广东省佛山市南海区2025年数学高二上期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

广东省佛山市南海区2025年数学高二上期末学业质量监测模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线的焦点坐标是（）
A.（0，－1） B.（－1，0）
C. D.
2．十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的.明万历十二年(公元1584年)，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论.十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列.依此规则，插入的第四个数应为（ ）
A. B.
C. D.
3．椭圆的短轴长为（ ）
A.8 B.2
C.4 D.
4． “”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A. B.
C. D.
6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥内切球的表面积为

A.
B.
C.
D.
7．已知圆：，点，则点到圆上点的最小距离为（）
A.1 B.2
C. D.
8．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
9．已知集合，集合或，是实数集，则（ ）
A. B.
C. D.
10．若，则下列正确的是（）
A. B.
C. D.
11．一部影片在4个单位轮流放映，每个单位放映一场，不同的放映次序有（ ）
A.种 B.4种
C.种 D.种
12．圆心，半径为的圆的方程是（）
A. B.
C. D
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若满足约束条件，则的最大值为_____________
14．过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交于点.若点的横坐标为,则的离心率为­ .
15．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，为坐标原点，记直线的斜率分别为，则______.
16．若点为圆上的一个动点，则点到直线距离的最大值为________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列为等差数列，是公比为2的等比数列，且满足
（1）求数列和的通项公式；
（2）令求数列的前n项和；
18．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，分别为椭圆的上，下顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于另一点（异于椭圆的右顶点），交轴于点，直线与直线相交于点.求证：直线的斜率为定值.
19．（12分）已知两条直线，.设为实数，分别根据下列条件求的值.
（1）；
（2）直线在轴、轴上截距之和等于.
20．（12分）已知；对任意的恒成立.
（1）若是真命题，求m的取值范围；
（2）若是假命题，是真命题，求m的取值范围.
21．（12分）解下列不等式：
（1）；
（2）.
22．（10分）正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4.E为棱上的动点，F为棱的中点.

（1）证明：；
（2）若E为棱上的中点，求直线BE到平面的距离.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】根据抛物线标准方程，可得p的值，进而求出焦点坐标.
【详解】由抛物线可知其开口向下，，所以焦点坐标为，
故选：C.
2、C
【解析】先求出等比数列的公比，再由等比数列的通项公式即可求解.
【详解】用表示这个数列，依题意，，则，，
第四个数即.
故选：C.
3、C
【解析】根据椭圆的标准方程求出，进而得出短轴长.
【详解】由，可得，
所以短轴长为.
故选：C.

4、B
【解析】求出的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】，因“”“”且“”“”，
因此，“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5、C
【解析】作出辅助线，找到异面直线与所成角，进而利用余弦定理及勾股定理求出各边长，最后利用余弦定理求出余弦值.
【详解】如图所示，把三棱柱补成四棱柱，异面直线与所成角为

，
由勾股定理得：，，
∴
故选：C
6、A
【解析】由三视图可知该几何体是一个三棱锥，根据等积法求出几何体内切球的半径，再计算内切球的表面积
【详解】解：由三视图知该几何体是一个三棱锥，放入棱长为2的正方体中，如图所示：

设三棱锥内切球的半径为，则由等体积法得
，
解得，
所以该三棱锥内切球的表面积为

故选：A
【点睛】本题考查了由三视图求三棱锥内切球表面积的应用问题，属于中档题
7、C
【解析】写出圆的圆心和半径，求出距离的最小值，
再结合圆外一点到圆上点的距离最小值的方法即可求解.
【详解】由圆：，得圆，半径为，
所以
，
所以点到圆上点的最小距离为.
故选：C.
8、A
【解析】根据命题与它的否定命题一真一假，写出该命题的否定命题，再求实数的取值范围
【详解】解：命题“，”是假命题，
则它的否定命题“，”是真命题，
时，不等式为，显然成立；
时，应满足，解得，
所以实数的取值范围是
故选：A
9、A
【解析】先化简集合，再由集合的交集、补集运算求解即可
【详解】，或，故
故选：A
10、D
【解析】根据不等式性质并结合反例，即可判断命题真假.
【详解】对于选项A：若，则，
由题意，，不妨令，，则此时，这与结论矛盾，故A错误；
对于选项B：当时，若，则，故B错误；
对于选项C：由，不妨令，，则此时，故C错误；
对于选项D：由不等式性质，可知D正确.
故选：D.
11、C
【解析】根据题意得到一部影片在4个单位轮流放映，相当于四个单位进行全排列，即可得到答案.
【详解】一部影片在4个单位轮流放映，相当于四个单位进行全排列，
所以不同的放映次序有种，
故选：C
12、D
【解析】根据圆心坐标及半径，即可得到圆的方程.
【详解】因为圆心为，半径为，
所以圆的方程为:.
故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】由下图可得在处取得最大值，即.

