2026届江苏省南京市秦淮中学高二数学第一学期期末考试试题含解析.doc

2026届江苏省南京市秦淮中学高二数学第一学期期末考试试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线l和两个不同的平面，，，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2．设双曲线的实轴长与焦距分别为2,4，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
3．如图，、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的点，是线段上靠近的三等分点，为正三角形，则椭圆的离心率为（ ）

A. B.
C. D.
4．在三棱锥中，平面；记直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）
A. B.
C. D.
5．某海关缉私艇在执行巡逻任务时，发现其所在位置正西方向20nmile处有一走私船只，正以30nmile/h的速度向北偏东30°的方向逃窜，若缉私艇突然发生机械故障，20min后才以的速度开始追赶，则在走私船只不改变航向和速度的情况下，缉私艇追上走私船只的最短时间为（）
A.1h B.
C. D.
6．已知两条不同直线和平面，下列判断正确的是（ ）
A.若则 B.若则
C.若则 D.若则
7．过点，且斜率为2的直线方程是
A. B.
C. D.
8．已知点是点在坐标平面内的射影，则点的坐标为（）
A. B.
C. D.
9．下列数列中成等差数列的是（）
A. B.
C. D.
10．若实数x，y满足不等式组，则的最小值为（）
A. B.0
C. D.2
11．若数列满足，则（）
A.2 B.6
C.12 D.20
12．已知圆：，是直线的一点，过点作圆的切线，切点为，，则的最小值为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，在直线上存在点P，使，则m的最大值是_______.
14．已知椭圆，分别是椭圆的上、下顶点，是左顶点，为左焦点，直线与相交于点，则________
15．若将抛掷一枚硬币所出现的结果“正面（朝上）”与“反面（朝上）”，分别记为H、T，相应的抛掷两枚硬币的样本空间为，则与事件“一个正面（朝上）一个反面（朝上）”对应的样本空间的子集为______
16．以正方体的对角线的交点为坐标原点O建立右手系的空间直角坐标系，其中，，，则点的坐标为______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）若是双曲线的两个焦点.

（1）若双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于10，求点到另一个焦点距离；
（2）如图若是双曲线左支上一点，且，求的面积.
18．（12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为4，离心率等于
（1）求椭圆的方程
（2）设，若椭圆E上存在两个不同点P、Q满足，证明：直线PQ过定点，并求该定点的坐标.
19．（12分）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，过F的直线与抛物线C交于A，B两点，点M在抛物线C的准线上，MF⊥AB，S△AFM＝λS△BFM

（1）当λ＝3时，求|AB|的值；
（2）当λ∈[]时，求|+|的最大值
20．（12分）已知圆C经过，，三点，并且与y轴交于P，Q两点，求线段PQ的长度.
21．（12分）已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求证：.
22．（10分）在等差数列中，
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】根据直线、平面的位置关系，应用定义法判断两个条件之间的充分、必要性.
【详解】当，时，直线l可与平行、相交，故不一定成立，即充分性不成立；
当，时，直线l可在平面内，故不一定成立，即必要性不成立.
故选：D.
2、C
【解析】由已知可求出，即可得出渐近线方程.
【详解】因为，所以，所以的渐近线方程为.
故选：C.
3、D
【解析】根据椭圆定义及正三角形的性质可得到\，再在中运用余弦定理得到、的关系，进而求得椭圆的离心率
【详解】由椭圆的定义知，，则，
因为正三角形，所以，
在中，由余弦定理得，
则，，
故选：D
【点睛】本题考查椭圆的离心率的求解，考查考生的逻辑推理能力及运算求解能力，属于中等题.
4、A
【解析】先得到三棱锥的每一个面都是直角三角形，然后可得与平面所成的角，二面角的平面角，在直角三角形中算出他们的余弦值，利用向量法计算直线与直线所成的角为的余弦值，然后比较大小.
【详解】令，
由平面，且平面
，又，，
面
三棱锥的每一个面都是直角三角形.
与平面所成的角，
二面角的平面角，
由已知可得，
，
，
又，
则
所以，又均为锐角，

故选：A.

