广东省梅县东山中学2026届高二数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

广东省梅县东山中学2026届高二数学第一学期期末学业水平测试模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则（）
A.1 B.2
C.4 D.8
2．函数在和处的导数的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.不能确定
3．若圆与圆有且仅有一条公切线，则（ ）
A.－23 B.－3
C.－12 D.－13
4．过点且垂直于直线的直线方程是（）
A. B.
C. D.
5．若a>b，c>d，则下列不等式中一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6．若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（）
A. B.
C. D.
7．圆的圆心和半径分别是（ ）
A. B.
C. D.
8．函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
9．等差数列的公差，且，，则的通项公式是（）
A. B.
C. D.
10．已知椭圆=1（a>b>0）的右焦点为F，椭圆上的A，B两点关于原点对称，|FA|=2|FB|，且·≤ a2，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A.（0，] B.（0，]
C.，1) D.，1)
11．中国农历的二十四节气是中华民族的智慧与传统文化的结晶，二十四节气歌是以春、夏、秋、冬开始的四句诗.在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”.2016年11月30日，二十四节气被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.某小学三年级共有学生600名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校三年级的600名学生中，对二十四节气歌一句也说不出的有（）
A.17人 B.83人
C.102人 D.115人
12．已知圆与圆外切，则（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知蜥蜴的体温与阳光照射的关系可近似为，其中为蜥蜴的体温(单位：℃) 为太阳落山后的时间 (单位：)．当________时，蜥蜴体温的瞬时变化率为
14．若直线与函数的图象有三个交点，则实数a的取值范围是_________
15．已知数列满足，，则数列的前n项和______
16．设函数满足，则______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知为数列的前n项和，，且，，其中为常数.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）是否存在，使得是等差数列？并说明理由.
18．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，，，，，.

（1）证明：平面平面PAC；
（2）求平面PCD与平面PAB夹角的余弦值
19．（12分）求满足下列条件的圆锥曲线方程的标准方程.
（1）经过点，两点的椭圆；
（2）与双曲线－＝1有相同的渐近线且经过点 的双曲线.
20．（12分）已知椭圆：过点，其左、右顶点分别为，，上顶点为，直线与直线的斜率之积为.

（1）求椭圆的方程；
（2）如图，直线：分别与线段（不含端点）和线段的延长线交于，两点，直线与椭圆的另一交点为，求证：，，三点共线.
21．（12分）已知数列满足且
（1）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和为.
22．（10分）已知为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆的上顶点，以为圆心且过的圆与直线相切.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线交椭圆于两点.
（ⅰ）若直线的斜率等于，求面积的最大值；
（ⅱ）若，点在上，.证明：存在定点，使得为定值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】由题意结合导数的运算可得，再由导数的概念即可得解.
【详解】由题意，所以，
所以.
故选：D.
2、A
【解析】求出函数导数即可比较.
【详解】，，所以，即.
故选：A.
3、A
【解析】根据两圆有且仅有一条公切线，得到两圆内切，从而可求出结果.
【详解】因为圆，圆心为，半径为；
圆可化为，圆心为，半径，
又圆与圆有且仅有一条公切线，
所以两圆内切，
因此，即，
解得.
故选：A.
4、A
【解析】根据所求直线垂直于直线，设其方程为，然后将点代入求解.
【详解】因为所求直线垂直于直线，
所以设其方程为，
又因为直线过点，
所以，
解得
所以直线方程为：，
故选：A.
5、B
【解析】根据不等式的性质及反例判断各个选项.
【详解】因为c>d，所以，所以，所以B正确；
时，不满足选项A；
时，，且，所以不满足选项CD；
故选：B
6、B
【解析】根据斜率的取值范围，结合来求得倾斜角的取值范围.
【详解】设倾斜角为，因为，且，所以.
故选：B
7、B
【解析】将圆的方程化成标准方程，即可求解.
【详解】解：.
故选：B.
8、B
【解析】方程有两个根，转化为求函数的单调性与极值
【详解】函数定义域是，
有两个零点，即有两个不等实根，即有两个不等实根
设，则，
时，，递减，时，，递增，
极小值＝，而时，，时，，
所以
故选：B
9、C
【解析】由于数列为等差数列，所以，再由可得可以看成一元二次方程的两个根，由可知，所以，从而可求出，可得到通项公式.
【详解】解：因为数列为等差数列，所以，
因为，所以可以看成一元二次方程的两个根，
因为，所以，
所以，解得，
所以
故选：C
【点睛】此题考查的是等差数列的通项公式和性质，属于基础题.
10、B
【解析】如图设椭圆的左焦点为E，根据题意和椭圆的定义可知，
利用余弦定理求出，结合平面向量的数量积计算即可.
【详解】由题意知，如图，设椭圆的左焦点为E，则，