考点：线性规划.
【方法点晴】本题考查线性规划问题，灵活性较强，属于较难题型.考生应注总结解决线性规划问题的一般步骤（1）在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域；（2）将目标函数变形为；（3）作平行线：将直线平移，使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标；（4）求出最优解：将（3）中求出的坐标代入目标函数，从而求出的最大（小）值.
14、
【解析】双曲线的右焦点为.不妨设所作直线与双曲线的渐近线平行，其方程为，代入求得点的横坐标为，由，得，解之得，（舍去，因为离心率），故双曲线的离心率为.
考点：1.双曲线的几何性质；2.直线方程.
15、
【解析】过焦点作直线要分为有斜率和斜率不存在两种情况进行分类讨论.
【详解】抛物线的焦点
当过焦点的直线斜率不存在时，直线方程可设为，不妨令
则，故
当过焦点的直线斜率存在时，直线方程可设为，令
由整理得
则，

综上，
故答案为：
16、7
【解析】根据给定条件求出圆C的圆心C到直线l的距离即可计算作答.
【详解】圆的圆心，半径，
点C到直线的距离，
所以圆C上点P到直线l距离的最大值为.
故答案为：7

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），
（2）
【解析】（1）根据等差数列和等比数列通项公式得到，根据通项公式的求法得到结果；
（2）分组求和即可.
【小问1详解】
设的公差为,
由已知,有解得，
所以的通项公式为, 的通项公式为.
【小问2详解】
，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到：.
18、（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）根据条件求出，即可写出椭圆方程；
（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆，可表示出坐标，继而得出直线的方程，令可得的坐标，即可求出直线的斜率并得出定值.
【详解】（1）设椭圆的焦距为，则①，
②，又③，
由①②③解得，，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）证明：易得，，直线的方程为，因为直线不过点，所以，
由，得，
所以，从而，，
直线的斜率为，故直线的方程为.
令，得，
直线斜率.
所以直线的斜率为定值.
【点睛】本题考查椭圆的方程的求法，考查椭圆中的定值问题，属于中档题.
19、（1）；
（2）.
【解析】（1）由两直线平行可得出关于的等式，求出的值，再代入两直线方程，验证两直线是否平行，由此可得出结果；
（2）分析可知，求出直线在轴、轴上的截距，结合已知条件可得出关于的等式，即可解得的值.
【小问1详解】
解：由，则，即，解得或.
当时，，，此时；
当时，，，此时重合，不合乎题意.
综上所述，；
【小问2详解】
解：对于直线，由已知可得，则，
令，得；令，得.
因为直线在轴、轴上截距之和等于，即，解得.
20、（1）
（2）
【解析】（1）为真命题，则都为真命题，求出为真命题时的m的取值范围，并求交集，即为结果；（2）若是假命题，是真命题，则一真一假，分两种情况进行求解，最后求并集即为结果.
【小问1详解】
由题意得：为真命题，则要满足，解得：，
对任意的恒成立，结合开口向上，
所以要满足：，解得：，要保证是真命题，
则与取交集，结果为
【小问2详解】
是假命题，是真命题，则一真一假，结合（1）中所求，
当真假时，与取交集，结果为；
当假真时，与取交集，结果为，
综上：m的取值范围是.
21、（1）
（2）
【解析】（1）利用十字相乘解题即可
（2）利用分子分母同号为正，异号为负思想，注意讨论分母不为0
【小问1详解】
由题，即，解得或，即；
【小问2详解】
由题，解得或，即
22、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】(1)根据给定条件建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明计算作答.
(2)利用(1)中坐标系，证明平面，再求点B到平面的距离即可作答.
【小问1详解】
在正四棱柱中，以点D为原点，射线分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，

则，
因E为棱上的动点，则设，，而，
，即，
所以.
【小问2详解】
由(1)知，点，，，，
设平面的一个法向量，则，令，得，
显然有，则，而平面，因此，平面，
于是有直线BE到平面的距离等于点B到平面的距离，
所以直线BE到平面的距离是.