2025年宁夏银川市育才中学孔德学区数学高二第一学期期末检测模拟试题含解析.doc

2025年宁夏银川市育才中学孔德学区数学高二第一学期期末检测模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．过抛物线C：的准线上任意一点作抛物线的切线，切点为，若在轴上存在定点，使得恒成立，则点的坐标为（）
A. B.
C. D.
2．已知函数f（x）的定义域为[－1，5]，其部分自变量与函数值的对应情况如下表：
x
－1
0
2
4
5
f（x）
3
1
2.5
1
3
f（x）的导函数的图象如图所示．给出下列四个结论：
①f（x）在区间[－1，0]上单调递增；
②f（x）有2个极大值点；
③f（x）的值域为[1，3]；
④如果x∈[t，5]时，f（x）的最小值是1，那么t的最大值为4
其中，所有正确结论的序号是（）

A.③ B.①④
C.②③ D.③④
3．直线关于直线对称的直线方程为（）
A. B.
C. D.
4．数列，，，，…，的通项公式可能是（ ）
A. B.
C. D.
5．已知双曲线，点F为其左焦点，点B，若BF所在直线与双曲线的其中一条渐近线垂直，则该双曲线的离心率为（）
A. B.
C. D.
6．某学校高二级选择“史政地”“史政生”和“史地生”组合的同学人数分别为240，120和60．现采用分层抽样的方法选出14位同学进行一项调查研究，则“史政生”组合中选出的人数为（）
A.8 B.6
C.4 D.3
7．圆与圆的位置关系为（）
A.外切 B.内切
C.相交 D.相离
8．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）种
A.54 B.72
C.96 D.120
9．已知椭圆是椭圆上关于原点对称的两点，设以为对角线的椭圆内接平行四边形的一组邻边斜率分别为，则（）
A.1 B.
C. D.
10．已知直线l：过椭圆的左焦点F，与椭圆在x轴上方的交点为P，Q为线段PF的中点，若，则椭圆的离心率为（）
A. B.
C. D.
11．在平行六面体中，，，，则（）
A. B.5
C. D.3
12．设为数列的前n项和，，且满足，若，则（ ）
A.2 B.3
C.4 D.5
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中个位小于百位且百位小于万位的五位数有n个，则的展开式中，的系数是___________.（用数字作答）
14．在平行六面体中，点P是AC与BD的交点，若，且，则___________.
15．命题“，”的否定是____________.
16．过点的直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，底面，，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）设点是平面上任意一点，直接写出线段长度最小值.（不需证明）

18．（12分）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且在第一象限，的面积为 (O为坐标原点).
（1）求抛物线的标准方程；
（2）经过点的直线与交于，两点，且，异于点，若直线与的斜率存在且不为零，证明：直线与的斜率之积为定值.
19．（12分）已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围
20．（12分）某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达、延迟5分钟内送达、延迟5至10分钟送达、其他延迟情况，分别评定为四个等级，各等级依次奖励3元、奖励0元、罚款3元、罚款6元.假定评定为等级的概率分别是.
（1）若某外卖员接了一个订单，求其不被罚款的概率；
（2）若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为3元的概率.
21．（12分）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为

（1）求频率分布直方图中的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率.
22．（10分）如图，菱形的边长为4，，矩形的面积为8，且平面平面

（1）证明：；
（2）求C到平面的距离.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】设切点，点，联立直线的方程和抛物线C的准线方程可得，将问题转化为对任意点恒成立，可得，解出，从而求出答案
【详解】设切点，点
由题意，抛物线C的准线，且由，得，
则直线的方程为，即，
联立令，得
由题意知，对任意点恒成立，也就是对任意点恒成立
因为，，
则，即对任意实数恒成立，
所以，即，所以，
故选：D
【点睛】一般表示抛物线的切线方程时可将抛物线方程转化为函数解析式，可利用导数的几何意义求解切线斜率，再代入计算.
2、D
【解析】直接利用函数的导函数的图像，进一步画出函数的图像，进一步利用函数的性质的应用求出函数的单调区间，函数的极值和端点值可得结论
【详解】解：由f（x）的导函数的图像，画出的图像，如图所示，

