辽宁省阜新市第二高级中学2026届高二数学第一学期期末监测试题含解析.doc

辽宁省阜新市第二高级中学2026届高二数学第一学期期末监测试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知定义在上的函数满足：，且，则的解集为（）
A. B.
C. D.
2．在某次赛车中，名参赛选手的成绩（单位：）全部介于到之间（包括和），将比赛成绩分为五组：第一组，第二组，··· ，第五组，其频率分布直方图如图所示.若成绩在内的选手可获奖，则这名选手中获奖的人数为

A. B.
C. D.
3．若函数在上为增函数，则a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
4．在正三棱锥中，，且，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的余弦值为（）
A. B.
C. D.
5． “”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6．如果直线与直线垂直，那么的值为（）
A. B.
C. D.2
7．已知正实数a，b满足，若不等式对任意的实数x恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8．若用面积为48的矩形ABCD截某圆锥得到一个椭圆，且该椭圆与矩形ABCD的四边都相切.设椭圆的方程为，则下列满足题意的方程为（ ）
A. B.
C. D.
9．已知双曲线上点到点的距离为15，则点到点的距离为（ ）
A.9 B.6
C.6或36 D.9或21
10．已知数列满足，，记数列的前n项和为，若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为（）
A. B.
C. D.
11．已知双曲线离心率为2，过点的直线与双曲线C交于A，B两点，且点P恰好是弦的中点，则直线的方程为（）
A. B.
C. D.
12．在等比数列中，，，则等于（）
A. B.5
C. D.9
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某地区有3个疫苗接种定点医院，现有10名志愿者将被派往这3个医院协助新冠疫苗接种工作，每个医院至少需要2名至多需要4名志愿者，则不同的安排方法共有___________种.
14．用组成所有没有重复数字的五位数中，满足与相邻并且与不相邻的五位数共有____________个.(结果用数值表示)
15．已知数列的前项和为，且满足，，则___________.
16．如图，在四面体中，BA，BC，BD两两垂直，，，则二面角的大小为______

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知直线，直线经过点且与直线平行，设直线分別与x轴，y轴交于A，B两点.
（1）求点A和B的坐标；
（2）若圆C经过点A和B，且圆心C在直线上，求圆C的方程.
18．（12分）2022北京冬奥会即将开始，北京某大学鼓励学生积极参与志愿者的选拔．某学院有6名学生通过了志愿者选拔，其中4名男生，2名女生
（1）若从中挑选2名志愿者，求入选者正好是一名男生和一名女生的概率；
（2）若从6名志愿者中任选3人负责滑雪项目服务岗位，那么现将6人分为A、B两组进行滑雪项目相关知识及志愿者服务知识竞赛，共赛10局．A、B两组分数（单位：分）如下：
A：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142
B：126，115，143，126，143，115，139，139，115，139
从统计学角度看，应选择哪个组更合适？理由是什么？
19．（12分）已知椭圆（）的离心率为，一个焦点为.
（1）求椭圆的方程
（2）设为原点，直线（）与椭圆交于不同的两点，且与x轴交于点，为线段的中点，点关于轴的对称点为.证明：是等腰直角三角形.
20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点满足，且的面积为
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆有且只有一个公共点，过点作直线的垂线．设直线交轴于，交轴于，且点，求的轨迹方程
21．（12分）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点坐标为，且经过点；
（2）焦点在坐标轴上，经过点.
22．（10分）已知中，分别为角的对边，且
（1）求；
（2）若为边的中点，，求的面积
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】令，利用导数可判断其单调性，从而可解不等式.
【详解】设，则，
故为上的增函数，
而可化为即，
故即，所以不等式的解集为，
故选：A.
2、A
【解析】先根据频率分布直方图确定成绩在内的频率，进而可求出结果.
【详解】由题意可得：成绩在内的频率为，
又本次赛车中，共名参赛选手，
所以，这名选手中获奖的人数为.
故选A
【点睛】本题主要考查频率分布直方图，会根据频率分布直方图求频率即可，属于常考题型.
3、C
【解析】求出函数的导数，要使函数在上为增函数，要保证导数在该区间上恒正即可，由此得到不等式,解得答案.
详解】由题意可知，
若在递增，则在恒成立，
即有，则，
故选：C.
4、B
【解析】由题意可得两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解
【详解】因为，
所以两两垂直，
所以以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，
所以,
因为M，N分别为BC，AD的中点，
所以，
所以，
设直线AM和CN所成的角为，则
,
所以直线AM和CN夹角的余弦值为，
故选：B

