴时，，∴
故选：C.
5、A
【解析】以的中点О为坐标原点，建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为，设，，代入双曲线的方程，求得，得到，进而求得双曲线的离心率.
【详解】以的中点О为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则，
设双曲线的方程为，则，
可设，，
又由，在双曲线上，所以，解得，，
即，所以该双曲线的离心率为.
故选：A.

第II卷
6、D
【解析】根据给出的循环程序进行求解，直到满足，输出.
【详解】，，，，，，，，，，，，所以.
故选：D
7、A
【解析】由绝对值的意义可知命题p为真命题；由于，所以命题q为假命题；因此为假命题，为真命题，“且”字联结的命题只有当两命题都真时才是真命题，所以答案选A
8、A
【解析】由题意可知，对任意的恒成立，可得出对任意的恒成立，利用基本不等式可求得实数的取值范围.
【详解】因为，则，
由题意可知，对任意的恒成立，所以，对任意的恒成立，
由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，
所以，.
故选：A.
9、B
【解析】根据给定的不等式构造函数，再探讨函数的性质，借助性质解不等式作答.
【详解】依题意，令，因是R上的奇函数，则，即是R上的奇函数，
当时，，则有在单调递增，
又函数在R上连续，因此，函数在R上单调递增，
不等式，
于是得，解得，
所以原不等式的解集是.
故选：B
10、B
【解析】利用余弦定理结合角的范围可求得角的值，再利用三角形的内角和定理可求得的值.
【详解】因为，则，则，
由余弦定理可得，
因为，则，故.
故选：B.
11、A
【解析】本题考查双曲线的定义、几何性质及直角三角形的判定即可解决.
【详解】因为，，
所以在中，边上的中线等于的一半
所以．因为，
所以可设，，
则，解得，
所以，
由双曲线的定义得，
所以双曲线的离心率
故选：A
12、D
【解析】利用椭圆的定义即可得到结果
【详解】椭圆，
可得，
三角形的周长，，
所以：周长，
由椭圆的第一定义，，
所以，周长
故选D
【点睛】本题考查椭圆简单性质的应用，椭圆的定义的应用，三角形的周长的求法，属于基本知识的考查

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、 ①.4 ②.2
【解析】根据题意建立不等式组，进而作出可行域，最后通过数形结合求得答案.
【详解】设需要组建个小型核酸检测点和个大型核酸检测点，则
每小时做核酸检测的最高人次，作出可行域如图中阴影部分所示，

由图可见当直线过点A时，z取得最大值，
由得恰为整数点，所以组建4个小型核酸检测点和2个大型核酸检测点，才能更高效的完成本次核酸检测工作.
故答案为：4；2.
14、
【解析】由双曲线方程写出渐近线，根据相切关系，结合点线距离公式求参数a，即可确定实轴长.
【详解】由题设，渐近线方程为，且圆心为，半径为1，
所以，由相切关系知：，可得，又，即，
所以双曲线的实轴长为.
故答案为：
15、
【解析】计算出的值，利用空间向量的数量积可得出的值，即可得解.
【详解】，
，
所以，，
所以，.
所以，与所成角的余弦值为.
故答案为：.
16、
【解析】本题利用抛物线的标准方程得出抛物线的准线方程
【详解】由抛物线方程可知，抛物线的准线方程为：
故答案为
【点睛】本题考查抛物线的相关性质，主要考查抛物线的简单性质的应用，考查抛物线的准线的确定，是基础题

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）根据题意利用等差数列的性质列出方程，即可解得答案；
（2）根据（1）的结果，求出的表达式，利用裂项求和的方法求得答案.
小问1详解】
设等差数列{}的公差为d，
则,
整理可得：，∵d是整数，解得，
从而，

所以数列{}的通项公式为：;
【小问2详解】
由（1）知，，

所以
18、（1）
（2）
【解析】（1）利用判别式可求的取值范围，注意就是否为零分类讨论；
（2）根据题设可得真或真，后者可用参变分离求出的取值范围，结合（1）可求的取值范围.
【小问1详解】
当p为真命题时，当时，不等式显然成立；
当时，解得，
故a取值范围为.
【小问2详解】
当q为真命题时，问题等价于存在，使得不等式成立，
即，
∵，当且仅当x=1时等号成立，∴
因为为真命题，所以真或真，故a的取值范围是
19、（1）（或）
（2）模型①：1.54；模型②：65.54
（3）模型①
【解析】（1）利用两边取自然对数，利用表中的数据即可求解；
（2）分别计算模型①、②在时残差；
（3）根据相关指数的大小判断摸型①、②的残差平方和，再得出那个模型的拟合效果更好.
【小问1详解】
由，得，
令，得，
由表Ⅱ数据可得，，
，
所以，
所以回归方程为（或）.
【小问2详解】
由题意可知，模型①在时残差为，
模型②在时残差为.
【小问3详解】
因为，即模型①的相关指数大于模型②的相关指数，由相关指数公式知，模型①的残差平方和小于模型②的残差平方和，因此模型①得到的数据更接近真实数据，所以模型①的拟合效果更好.
20、（1）2（2）或
【解析】（1）根据抛物线上的点到焦点与准线的距离相等可得到结果
（2）通过联立抛物线与直线方程利用韦达定理求解关系式即可得到结果
【小问1详解】
抛物线焦点为，准线方程为，
因为点到焦点F距离为2，所以，解得
【小问2详解】
抛物线C的焦点坐标为，
当斜率不存在时，可得不满足题意，
当斜率存在时，设直线l的方程为
联立方程，得，
显然，设，，则，
所以，解得
所以直线l的方程为或
21、见解析
【解析】将代入式子，得到，，进而进行化简，最后通过基本不等式证明问题.
【详解】∵，，，∴，
.∴＝，
当且仅当，即时取“＝”
22、；
【解析】选①，由数列为常数列可得，由此可求，根据任意相邻两项均不相等可得，由此证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式，利用分组求和法求数列的前n项和为，选②由取可求，再取与原式相减可得，由此证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式，利用分组求和法求数列的前n项和为，选③由取与原式相减可得，取可求，由此可得，故，由此证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式，利用分组求和法求数列的前n项和为，
【详解】解：选①：因为，数列为常数列，
所以，解得或，
又因为数列的任意相邻两项均不相等，且，
所以数列为2，-1，2，-1，2，-1……，所以，
即，所以，
又，所以是以为首项，公比为-1的等比数列，
所以，即；
所以
选②：因为，易知，，
所以两式相减可得，即，以下过程与①相同；
选③：由，可得，又，
时，，所以，因为，
所以也满足上式，所以，
即，以下过程与①相同