2026届四川省宜宾市叙州区二中数学高二第一学期期末检测模拟试题含解析.doc

2026届四川省宜宾市叙州区二中数学高二第一学期期末检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，点是棱上的点且满足，则两异面直线，所成角的余弦值是（）
A. B.
C D.
2．直线的倾斜角大小为（ ）
A. B.
C. D.
3．下列四个命题中，为真命题的是（　　）
A.若a＞b，则ac2＞bc2
B.若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
C.若a＞|b|，则a2＞b2
D.若a＞b，则
4．某次生物实验6个小组的耗材质量（单位：千克）分别为1.71，1.58，1.63，1.43，1.85，1.67，则这组数据的中位数是（ ）
A.1.63 B.1.67
C.1.64 D.1.65
5．已知正的边长为，那么的平面直观图的面积为（）
A. B.
C. D.
6．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若向量则的最小值为（）
A. B.
C. D.
7．如图，正四棱柱是由四个棱长为1的小正方体组成的，是它的一条侧棱，是它的上底面上其余的八个点，则集合的元素个数（）

A.1 B.2
C.4 D.8
8．在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含的项的系数为（）
A.-20 B.-15
C.-6 D.15
9．函数的大致图象为
A. B.
C. D.
10．某研究所为了研究近几年中国留学生回国人数的情况，对2014至2018年留学生回国人数进行了统计，数据如下表：
年份
2014
2015
2016
2017
2018
年份代码
1
2
3
4
5
留学生回国人数/万
36.5
40.9
43.3
48.1
51.9
根据上述统计数据求得留学生回国人数（单位：万）与年份代码满足的线性回归方程为，利用回归方程预测年留学生回国人数为（ ）
A.63.14万 B.64.72万
C.66.81万 D.66.94万
11．某种疾病的患病率为0.5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人验血结果为阳性，患者中有2%的人验血结果为阴性，随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为（ ）
A.0.0689 B.0.049
C.0.0248 D.0.02
12．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取两个球，则下列选项中的两个事件为互斥事件的是（）
A.至多有1个白球；都是红球 B.至少有1个白球；至少有1个红球
C.恰好有1个白球；都是红球 D.至多有1个白球；至多有1个红球
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若不同的平面的一个法向量分别为，，则与的位置关系为___________.
14．已知曲线的方程是，给出下列四个结论：
①曲线C恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线有4条对称轴；
③曲线上任意一点到原点的距离都不小于1；
④曲线所围成图形的面积大于4；
其中，所有正确结论的序号是_____
15．函数的图象在处的切线方程为，则___________.
16．曲线在点处的切线方程为_____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，且，为的中点

（1）求平面与平面夹角的余弦值；
（2）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由
18．（12分）在如图三角形数阵中第n行有n个数，表示第i行第j个数，例如，表示第4行第3个数.该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以m为公差的等差数列，从第三行起每一行的数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中).已知.

（1）求m及；
（2）记，求.
19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与x轴交于点P．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值
20．（12分）已知椭圆与抛物线有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为，
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程：
（Ⅱ）求过点的直线与该椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若，求的面积.
21．（12分）命题p：关于x的不等式对一切恒成立； 命题q：函数在上递增，若为真，而为假，求实数的取值范围
22．（10分）已知函数（a为非零常数）
（1）若f（x）在处的切线经过点（2，ln2），求实数a的值；
（2）有两个极值点，.
①求实数a的取值范围；
②若，证明：.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】建立空间直角坐标系，写出点、、、和向量的、坐标，运用求异面直线余弦值的公式即可求出.
【详解】解：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标第,

则，，，，
故,,
，
故两异面直线，所成角的余弦值是.
故选：A.

【点睛】本题考查求异面直线所成角的余弦值，属于中档题.
2、B
【解析】将直线方程变为斜截式，根据斜率与倾斜角关系可直接求解.
【详解】由直线可得，
所以，
设倾斜角为，则
因为
所以
故选：B
3、C
【解析】利用不等式的性质结合特殊值法依次判断即可
【详解】当c＝0时，A不成立；
2>1，3>－1，而2－3<1－(－1)，故B不成立；
a＝2，b＝1时，，D不成立；
由a>|b|知a>0，所以a2>b2，C正确
故选：C
4、D
【解析】将已有数据从小到大排序，根据中位数的定义确定该组数据的中位数.
【详解】由题设，将数据从小到大排序可得：，
∴中位数为.
故选：D.
5、D
【解析】作出正的实际图形和直观图，计算出直观图的底边上的高，由此可求得的面积.
【详解】如图①②所示的实际图形和直观图.

