2025年江苏省江阴市第一中学高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

2025年江苏省江阴市第一中学高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，在平行六面体中，，则与向量相等的是（ ）

A. B.
C. D.
2．设异面直线、的方向向量分别为，，则异面直线与所成角的大小为（）
A. B.
C. D.
3．如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶距离水面6米，水面宽米，若水面下降6米，则水面宽()

A.米 B.米
C.米 D.米
4．直线在轴上的截距为（ ）
A.3 B.
C. D.
5．已知直线，若圆C的圆心在轴上，且圆C与直线都相切，求圆C的半径（ ）
A. B.
C.或 D.
6．设双曲线C： 的左、右焦点分别为，点P在双曲线C上，若线段的中点在y轴上，且为等腰三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A B.2
C. D.
7．设等比数列的前项和为，若，，则（）
A.66 B65
C.64 D.63
8．如图，、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的点，是线段上靠近的三等分点，为正三角形，则椭圆的离心率为（ ）

A. B.
C. D.
9．用数学归纳法时，从“k到”左边需增乘的代数式是（）
A. B.
C. D.
10．若数列满足，，则该数列的前2021项的乘积是（）
A. B.
C.2 D.1
11．已知数列满足，则（）
A.32 B.
C.1320 D.
12．已知点B是A（3，4，5）在坐标平面xOy内的射影，则||＝（　　）
A. B.
C.5 D.5
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某市有30000人参加阶段性学业水平检测，检测结束后的数学成绩X服从正态分布，若，则成绩在140分以上的大约为______人
14．已知抛物线的焦点与的右焦点重合，则__________.
15．设数列满足，则an＝________
16．已知数列满足，，则使得成立的n的最小值为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在直四棱柱中，

（1）求二面角的余弦值；
（2）若点P为棱的中点，点Q在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求的长
18．（12分）已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）讨论的零点个数.

19．（12分）已知公比的等比数列和等差数列满足：，，其中，且是和的等比中项
（1）求数列与的通项公式；
（2）记数列的前项和为，若当时，等式恒成立，求实数的取值范围
20．（12分）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，且点在椭圆C上
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆C交于A，B两点，试探究直线上是否存在定点Q，使得为定值．若存在，求出定点Q的坐标及实数的值；若不存在，请说明理由
21．（12分）已知函数.
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）若f(x)≥ 0对定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围.
22．（10分）圆的圆心为，且与直线相切，求：
（1）求圆的方程；
（2）过的直线与圆交于，两点，如果，求直线的方程
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】根据空间向量的线性运算法则——三角形法，准确运算，即可求解.
【详解】由题意，在平行六面体中，，
可得.
故选：A.
2、C
【解析】利用空间向量夹角的公式直接求解.
【详解】，，，.
由异面直线所成角的范围为，故异面直线与所成的角为.
故选：C
3、B
【解析】以双曲线的对称中心为原点，焦点所在对称轴为y轴建立直角坐标系，求出双曲线方程，数形结合即可求解.

【详解】如图所示，以双曲线的对称中心为原点，焦点所在对称轴为y轴建立直角坐标系，

设双曲线标准方程为：(a＞0)，
则顶点，，
将A点代入双曲线方程得，，
当水面下降6米后，，
代入双曲线方程得，，
∴水面宽：米.
故选：B.
4、A
【解析】把直线方程由一般式化成斜截式，即可得到直线在轴上的截距.
【详解】由，可得，则直线在轴上的截距为3.
故选：A
5、C
【解析】设出圆心坐标，利用圆心到直线的距离相等列方程，求得圆心坐标并求得圆的半径.
【详解】设圆心坐标为，
则或，
所以圆的半径为或.
故选：C
6、A
【解析】根据是等腰直角三角形，再表示出的长，利用三角形的几何性质即可求得答案.
【详解】线段的中点在y轴上,设的中点为M，

