2026届江西省赣州市信丰县信丰中学数学高二上期末达标测试试题含解析.doc

2026届江西省赣州市信丰县信丰中学数学高二上期末达标测试试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知椭圆的长轴长为，短轴长为，则椭圆上任意一点到椭圆中心的距离的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
2．动点到两定点，的距离和是，则动点的轨迹为（）
A椭圆 B.双曲线
C.线段 D.不能确定
3．如图，把椭圆的长轴分成6等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点，F是椭圆C的右焦点，则（）

A.20 B.
C.36 D.30
4．抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，点A是抛物线的准线与坐标轴的交点，则的最大值是（ ）
A.2 B.
C. D.
5．在等比数列中，，则的公比为（）
A. B.
C. D.
6．已知圆，过点P的直线l被圆C所截，且截得最长弦的长度与最短弦的长度比值为5∶4，若O为坐标原点，则最大值为（）
A.3 B.4
C.5 D.6
7．已知直线与圆相交于，两点，则的取值范围为 ）
A. B.
C. D.
8．设等差数列的前项和为，若，则的值为（）
A.28 B.39
C.56 D.117
9．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤”意思是：“现有一根金杖，长5尺，头部1尺，重4斤；尾部1尺，重2斤；若该金杖从头到尾每一尺重量构成等差数列，其中重量为，则的值为（）
A.4 B.12
C.15 D.18
10．已知椭圆与直线交于A，B两点，点为线段的中点，则a的值为（）
A. B.3
C. D.
11．某口罩生产商为了检验产品质量，从总体编号为001，002，003，…，499，500的500盒口罩中，利用下面的随机数表选取10个样本进行抽检，选取方法是从下面的随机数表第1行第5列的数字开始由左向右读取，则选出的第3个样本的编号为（ ）
16 00 11 66 14 90 84 45 11 65 73 88 05 90 52 27 41 14 86 22 98
12 22 08 07 52 74 95 80 35 69 68 32 50 61 28 47 39 75 34 58 62
A.148 B.116
C.222 D.325
12．已知i是虚数单位，复数z=，则复数z的虚部为（）
A.i B.-i
C.1 D.-1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知一组样本数据5、6、a、6、8的极差为5，若，则其方差为________.
14．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则实数______
15．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=3，AD=3，AA1=4， P是侧面BCC1B1上的动点，且AP⊥ BD1，记点P到平面ABCD的距离为d，则d的最大值为____________.

16．若点P为双曲线上任意一点，则P满足性质：点P到右焦点的距离与它到直线的距离之比为离心率e，若C的右支上存在点Q，使得Q到左焦点的距离等于它到直线的距离的6倍，则双曲线的离心率的取值范围是______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆的离心率为，且经过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知，经过点的直线与椭圆交于、两点，若原点到直线的距离为，且，求直线的方程.
18．（12分）如图1，已知正方形的边长为，分别为的中点，将正方形沿折成如图2所示的二面角，点在线段上（含端点）运动，连接

（1）若为的中点，直线与平面交于点，确定点位置，求线段的长；
（2）若折成二面角大小为，是否存在点M，使得直线与平面所成的角为，若存在，确定出点的位置；若不存在，请说明理由
19．（12分）在数列中，，.
（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
20．（12分）已知数列的前n项和为，且.
（1）求的通项公式；.
（2）求数列的前n项和.
21．（12分）已知抛物线：上的点到其准线的距离为5.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知为原点，点在抛物线上，若的面积为6，求点的坐标.
22．（10分）已知直线，圆.
（1）若l与圆C相切，求切点坐标；
（2）若l与圆C交于A，B，且，求的面积.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】不妨设椭圆的焦点在轴上，设点，则，且有，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】不妨设椭圆的焦点在轴上，则该椭圆的标准方程为，
设点，则，且有，
所以，.
故选：A.
2、A
【解析】根据椭圆的定义，即可得答案.
【详解】由题意可得，根据椭圆定义可得，P点的轨迹为椭圆，
故选：A
3、D
【解析】由椭圆的对称性可知，，代入计算可得答案.
【详解】设椭圆左焦点为，连接
由椭圆的对称性可知，

