四川省宜宾第三中学2025年数学高二上期末经典模拟试题含解析.doc

四川省宜宾第三中学2025年数学高二上期末经典模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知随机变量X，Y满足，，且，则的值为（）
A.0.2 B.0.3
C.0..5 D.0.6
2．已知，且，则实数的值为（ ）
A. B.3
C.4 D.6
3．已知三个顶点都在抛物线上，且为抛物线的焦点，若，则（）
A.6 B.8
C.10 D.12
4．已知数列满足，则（）
A.32 B.
C.1320 D.
5．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为，则椭圆的面积公式为，若椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（　　）
A.或 B.或
C.或 D.或
6．若抛物线的焦点为，则其标准方程为（）
A. B.
C. D.
7．已知点为直线上任意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（）
A. B.
C. D.
8．如图，是对某位同学一学期次体育测试成绩（单位：分）进行统计得到的散点图，关于这位同学的成绩分析，下列结论错误的是（）

A.该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高，且次测试成绩的极差超过分
B.该同学次测试成绩的众数是分
C.该同学次测试成绩的中位数是分
D.该同学次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关
9．已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（）

A. B.
C. D.
10．已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的短轴的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
11．在直角坐标系中，直线的倾斜角是
A.30° B.60°
C.120° D.150°
12．已知，，且，则向量与的夹角为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知曲线与曲线有相同的切线，则________
14．一条直线经过，并且倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的方程为__________
15．直线被圆截得的弦长为_______
16．若随机变量，则______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，四边形为矩形，，且平面平面.

（1）若，分别是，的中点，求证：平面；
（2）若是等边三角形，求平面与平面夹角的余弦值.
18．（12分）已知椭圆经过点，椭圆E的一个焦点为.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若直线l过点且与椭圆E交于两点.求的最大值.
19．（12分）已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过，两点.
（1）求圆C的标准方程.
（2）设直线与圆C交于A，B（异于坐标原点O）两点，若以AB为直径的圆过原点，试问直线l是否过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由.
20．（12分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）写出曲线C的极坐标方程；
（2）已知直线与曲线C相交于A，B两点，求.
21．（12分）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，直线与平面ABCD所成角的正弦值为.E，F分别为、的中点.

（1）求证：平面BED；
（2）求直线与平面FAC所成角的正弦值.
22．（10分）已知函数，为自然对数的底数.
（1）当时，证明，，；
（2）若函数在上存在极值点，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】利用正态分布的计算公式：，

【详解】且

又

故选：D
2、B
【解析】根据给定条件利用空间向量垂直的坐标表示计算作答.
详解】因，且，则有，解得，
所以实数的值为3.
故选：B
3、D
【解析】设，，，由向量关系化为坐标关系，再结合抛物线的焦半径公式即可计算
【详解】由得焦点，准线方程为，设，，
由得

则，化简得
所以
故选：D
4、A
【解析】先令，求出，再当时由，可得，然后两式相比，求出，从而可求出，进而可求得答案
【详解】当时，，
当时，由，可得，
两式相除可得，
所以，
所以，
故选：A
5、B
【解析】根据题意列出的关系式，即可求得，再分焦点在轴与轴两种情况写出标准方程.
【详解】根据题意，可得，
所以椭圆的标准方程为或.
故选：B
6、D
【解析】由题意设出抛物线的标准方程，再利用焦点为建立，解方程即可.
【详解】由题意，设抛物线标准方程为，
所以，解得，
所以抛物线标准方程为.
故选：D
7、D
【解析】设垂直于直线，可知圆恒过垂足；两条直线方程联立可求得点坐标.
【详解】设垂直于直线，垂足为，则直线方程为：，
由圆的性质可知：以为直径的圆恒过点，
由得：，以为直径的圆恒过定点.
故选：D.
8、C
【解析】根据给定的散点图，逐一分析各个选项即可判断作答.
【详解】对于A，由散点图知，8次测试成绩总体是依次增大，极差为，A正确；
对于B，散点图中8个数据的众数是48，B正确；
对于C，散点图中的8个数由小到大排列，最中间两个数都是48，则次测试成绩的中位数是分，C不正确；
对于D，散点图中8个点落在某条斜向上的直线附近，则次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关，D正确.
故选：C
9、A
【解析】根据原函数图象判断出函数单调性，由此判断导函数的图象.
【详解】原函数在上从左向右有增、减、增，个单调区间；在上递减.
所以导函数在上从左向右应为：正、负、正；在上应为负.
所以A选项符合.
故选：A
10、B
【解析】根据题意，点关于直线对称点的性质，以及椭圆的定义，即可求解.
【详解】根据题意，设点关于直线的对称点，
则，解得，即.
根据椭圆的定义可知，，
当、、三点共线时，长轴长取最小值，即，
由且，得，
因此椭圆C的短轴的最小值为.
故选：B.
11、D
【解析】根据直线方程得到直线的斜率后可得直线的倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为，则，因，故，故选D.
【点睛】直线的斜率与倾斜角的关系是：，当时，直线的斜率不存在，注意倾斜角的范围.
12、B
【解析】先求出向量与的夹角的余弦值，即可求出与的夹角.
【详解】，
所以，
∴，∴，
∴，
又∵，
∴与的夹角为.
故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、0
【解析】设切点分别为，．利用导数的几何意义可得，则．由，，计算可得，进而求得点坐标代入方程即可求得结果.
【详解】设切点分别为，
由题意可得，则，即
因为，，所以，即，解得，
所以，则，解得
故答案为：0
14、
【解析】先求出直线倾斜角，从而可求得直线的倾斜角，则可求出直线的斜率，进而可求出直线的方程
【详解】因为直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为，
所以直线的倾斜角为，
所以直线的斜率为，
因为直线经过，
所以直线的方程为，即，
故答案为：
15、
【解析】求出圆心到直线的距离，结合半径，利用勾股定理可得答案.
【详解】的圆心坐标为，，
圆心到直线的距离，
则直线被圆截得的弦长为：