因为点A、B关于原点对称，所以四边形为平行四边形，
由，得，，
在中，，
所以，
由，得，
整理，得，又，
所以.
故选：B
11、C
【解析】根据频率计算出正确答案.
【详解】一句也说不出的学生频率为，
所以估计名学生中，一句也说不出的有人.
故选：C
12、D
【解析】根据两圆外切关系，圆心距离等于半径的和列方程求参数.
【详解】由题设，两圆圆心分别为、，半径分别为1、r，
∴由外切关系知：，可得.
故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、5
【解析】求得导函数，令，计算即可得出结果.
【详解】，
，
令，得：.
解得：.
时刻min时，蜥蜴的体温的瞬时变化率为
故答案为：5.
14、
【解析】求导函数，分析导函数的符号，得出原函数的单调性和极值，由此可求得答案.
【详解】解：因为函数，则，
所以当或时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，
所以当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，
因为直线与函数的图象有三个交点，所以实数a的取值范围是，
故答案为：.
15、
【解析】先求出，利用裂项相消法求和.
【详解】因为数列满足，，
所以数列为公差d=2的等差数列，所以，
所以
所以

.
故答案为：.
16、5
【解析】

考点：函数导数与求值

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）详见解析；
（2）存在时是等差数列，详见解析.
【解析】（1）利用与的关系可得，再结合条件即证；
（2）由题可得，，若是等差数列，可得，进而可求数列的通项公式，即证.
【小问1详解】
∵，
∴，
∴，又，
∴，
∴，
∴数列为等差数列；
【小问2详解】
∵，，
∴，又，
∴，
若是等差数列，则，即，
解得，
当时，由，
∴数列的奇数项构成的数列为首项为1，公差为2的等差数列，
∴，即，为奇数，
∴数列的偶数项构成的数列为首项为2，公差为2的等差数列，
∴，即，为偶数，
综上可得，当时，，，
故存在时，使数列是等差数列.
18、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）过点C作于点H，由平面几何知识证明，然后由线面垂直的性质得线线垂直，从而得线面垂直，然后可得面面垂直；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角
【小问1详解】
在梯形ABCD中，过点C作于点H.
由，，，，可知，
所以，即，①
因为平面ABCD，平面ABCD，所以，②
由①②及，平面PAC，得平面PAC.
又由平面PCD，所以平面平面PAC.
【小问2详解】
因为AB，AD，AP两两垂直，所以以A为原点，以AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，3），，.
设平面PCD的法向量为，
则，取，则，，则.
平面PAB的一个法向量为，
所以，
所以平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值为.

19、（1）；
（2）
【解析】（1）由题意可得，，从而可求出椭圆的标准方程，
（2）由题意设双曲线的共渐近线方程为,再将的坐标代入方程可求出的值，从而可求出双曲线方程
【小问1详解】
因为，
所以P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上，
所以，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
设与双曲线共渐近线的方程为,
代入点，解得m=2,
所以双曲线的标准方程为
20、（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）由和，联立求解；
（2）由（1）易得直线：，直线：，，分别与x=t联立，求得M，N坐标，设，利用，得到，然后两边乘以，结合点P在椭圆上化简得到即可，
【详解】（1）在椭圆中，，，，
则，，
由题意得：，又，
解得，，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）可知，，，，则直线：，
直线：，由题意，，
联立，同理联立，
设，则①，
且点满足：，即，
两边乘以，可得：，
代入①得：，
而，
则，所以，，三点共线.
21、（1）证明见解析，；
（2）.
【解析】（1）对递推公式进行变形，结合等差数列的定义进行求解即可；
（2）运用裂项相消法进行求解即可.
【小问1详解】
因为，且，
所以即，所以数列是公差为2的等差数列.
又，所以即；
【小问2详解】
由（1）得，所以.
故

.
22、（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）.
【解析】（1）求出后可得椭圆的标准方程.
（2）（ⅰ）设直线的方程为：，，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理、弦长公式可求面积表达式，利用基本不等式可求面积的最大值.
（ⅱ）利用韦达定理化简可得，从而可得的轨迹为圆，故可证存在定点，使得为定值.
【详解】（1）由题意知：，，
又，则以为圆心且过的圆的半径为，
故，所以椭圆的标准方程为：.
（2）（ⅰ）设直线的方程为：，
将代入得：，
所以且，
故.
又，
点到直线的距离，
所以，
等号当仅当时取，即当时，的面积取最大值为.
（ⅱ）显然直线的斜率一定存在，
设直线的方程为：，，
由（ⅰ）知：
所以，
所以，
解得，，直线过定点或，
所以D在以OZ为直径的圆上，该圆的圆心为或，半径等于，
所以存在定点或，使得为定值.
【点睛】方法点睛：求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.