，
所以.
故选：D.
4、B
【解析】设直线的倾斜角为，设垂直于准线于，由抛物线的性质可得，则，当直线PA与抛物线相切时，最小，取得最大值，设出直线方程得到直线和抛物线相切时的点P的坐标，然后进行计算得到结果.
【详解】设直线的倾斜角为，设垂直于准线于，
由抛物线的性质可得，
所以则，
当最小时，则值最大，
所以当直线PA与抛物线相切时，θ最大，即最小，
由题意可得，
设切线PA的方程为：，
，整理可得，
，可得，
将代入，可得，所以，
即P的横坐标为1，即P的坐标，
所以，，
所以的最大值为：，
故选：B

【点睛】关键点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了抛物线的定义．一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化
5、D
【解析】利用等比数列的性质把方程都变成和有关的式子后进行求解.
【详解】由等比数列的等比中项性质可得，又，所以，
因，所以，所以,
故选：D.
6、C
【解析】由题意，点P在圆C内，且最长弦的长度为直径长10，则最短弦的长度为8，
进而可得，所以点P的轨迹为以C为圆心，半径为3的圆，从而即可求解.
【详解】解：由题意，圆，所以圆C是以为圆心，半径为5的圆，
因为过点P的直线l被圆C所截，且截得最长弦的长度与最短弦的长度比值为5∶4，
所以点P在圆C内，且最长弦的长度为直径长10，则最短弦的长度为8，
所以由弦长公式有，
所以点P的轨迹为以C为圆心，半径为3的圆，
所以，
故选：C.
7、C
【解析】求得直线恒过的定点，找出弦长取得最值的状态，利用弦长公式求解即可.
【详解】因直线方程为：，整理得，
故该直线恒过定点，又，
故点在圆内，
又圆的圆心为
则，此时直线过圆心；
当直线与直线垂直时，取得最小值，
此时.
故的取值范围为.
故选：.
8、B
【解析】由已知结合等差数列的求和公式及等差数列的性质即可求解.
【详解】因为等差数列中，，
则.
故选：B.
9、C
【解析】先求出公差，再利用公式可求总重量.
【详解】设头部一尺重量为，其后每尺重量依次为，
由题设有，，故公差为.
故中间一尺的重量为
所以这5项和为.
故选：C.
10、A
【解析】先联立直线和椭圆的方程，结合中点公式及点可求a的值.
【详解】设，
联立，得，
，
因为点为线段的中点，所以，
即，解得，
因为，所以.
故选：A.
11、A
【解析】按随机数表法逐个读取数字即可得到答案.
【详解】根据随机数表法读取的数字分别为：116，614（舍），908（舍），445，116（舍），
573（舍），880（舍），590（舍），522（舍），741（舍），148，
故选出的第3个样本的编号为148.
故选：A.
12、C
【解析】先通过复数的除法运算求出z，进而求出虚部.
【详解】由题意，，则z的虚部为1.
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2
【解析】根据极差的定义可求得a的值，再根据方差公式可求得结果.
【详解】因为该组数据的极差为5，，
所以，解得.
因为，
所以该组数据的方差为
故答案为：.
14、
【解析】由题设可得，结合向量共线的坐标表示求参数即可.
【详解】由题设，平面与平面的法向量共线，
∴，则，即，解得.
故答案为：.
15、##
【解析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得的坐标之间的关系，以及坐标的范围，即可求得结果.
【详解】以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系如下所示：