故答案为：
16、2
【解析】根据给定条件利用二项分布的期望公式直接计算作答.
【详解】因为随机变量，所以.
故答案：2

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）通过构造平行四边形，在平面中找到即可证明
（2）建立直角坐标系，通过两个面的法向量夹角的余弦值求出面面夹角的余弦值
【小问1详解】
证明：设为的中点，连接，，

因为，分别为，的中点.
所以且，
又，为的中点，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，所以平面；
【小问2详解】
取的中点，连接，，则，
∵平面平面，平面平面，∴平面，
∵是等边三角形，为中点，∴，
分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，，，.
设为平面的一个法向量，
则有
即
取可取，
设为平面的一个法向量，则有
即
可取，
所以，
设平面与平面的夹角为，则，
∴，
即平面与平面夹角的余弦值为.
18、（1）
（2）
【解析】（1）设椭圆的左，右焦点分别为，．利用椭圆的定义求出，然后求解，得到椭圆方程；（2）当直线的斜率存在时，设，，，，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式得到弦长的表达式，再通过换元利用二次函数的性质求解最值即可
【小问1详解】
依题意，设椭圆的左，右焦点分别为，
则，，，，
椭圆的方程为
【小问2详解】
当直线的斜率存在时，设，，，，
由得
由得
由，
得
设，则，
当直线的斜率不存在时，，的最大值为
19、（1）
（2）过定点，定点为
【解析】（1）设出圆C的标准方程，由题意列出方程从而可得答案.
（2）设，，将直线的方程与圆C的方程联立，得出韦达定理，由条件可得，从而得出答案.
【小问1详解】
设圆C的标准方程为
由题意可得解得，，.
故圆C的标准方程为.
【小问2详解】
设，.联立
整理的
，则，，
故.
因为以AB为直径的圆过原点，所以，
即
则，
化简得.
当时，直线，直线l过原点，此时不满足以AB为直径的圆过原点.
所以，则，则直线过定点.
20、（1）；（2）.
【解析】（1）首先将圆的参数方程华为普通方程，再转化为极坐标方程即可.
（2）首先联立得到，再求的长度即可.
【详解】（1）将曲线C的参数方程，（为参数）化为普通方程，
得，
极坐标方程为.
（2）联立方程组，
消去得，
设点A，B对应的极径分别为，，则，，
所以.
21、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）证明垂直于平面BED内的两条相交直线，即可得到答案；
（2）分别以OB，OC，OE为x轴，y轴，z轴，建立直角坐标系，平面FAC的一个法向量为，代入向量的夹角公式，即可得到答案；
【小问1详解】
∵ABCD为菱形，∴，

设AC与BD的交点为O，则OE为的中位线，∴.
由题意得平面ABCD，∴平面ABCD，而AC平面ABCD中，∴.
又，∴平面BED.
小问2详解】
∵ABCD为菱形，，∴为正三角形，∴.
∵平面ABCD，∴与平面ABCD所成角，由，
得，所以.
如图，分别以OB，OC，OE为x轴，y轴，z轴，建立直角坐标系，
则，，，，
，，，设平面FAC的法向量为，
则由 可得，取，
故可得平面FAC的一个法向量为，
记直线与平面FAC的夹角为，则
22、（1）证明见解析：（2）
【解析】(1)代入,求导分析函数单调性,再的最小值即可证明.
(2) ,若函数在上存在两个极值点,则在上有根.再分,与,利用函数的零点存在定理讨论导函数的零点即可.
【详解】(1)证明：当时,,则,
当时,,则,又因为,
所以当时,,仅时,,
所以在上是单调递减,所以,即.
(2),因为,所以,
①当时,恒成立,所以在上单调递增,没有极值点.
②当时,在区间上单调递增,
因为.
当时,,
所以在上单调递减,没有极值点.
当时,,所以存在,使
当时,时,
所以在处取得极小值,为极小值点.
综上可知,若函数在上存在极值点,则实数.
【点睛】本题主要考查了利用导函数求解函数的单调性与最值,进而证明不等式的方法.同时也考查了利用导数分析函数极值点的问题,需要结合零点存在定理求解.属于难题.