由斜二测画法可知，，，
在图②中作于，则.
所以.
故选：D.
【点睛】本题考查直观图面积的计算，考查计算能力，属于基础题.
6、C
【解析】由，得到，根据正弦、余弦定理定理化简得到，化简得到，再结合基本不等式，即可求解.
【详解】由题意，向量，，
因为，所以，可得，
由正弦定理得，整理得，
又由余弦定理，可得，
因为，所以，
由，
所以，
因为是锐角三角形，且，可得，解得，
所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
故选：C
7、A
【解析】用空间直角坐标系看正四棱柱，根据向量数量积进行计算即可.
【详解】建立空间直角坐标系，为原点，正四棱柱的三个边的方向分别为轴、轴和看轴，
如右图示
，，设，
则
所以集合，元素个数为1.
故选：A.
8、C
【解析】先由只有第4项的二项式系数最大，求出n=6；再由展开式的所有项的系数和为0，用赋值法求出,用通项公式求出的项的系数.
【详解】∵在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，
∴在的展开式有7项，即n=6；
而展开式的所有项的系数和为0，
令x=1，代入，即，所以.
∴是展开式的通项公式为：，
要求含的项，只需，解得，所以系数为.
故选：C
9、D
【解析】根据函数奇偶性排除A、C.当时排除B
【详解】解：由可得
所以函数为偶函数，排除A、C.
因为时，，排除B.
故选：D.
10、D
【解析】先求出样本点的中心，代入线性回归方程即可求出，再将代入线性回归方程即可得到结果
【详解】由题意知：，，
所以样本点的中心为，所以，解得：，
可得线性回归方程为，
年对应的年份代码为，令， 则，
所以预测2022年留学生回国人数为66.94万，
故选：D.
11、C
【解析】根据全概率公式即可求出
【详解】随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为
0.0248
故选：C
12、C
【解析】根据试验过程进行分析，利用互斥事件的定义对四个选项一一判断即可.
【详解】对于A：“至多有1个白球”包含都是红球和一红一白，“都是红球”包含都是红球，所以“至多有1个白球”与“都是红球”不是互斥事件.故A错误；
对于B：“至少有1个白球”包含都是白球和一红一白，“至少有1个红球”包含都是红球和一红一白，所以“至少有1个白球”与“至少有1个红球”不是互斥事件.故B错误；
对于C：“恰好有1个白球”包含一红一白，“都是红球”包含都是红球，所以“恰好有1个白球”与“都是红球”是互斥事件.故C错误；
对于D：“至多有1个红球”包含都是白球和一红一白，“至多有1个白球”包含都是红球和一红一白，所以“至多有1个白球”与“至多有1个红球”不是互斥事件.故D错误.
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、平行
【解析】根据题意得到，得出，即可得到平面与的位置关系.
【详解】由题意，平面的一个法向量分别为，，
可得，所以，所以，
即平面与的位置关系为平行.
故答案为：平行
14、②③④
【解析】根据曲线方程作出曲线，即可根据题意判断各结论的真假
【详解】曲线的简图如下：