设，则，
，
∵，∴，解得，
因为，所以c的最大值为，
即点P到平面的距离d的最大值为.
故答案为：.
16、
【解析】若Q到的距离为有，由题设有，结合双曲线离心率的性质，即可求离心率的范围.
【详解】由题意，，即，整理有，
所以或，
若Q到的距离为，则Q到左、右焦点的距离分别为、，又Q在C的右支上，
所以，则，又，
综上，双曲线的离心率的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：若Q到的距离为，根据给定性质有Q到左、右焦点的距离分别为、，再由双曲线性质及已知条件列不等式组求离心率范围.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】（1）由已知条件可得出关于、、的方程组，求出这三个量的值，由此可得出椭圆的标准方程；
（2）分析可知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，由点到直线的距离公式可得出，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由可得出，代入韦达定理求出、的值，由此可得出直线的方程.
【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，解得，
因此，椭圆的标准方程为；
（2）若直线斜率不存在，则直线过原点，不合乎题意.
所以，直线的斜率存在，设斜率为，设直线方程为，设、，
原点到直线的距离为，即①.
联立直线与椭圆方程可得，
则，则，
由韦达定理可得，.
，则为线段的中点，所以，，
，得，，
所以，，整理可得，
解得，即，，
因此，直线的方程为或.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
（5）代入韦达定理求解.
18、（1）是的延长线与延长线的交点，且
（2）存在，使得直线与平面所成的角为，且.
【解析】（1）通过延长、以及全等三角形确定点的位置并求得线段的长.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法判断符合题意的点是否存在.
【小问1详解】
延长，连接并延长，交的延长线于，
由于，
所以，所以.
所以是的延长线与延长线的交点，且.
【小问2详解】
由于，
所以平面，，
由于平面，所以平面平面.
建立如图所示空间直角坐标系，
，
设，，
设平面的法向量为，
则，
故可设，
由于直线与平面所成的角为，
所以，
整理得，
解得或（舍去）
存在，使得直线与平面所成的角为，且.

19、（1）证明见解析，；（2）.
【解析】（1）利用等比数列的定义结合已知条件即可得到证明.

（2）运用分组求和的方法，利用等比数列和等差数列前项和公式求解即可.
【详解】（1）证明：∵，
∴数列为首项是2，公比是2的等比数列.
∴，∴.
（2）由（1）知，，

【点睛】本题考查等比数列的定义，通项公式的应用，考查等差数列和等比数列前项和公式的应用，考查分组求和的方法，属于基础题.
20、（1）；
（2）.
【解析】(1)根据给定条件结合当时，探求数列的性质即可计算作答.
(2)由(1)求出，再利用错位相减法计算作答.
小问1详解】
依题意，当时，因为，则，
当时，，解得，
于是得数列是以1为首项，为公比的等比数列，则，
所以的通项公式是.

【小问2详解】
由(1)可知，，
则，
因此，
两式相减得：，
于是得，
所以数列的前n项和.
21、（1）
（2）或
【解析】（1）结合抛物线的定义求得，由此求得抛物线的方程.
（2）设，根据三角形的面积列方程，求得的值，进而求得点的坐标.
【小问1详解】
由抛物线的方程可得其准线方程，
依抛物线的性质得，解得.
∴抛物线的方程为.
【小问2详解】
将代入，得.
所以，直线的方程为，即.
设，
则点到直线的距离，又，
由题意得，解得或.
∴点的坐标是或.
22、（1）（2）
【解析】（1）求出直线的定点，再由定点在圆上得出切点坐标；
（2）由（1）知，证明为直角三角形，求出，，最后由三角形的面积公式求出的面积.
【详解】（1）圆可化为
直线可化为，由解得
即直线过定点，由于，则点在圆上
因为l与圆C相切，所以切点坐标为
（2）因为l与圆C交于A，B，所以点
如下图所示，与相交于点，由以及圆的对称性可知，点为的中点，且
由，则直线的方程为
圆心到直线的距离为，即直线与圆相切
即，则
因为，
所以

【点睛】关键点睛：在第一问中，关键是先确定直线过定点，再由定点在圆上，从而确定切点的坐标.