5、A
【解析】设小时后，相遇地点为，在三角形中根据题目条件得出，再在三角形中，由勾股定理即可求出.
【详解】以缉私艇为原点，建立如下图所示的直角坐标系.图中走私船所在位置为，设缉私艇追上走私船的最短时间为，相遇地点为则，走私船以的速度向北偏东30°的方向逃窜，60°.
因为20min后缉私艇才以的速度开始追赶走私船，所以20min走私船行走了，到达.在三角形中，由余弦定理知：
，则
，所以.
在三角形中，，，有：
，化简得：，则.
缉私艇追上走私船只的最短时间为1h.
故选： A.
点睛】
6、D
【解析】根据线线、线面、面面的平行与垂直的位置关系即可判断.
【详解】解：对于选项A：若，则与可能平行，可能相交，可能异面，故选项A错误；
对于选项B：若，则，故选项B错误；
对于选项C：当时不满足，故选项C错误；
综上，可知选项D正确.
故选：D.
7、A
【解析】由直线点斜式计算出直线方程.
【详解】因为直线过点，且斜率为2，所以该直线方程为，即.故选
【点睛】本题考查了求直线方程，由题意已知点坐标和斜率，故选用点斜式即可求出答案，较为简单.
8、D
【解析】根据空间中射影的定义即可得到答案.
【详解】因为点是点在坐标平面内的射影，所以的竖坐标为0 ，
横、纵坐标与A点的横、纵坐标相同，所以点的坐标为.
故选：D
9、C
【解析】利用等差数列定义，逐一验证各个选项即可判断作答.
【详解】对于A，，A不是等差数列；
对于B，，B不是等差数列；
对于C，，C是等差数列；
对于D，，D不是等差数列.
故选：C
10、A
【解析】画出可行域，令，则，结合图形求出最小值，即可得解；
【详解】解：画出不等式组，表示的平面区域如图阴影部分所示，由，解得，即，

令，则．结合图形可知当过点时，取得最小值，且，即
故选：A
11、D
【解析】由已知条件变形可得，然后累乘法可得，即可求出
详解】由得，
，
.
故选：D
12、A
【解析】根据题意，为四边形的面积的2倍，即，然后利用切线长定理，将问题转化为圆心到直线的距离求解.
【详解】圆：的圆心为，半径，
设四边形的面积为，
由题设及圆的切线性质得，，
∵，
∴，
圆心到直线的距离为，
∴的最小值为，
则的最小值为，
故选：A