根据图象以及方程可知，曲线C恰好经过9个整点,它们是，，，所以①不正确；
由图可知，曲线有4条对称轴，它们分别是轴，轴，直线和，②正确；
由图可知，曲线上任意一点到原点的距离都不小于1，③正确；
由图可知，曲线所围成图形的面积等于，④正确
故答案为：②③④
15、
【解析】根据导数的几何意义可得，根据切点在切线上可得.
【详解】因为切线的斜率为，所以，
又切点在切线上，所以，所以，
所以.
故答案为：.
16、
【解析】求导，求出切线斜率，进而写出切线方程.
【详解】，则，故切斜方程为：，即
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）存在，点为线段的靠近点的三等分点
【解析】（1）根据题意证得平面，进而证得平面，得到平面，以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解；
（2）设点，求得平面的法向量为，结合向量的距离公式列出方程，求得的值，即可得到答案.
【小问1详解】
解：因为四边形为正方形，则，，
由，，，所以平面，
因为平面，所以，
又由，，，所以平面，
又因为平面，所以，
因为且平面，所以平面，
由平面，且，不妨以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
可得，，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
易得平面的法向量为，
则，
由平面与平面夹角为锐角，所以平面与平面夹角的余弦值
【小问2详解】
解：设点，可得，，
设平面的法向量为，
则，取，可得，所以，
所以点到平面的距离为，
解得，即或
因为，所以
故当点为线段的靠近点的三等分点时，点到平面的距离为.

18、（1），；（2）
【解析】（1）根据题意以m表示出，由即可求出，进而求出；
（2）根据等差数列和等比数列的通项公式求出，再利用错位相减法即可求出.
【详解】（1）由已知得，
，
，
，
，即，
又，，
，
；
（2）由（1）得，
当时，，
又，，
满足，
，
，
两式相减得
，
.
【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于结构，利用分组求和法；
（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.
19、（1）直线l的普通方程，曲线C的直角坐标方程
（2）
【解析】（1）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果
【小问1详解】
解：直线的参数方程为为参数），
转换为直角坐标方程，
曲线的极坐标方程为，
根据，转换为直角坐标方程为；
小问2详解】
直线转换为参数方程为为参数），代入，
得到，
所以，，
所以
20、（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）根据题意可以求出椭圆的焦点，再根据椭圆的离心率公式，求出的值，然后结合椭圆的关系求出，最后写出椭圆的标准方程；
（Ⅱ）根据平面向量共线定理可以得出A，B两点横坐标和纵坐标之间的关系，再设出直线AB方程与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出直线AB的斜率，最后根据三角形面积结合根与系数关系求出的面积.
【详解】（Ⅰ）由题意，设椭圆的标准方程为，
由题意可得，又
，，所以椭圆的标准方程为
（Ⅱ）设，，由得：，
验证易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为
联立椭圆方程，得：，整理得：，

得：，将代入得，
所以的面积.
【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了利用一元二次方程根与系数关系求直线斜率和三角形面积问题，考查了数学运算能力.
21、
【解析】依题意，可分别求得p真、q真时m的取值范围，再由p∨q为真，而p∧q为假求得实数a的取值范围即可
【详解】命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立；
①若命题p正确，则△＝（2a）2﹣42＜0，即﹣2＜a＜2；
②命题q：函数f（x）＝logax在（0，+∞）上递增⇒a＞1，
∵p∨q为真，而p∧q为假，
∴p、q一真一假，
当p真q假时，有，
∴﹣2＜a≤1；
当p假q真时，有，

∴a≥2
∴综上所述，﹣2＜a≤1或a≥2
即实数a的取值范围为（﹣2，1]∪[2，+∞）
【点睛】本题考查复合命题的真假，分别求得p真、q真时m的取值范围是关键，考查理解与运算能力，属于中档题
22、（1）
（2）①（0，1）；②证明见解析
【解析】小问1先求出切线方程，再将点（2，ln2），代入即可求出a的值；
小问2的①通过求导，再结合函数的单调性求出a的取值范围；
②结合已知条件，构造新函数即可得到证明.
【小问1详解】

，
∴切线方程为，
将点代入解得：
【小问2详解】
①
当时，即时，，f（x）在（-1，+∞）上单调递增；f（x）无极值点，
当时，由得，，
故f（x）在（-1，-）上单调递增，在（-，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，f（x）有两个极值点；.
当时，由得，，
f（x）（，）上单调递减，在（，+∞）上单调递
此时，f（x）有1个极值点，
综上，当时，f（x）有两个极值点，即，即a的范围是（0，1）
②由（2）可知，又由可知，
可得.
要证，即证，即证，
即证
即证
令函数，x（0，1）
，故t（x）在（0，1）上单调递增，
又
所以在上恒成立，即
所以.