对于①，在区间上单调递减，所以①错误，
对于②，有1个极大值点，2个极小值点，所以②错误，
对于③，根据函数的极值和端点值可知的值域为，所以③正确，
对于④，如果x∈[t，5]时，由图像可知当f（x）的最小值是1时， t的最大值为4，所以④正确，
故选：D
3、C
【解析】先联立方程得，再求得直线的点关于直线对称点的坐标为，进而根据题意得所求直线过点，，进而得直线方程.
【详解】解：联立方程得，即直线与直线的交点为
设直线的点关于直线对称点的坐标为，
所以，解得
所以直线关于直线对称的直线过点，
所以所求直线方程的斜率为，
所以所求直线的方程为，即
故选：C
4、D
【解析】利用数列前几项排除A、B、C，即可得解；
【详解】解：由，排除A，C，由，排除B，
分母为奇数列，分子为，故数列的通项公式可以为，
故选：D
5、C
【解析】设出双曲线半焦距c，利用斜率坐标公式结合垂直关系列式计算作答.
【详解】设双曲线半焦距为c，则，直线BF的斜率为，
双曲线的渐近线为：，
因直线BF与双曲线的一条渐近线垂直，则有，即，
于是得，而，解得，
所以双曲线的离心率为.
故选：C
6、C
【解析】根据题意求得抽样比，再求“史政生”组合中抽取的人数即可.
【详解】根据题意，分层抽样的抽样比为，
故从“史政生”组合120中，抽取的人数时人.
故选：.
7、A
【解析】根据两圆半径和、差、圆心距之间的大小关系进行判断即可.
【详解】由，
该圆的圆心为，半径为.
圆圆心为，半径为，
因为两圆的圆心距为，两圆的半径和为，
所以两圆的半径和等于两圆的圆心距，因此两圆相外切，
故选：A
8、A
【解析】根据题意，分2种情况讨论：
①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，
②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案
【详解】根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，
分2种情况讨论：
①甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况，
剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，
此时有种名次排列情况；
②甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有种情况，
剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，
此时有种名次排列情况；
则一共有种不同的名次情况，
故选：A
9、C
【解析】根据椭圆的对称性和平行四边形的性质进行求解即可.
【详解】是椭圆上关于原点对称两点，所以不妨设，即，
因为平行四边形也是中心对称图形，
所以也是椭圆上关于原点对称的两点，
所以不妨设，即，
，
得：，
即，
故选：C
10、D
【解析】由直线的倾斜角为，可得，结合，可推得是等边三角形，可得，计算可得离心率
【详解】直线：过椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为，
所以，
又是的中点，是的中点，所以，
又，所以，又，所以是等边三角形，
所以，又在椭圆上，所以，
所以，所以离心率为，
故选：

11、B
【解析】由，则结合已知条件及模长公式即可求解.
【详解】解：，
所以，
所以，
故选：B.

12、B
【解析】由已知条件可得数列为首项为2，公差为2的等差数列，然后根据结合等差数列的求和公式可求得答案
【详解】在等式中，令，可得，
所以数列为首项为2，公差为2的等差数列，
因为，
所以，
化简得，，
解得或（舍去），
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2022
【解析】根据排列和组合计数公式求出，然后利用二项式定理进行求解即可
【详解】解：用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数中满足个位小于百位且百位小于万位的五位数有个，即，
当时，

，
则系数是，
故答案为：2022
14、
【解析】由向量的运算法则，求得，根据，结合向量的数量积的运算，即可求解.
【详解】由题意可得，，
则
，
故.
故答案为：
15、，
【解析】根据全称命题量词的否定即可得出结果.
【详解】命题“”的否定是“，”
故答案为：
16、
【解析】设，，，，分别代入双曲线方程，两式相减，化简可得：，结合中点坐标公式求得直线的斜率，再利用点斜式即可求直线方程
【详解】过点的直线与该双曲线交于，两点，
设，，，，
，
两式相减可得：，
因为为的中点，
，
，
则，
所以直线的方程为，即为
故答案为：
【点睛】方法点睛：对于有关弦中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）证明见解析（3）
【解析】（1）设，连结，根据中位线定理即可证，再根据线面平行的判定定理，即可证明结果；
（2）由菱形的性质可知，可证，又底面，可得，再根据面面垂直的判定定理，即可证明结果；
（3）根据等体积法，即，经过计算直接写出结果即可.
【小问1详解】
证明：设，连结.
因为底面为菱形，
所以为的中点，
又因为E是PC的中点，
所以.