二、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、11
【解析】设P点坐标，根据条件知，由向量的坐标运算可得P点位于圆上，再根据P存在于直线上，可知直线和圆有交点，因此列出相应的不等式，求得m范围，可得m的最大值.
【详解】设P（x,y）,则，
由题意可知 ,
所以，即，
即满足条件的点P在圆上，
又根据题意P点存在于直线上，
则直线与圆有交点，
故有圆心(1,0)到直线的距离小于等于圆的半径，
即，解得，
则m的最大值为11，
故答案为：11.
14、##
【解析】先求出顶点和焦点坐标，求出直线直线与的斜率，利用到角公式求出的正切值，进而求出正弦值.
【详解】由可得所以，，，，故，由到角公式得：，其中，所以.
故答案为：
15、，，，
【解析】先写出与事件“一个正面（朝上）一个反面（朝上）”对应的样本空间，再写出其全部子集即可.
【详解】与事件“一个正面（朝上）一个反面（朝上）”对应的样本空间为，此空间的子集为，，，
故答案为：，，，
16、
【解析】根据已知点的坐标，确定出坐标系即可得
【详解】如图，由已知得坐标系如图所示，轴过正方形的对角线交点，轴过中点，轴过中点，因此可知坐标为
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）利用双曲线定义，根据点到一个焦点的距离求点到另一个焦点的距离即可；
（2）先根据定义得到，两边平方求得，即证，，再计算直角三角形面积即可.
【小问1详解】
是双曲线的两个焦点，则，
点M到它的一个焦点的距离等于10，设点到另一个焦点的距离为，
则由双曲线定义可知，，解得或（舍去）
即点到另一个焦点的距离为；
【小问2详解】
P是双曲线左支上的点，则，
则，而，
所以，
即，
所以为直角三角形，，
所以.
18、（1）；
（2）证明见解析，.
【解析】（1）由题可得，即求；
（2）设直线PQ的方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理法可得，即得.
【小问1详解】
由题可设椭圆的方程为，
则，
∴，
∴椭圆的方程为；
【小问2详解】
当直线PQ的斜率存在时，可设直线PQ的方程为，设，
由，得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∴，
∴直线PQ的方程为过定点；
当直线PQ的斜率不存在时，不合题意.
故直线PQ过定点，该定点的坐标为.
19、（1）
（2）
【解析】（1）由面积之比可得向量之比，设直线AB的方程，与抛物线的方程联立求出两根之和及两根之积，与向量的关系可得的A，B的横坐标的关系联立求出直线AB的斜率，再由抛物线的性质可得焦点弦的值；
（2）由（1）的解法类似的求出AB的中点N的坐标，可得直线AB的斜率与λ的关系再由λ的范围，求出直线AB的斜率的范围，由题意设直线MF的方程，令y＝﹣1求出M的横坐标，进而求出|MN|的最大值，而|+|＝2||，求出|+|的最大值
【小问1详解】
当λ＝3时，即S△AFM＝3S△BFM，由题意可得＝3，
因为抛物线C：x2＝4y的焦点为F（1，0），准线方程为y＝﹣1，
设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y＝kx+1，
联立，整理可得：x2﹣4kx﹣4＝0，
显然，x1+x2＝4k①，x1x2＝﹣4②，y1+y2＝k（x1+x2）+2＝4k2+2，
由＝3，则（﹣x1，1﹣y1）＝3（x2，y2﹣1）可得x1＝﹣3x2③，
①③联立可得x2＝﹣2k，x1＝6k，代入②中可得﹣12k2＝﹣4，
解得k2＝，
由抛物线的性质可得|AB|＝y1+y2+2＝4×+2＝，
所以|AB|的值为；
【小问2详解】
由（1）可得AB中点N（2k，2k2+2），由＝λ，则x1＝﹣λx2④，
同（1）的算法：①②④联立4k2λ＝（1﹣λ）2，因为λ∈[]，
所以4k2＝λ+﹣2，
令y＝λ+，λ∈[]，
则函数y先减后增，所以λ＝2或时，y最大且为2+，此时4k2最大，且为，
所以k2的最大值为：，
直线MF的方程为：y＝﹣x+1，令y＝﹣1，可得x＝2k，
即M（2k，﹣1），
因为|+|＝2||，而|NM|＝|2k2+2+1|＝2k2+3≤2×+3＝，
所以|+|的最大值为
20、
【解析】设圆的方程为，代入点的坐标，求出，，，令，即可得出结论
【详解】解：设圆的方程为，则，
，，，
，即,
令，可得，解得、，所以、，或、，
，
21、（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）根据作差即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而得到数列的通项公式；
（2）由（1）可知，，根据等差数列的通项公式得到，即可得到，再令，利用错位相减法求出，即可得证；
【小问1详解】
解：因为，且，当时，则，所以，当时，，则，即，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以；
【小问2详解】
解：由（1）可知，，因为，所以，所以，令，则，所以，所以，即，所以，即；
22、（1）
（2）
【解析】（1）直接利用等差数列的通项公式即可求解；
（2）先判断出数列单调性，由时，，时，；然后去掉绝对值，利用等差数列的前项和公式求解即可.
【小问1详解】
是等差数列，公差
；
即；
【小问2详解】
，则
由（1）可知前五项为正，第六项开始为负

.