因为O为的中点，所以,
而,则，
为等腰三角形，故，
由，得，
又为等腰直角三角形，故，
即 ，解得 ，即，
故选：A.
7、B
【解析】根据等比数列前项和的片段和性质求解即可.
【详解】解：由题知：，，
，
所以，，成等比数列，即5，15，成等比数列，
所以，解得.
故选：B.
8、D
【解析】根据椭圆定义及正三角形的性质可得到\，再在中运用余弦定理得到、的关系，进而求得椭圆的离心率
【详解】由椭圆的定义知，，则，
因为正三角形，所以，
在中，由余弦定理得，
则
故选：D
【点睛】本题考查椭圆的离心率的求解，考查考生的逻辑推理能力及运算求解能力，属于中等题.
9、C
【解析】分别求出n＝k时左端的表达式，和n＝k+1时左端的表达式，比较可得“n从k到k+1”左端需增乘的代数式
【详解】当n＝k时，左端＝（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），
当n＝k+1时，左端＝（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），
∴左边需增乘的代数式是
故选：C
【点睛】本题考查用数学归纳法证明等式，分别求出n＝k时左端的表达式和n＝k+1时左端的表达式，是解题的关键
10、C
【解析】先由数列满足，，计算出前5项，可得，且，再利用周期性即可得到答案.
【详解】因为数列满足，，
所以，同理可得，…
所以数列每四项重复出现，即，且，
而，
所以该数列的前2021项的乘积是.
故选：C.
11、A
【解析】先令，求出，再当时，由，可得，然后两式相比，求出，从而可求出，进而可求得答案
【详解】当时，，
当时，由，可得，
两式相除可得，
所以，
所以，
故选：A
12、C
【解析】先求出B（3，4，0），由此能求出||
【详解】解：∵点B是点A（3，4，5）在坐标平面Oxy内的射影，∴B（3，4，0），
则||＝＝5
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13150
【解析】根据考试的成绩X服从正态分布．得到考试的成绩X的正太密度曲线关于对称，根据，得到，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数
【详解】由题意，考试的成绩X服从正态分布
考试的成绩X的正太密度曲线关于对称，
，
，
，
该市成绩在140分以上的人数为
故答案为：150
14、
【解析】求出抛物线的焦点坐标即为的右焦点可得答案.
【详解】由题意可知：抛物线的焦点坐标为，
由题意知表示焦点在轴的椭圆，
在椭圆中：，所以，
因为，所以.
故答案为：.
15、
【解析】先由题意得时，，再作差得，
验证时也满足
【详解】①
当时，；
当时，②
①②得，当也成立.
即
故答案为：
16、11
【解析】由题设可得，结合等比数列的定义知从第二项开始是公比为2的等比数列，进而写出的通项公式，即可求使成立的最小值n.
【详解】因为，
所以，
两式相除得，整理得.
因为，故从第二项开始是等比数列，且公比为2，
因为，则，所以，则，
由得：，故
故答案为：11.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），（2）
【解析】（1）推导出，以A为原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦值；
（2）设，则，求出平面的法向量，利用空间向量求出的长
【详解】解（1）在直四棱柱中，
因为平面，平面，平面，
所以
因为，所以以A为原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，
所以,
所以，
设平面的一个法向量为，则
，令，则，
因为平面，所以平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，由图可知为锐角，
所以二面角的余弦值为
（2）设，则，
因为点为的中点，所以，
则，
设平面一个法向量为，则
，令，则，
设直线与平面所成角的大小为，
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，
解得或（舍去）
所以

【点睛】关键点点睛：此题考查二面角的求法，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等知识，考查运算能力，解题的关键是根据是建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，属于中档题
18、（1）单调递增区间是和，单调递减区间是
（2）时， 有1个零点；
或时， 有2个零点；
时，有3个零点.
【解析】（1）求解函数的导数，再运用导数求解函数的单调区间即可；
（2）根据导数分析原函数的极值，进而讨论其零点个数.
【详解】（1）因为，所以
由，得或；由，得.
故单调递增区间是和，单调递减区间是.
（2）由（1）可知的极小值是，极大值是.
①当时，方程有且仅有1个实根，即有1个零点；
②当时，方程有2个不同实根，即有2个零点；
③当时，方程有3个不同实根，即有3个零点；
④当时，方程有2个不同实根，即有2个零点；
⑤当时，方程有1个实根，即有1个零点.
综上，当或时，有1个零点；当或时，有2个零点；当时，有3个零点.
19、（1），；（2）.
【解析】（1）根据已知条件可得出关于方程，解出的值，可求得的值，即可得出数列与的通项公式；
（2）求得，利用错位相减法可求得，分析可知数列为单调递增数列，对分奇数和偶数两种情况讨论，结合参变量分离法可得出实数的取值范围.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
因为，，，且是和的等比中项，
所以，整理可得，解得或.
若，则，可得，不合乎题意；
若，则，可得，合乎题意.
所以，;；
（2）因为，①
，②
②①得
因为，即对恒成立，
所以
当且，，故数列为单调递增数列，
当为偶数时，，所以；
当为奇数时，，所以，即.
综上可得
20、（1）
（2）存在，定点的坐标为，实数的值为
【解析】（1）由题意可得，再结合，可求出，从而可求得椭圆方程，
（2）设在直线上存在定点，当直线斜率存在时，设过点P的动直线l为，设，，将直线方程代入椭圆方程消去，利用根与系数，再计算为常数可求出，从而可求得，当直线斜率不存在时，可求出两点的坐标，从而可求得的值
【小问1详解】
由题意知
结合，可得，
所以椭圆C的标准方程为，
小问2详解】
设在直线上存在定点，使为定值，
①当直线斜率存在时，设过点P的动直线l为，设，·
由得，则，，
所以

为常数
则，解之得，
即定点为，则
②当直线斜率不存在时，即动直线方程为，不妨设，，
此时也成立
所以，存在定点使为定值，即
21、（1）答案见解析
（2）
【解析】（1）求导数，然后对进行分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间；
（2）利用（1）中函数的单调性，求得函数在处取得最小值，即可求实数的取值范围.
【小问1详解】
解：求导可得
①时，令可得，由于知；令，得
∴函数在上单调递减，在上单调递增；
②时，令可得；令，得或，由于知或；
∴函数在上单调递减，在上单调递增；
③时，，函数在上单调递增；
④时，令可得；令，得或，由于知或
∴函数在上单调递减，在上单调递增；
【小问2详解】
由（1）时，，（不符合，舍去）
当时，在上单调递减，在上单调递增，故函数在处取得最小值，所以函数对定义域内的任意x恒成立时，只需要即可
∴.
综上，.
22、（1）
（2）或
【解析】由点到直线的距离公式求得圆的半径，则圆的方程可求；
当直线的斜率不存在时，求得弦长为，满足题意；当直线的斜率不存在时，设出直线方程，求出圆心到直线的距离，再由垂径定理列式求，则直线方程可求
【小问1详解】
由题意得：
圆的半径为，
则圆的方程为；
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，直线方程为，得，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，即
圆心到直线的距离，则，
解得
直线的方程为
直线的方程为或