又因为平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
证明：因为底面为菱形，
所以.
因为底面，
所以.
又因为，
所以平面.
又因为平面，
所以平面平面.
【小问3详解】
解：线段长度的最小值为.
18、（1）；
（2）证明见解析.
【解析】（1）由题可得，然后结合面积公式可得，即求；
（2）通过分类讨论，利用韦达定理法结合斜率公式计算即得.
【小问1详解】
因为点抛物线上，
所以，，
，因为，
故解得，
抛物线方程为；
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，直线为，得，.
，，
则.
当直线的斜率存在时，设直线为，设，，
联立得：
因为，
所以，.
所以

，
所以直线与的斜率之积为定值.
19、.
【解析】由x2﹣8x﹣20≤0，解得﹣2≤x≤10．根据非空集合S={x|1﹣m≤x≤1+m}．又x∈P是x∈S的必要条件，可得，1﹣m≤1+m，解得m范围
【详解】由x2﹣8x﹣20≤0，解得﹣2≤x≤10．∴P=[﹣2，10]
非空集合S={x|1﹣m≤x≤1+m}．又x∈P是x∈S的必要条件，
∴，1﹣m≤1+m，解得0≤m≤3
∴m的取值范围是[0，3]
【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
20、（1）
（2）
【解析】（1）利用互斥事件的概率公式，即可求解；
（2）由条件可知两单共获得的奖励为3元即事件，同样利用互斥事件和的概率，即可求解.
【小问1详解】
设事件分别表示“被评为等级”，
由题意，事件两两互斥，
所以，
又“不被罚款”，
所以.
因此“不被罚款”概率为；
【小问2详解】
设事件表示“第单被评为等级”，，
则“两单共获得的奖励为3元”即事件，
且事件彼此互斥，
又，
所以.
21、（1）0.006；（2）；（3）.
【解析1）在频率分布直方图中，由频率总和即所有矩形面积之和为，可求；
（2）在频率分布直方图中先求出50名受访职工评分不低于80的频率为，由频率与概率关系可得该部门评分不低于80的概率的估计值为；
（3）受访职工评分在[50，60)的有3人，记为，受访职工评分在[40，50)的有2 人，记为，列出从这5人中选出两人所有基本事件，即可求相应的概率.
【详解】（1）因为，
所以
（2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为，
所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为
（3）受访职工评分在[50，60)的有：50×0.006×10=3(人)，
即为；

受访职工评分在[40，50)的有： 50×0.004×10=2(人)，即为.
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是

又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即，
故所求的概率为
【点睛】本题考查频率分布直方图、概率与频率关系、古典概型，属中档题；利用频率分布直方图解题的时，注意其表达的意义，同时要理解频率是概率的估计值这一基础知识；在利用古典概型解题时，要注意列出所有的基本事件，千万不可出现重、漏的情况.
22、（1）证明见解析.
（2）
【解析】（1）利用线面垂直的性质证明出；（2）利用等体积转换法，先求出O到平面AEF的距离，再求C到平面的距离.
【小问1详解】
在矩形中，.
因为平面平面，平面平面,
所以平面，所以.
【小问2详解】
设AC与BD的交点为O,则C到平面AEF的距离为O到平面AEF的距离的2倍.

因为菱形ABCD的边长为4且，所以.
因为矩形BDFE的面积为8，所以BE=2.
,,则三棱锥的体积.
在△AEF中, ,所以.
记O到平面AEF的距离为d.
由得：,解得：，所以C到平面AEF的距离为.