5、C
【解析】∵“”⇒“方程表示焦点在轴上的椭圆”，“方程表示焦点在轴上的椭圆”⇒“”，∴“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的充要条件，故选C.
6、A
【解析】根据两条直线垂直列方程，化简求得的值.
【详解】由于直线与直线垂直，
所以.
故选：A
7、D
【解析】利用基本不等式求出的最小值16，分离参数即可.
【详解】因为，，，
所以，当且仅当，即，时取等号
由题意，得，即对任意的实数x恒成立，又，所以，即
故选：D
8、A
【解析】由椭圆与矩形ABCD的四边都相切得到再逐项判断即可.
【详解】由于椭圆与矩形ABCD的四边都相切，所以矩形两边长分别为， 由矩形面积为48，得，
对于选项B，D由于，不符合条件，不正确.对于选项A，，满足题意.对于选项C，不正确.
故选：A.
9、D
【解析】利用双曲线的定义可得答案.
【详解】设，，，为双曲线的焦点，
则由双曲线定义，知，而
所以或21
故选：D.
10、C
【解析】由已知得，根据等比数列的定义得数列是首项为，公比为的等比数列，由此求得，然后利用裂项求和法求得，进而求得的取值范围.
【详解】解：依题意，当时，，则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，，即，
所以，
所以
，
所以的取值范围是.
故选：C.
11、C
【解析】运用点差法即可求解
【详解】由已知得，又，，可得.
则双曲线C的方程为.设，，
则两式相减得，
即.
又因为点P恰好是弦的中点，所以，，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
经检验满足题意
故选：C
12、D
【解析】由等比数列的项求公比，进而求即可.
【详解】由题设，，
∴
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、22050
【解析】先分组，再排列，注意部分平均分组问题，需要除以平均组数的全排列.
【详解】根据题意，这10名志愿者的安排方法共有两类：第一类是2，4，4，第二类是3，3，4.故不同的安排方法共有种.
故答案为：22050
14、
【解析】由题意，先利用捆绑法排列和，再利用插空法排列和，即可得答案.
【详解】因为满足与相邻并且与不相邻，则将捆绑，内部排序得，再对和全排列得，利用插空法将和插空得，所以满足题意得五位数有.
故答案为：
15、
【解析】当时，，可得，可得数列隔项成等比数列，即所以数列的奇数项和偶数项分别是等比数列，分别求和，即可得解.
【详解】因为，，所以，
当时，，∴，
所以数列的奇数项和偶数项分别是等比数列，
所以.
故答案为：.
16、
【解析】取的中点为，连接，由面面角的定义得出二面角的平面角为，再结合等腰直角三角形的性质得出二面角的大小.
【详解】取的中点为，连接，因为，所以二面角的平面角为，因为，，所以为等腰直角三角形，即二面角的大小为.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），；
（2）.
【解析】（1）由直线平行及所过的点，应用点斜式写出直线方程，进而求A、B坐标.
（2）由（1）求出垂直平分线方程，并联立直线求圆心坐标，即可求圆的半径，进而写出圆C的方程.
【小问1详解】
由题设，的斜率为，又直线与直线平行且过，
所以直线为，即，
令，则；令，则.
所以，.
【小问2详解】
由（1）可得：垂直平分线为，即，
联立，可得，即，故圆的半径为，
所以圆C的方程为.
18、（1）
（2）答案见详解
【解析】(1)：把4名男生和2名女生编号后用列举法写出任选2名的所有基本事件，同时可得出，两人是一男一女的基本事件，计数后可计算概率；
(2)：求出两组数据的均值和方差，比较可得
【小问1详解】
设4名男生分别用A，B，C，D表示：2名女生分别用1，2表示.
基本事件为：，，，，
，，，，
，，，，共15种，
所以所求概率为；
【小问2详解】
A组数据的平均数，
B组数据的平均数，
A组数据的方差，
B组数据的方差，
所以选择A队．理由：A、B两队平均数相同，且，A组成绩波动小
19、（1）
（2）证明见解析.
【解析】（1）由题知，进而结合求解即可得答案；
（2）设点，，进而联立并结合题意得或，进而结合韦达定理得，再的中点为，证明，进而得，，故，综合即可得证明.
【小问1详解】
解：因为椭圆的离心率为，一个焦点为
所以，所以
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
解：设点，则点,
所以联立方程得，
所以有，解得，
因为，故或
设，
所以
设向量，
所以
，
所以，即，
设的中点为，则
所以，
又因为，所以，
所以，
因为点关于轴的对称点为.
所以，
所以，
所以是等腰直角三角形.
20、（1）；
（2）.
【解析】（1）利用可得，由椭圆关系可求得，进而得到椭圆方程；
（2）将与椭圆方程联立可得，得，结合韦达定理可确定点坐标，由此可得方程，进而得到，化简整理即可得到所求轨迹方程.
【小问1详解】
由焦点坐标可知：；
，即，，
，解得：，
，解得：（舍）或，，
椭圆的方程为：；
【小问2详解】
由得：，
，整理可得：；
，解得：，，
则，
令，解得：；令，解得：；
，
即，又，，
则的轨迹方程为：.
【点睛】思路点睛：本题考查动点轨迹方程的求解问题，解题基本思路是能够利用变量表示出所求点的坐标，根据坐标之间关系，化简整理消掉变量得到所求轨迹方程；易错点是忽略题目中的限制条件，轨迹中出现多余的点.
21、（1）；
（2）.
【解析】（1）利用双曲线定义求出双曲线的实轴长即可计算作答.
（2）设出双曲线的方程，利用待定系数法求解作答.
【小问1详解】
因双曲线的焦点坐标为，且经过点，令双曲线实半轴长为a，
则有
，解得，双曲线半焦距，虚半轴长b有，
所以所求双曲线的标准方程为.
【小问2详解】
依题意，设双曲线的方程为：，
于是得，解得：，
所以所求双曲线的标准方程为.
22、（1）；（2）
【解析】（1）利用正弦定理化边为角可得，化简可得，结合，即得解；
（2）在中，由余弦定理得，可得，利用面积公式即得解
【详解】（1）中由正弦定理及条件，
可得，∵，，∴，
∵，∴，
或，
又∵，∴，∴，，∴
（2）为边的中点，，，得，

中，由余弦定理得
，
∴，
∴，∵，∴，